七年级暑假讲义：第2讲 整式的基本概念教师（教师版）

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1、整式的基本概念内容分析知识结构整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的该章属于义务教育数学课程标准中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具模块一：整式的基本概念知识精讲1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数单独的一个字母或数也叫做单项式（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的

2、指数和例如：单项式，它的指数为，是四次单项式单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数 2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式例如：是多项式（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项多项式中的各项包括它前面的符号多项式中不含字母的项叫做常数项（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列3、整式：单项式和多项式统称整式例题解析【例1】 在代数式，0，中，整式共有（）个A、5B、6C、7D、8【难度】【答

3、案】B【解析】分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都是整式，故本题中的整式共6个【总结】本题主要考查整式的概念【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数，【难度】【答案】以上代数式是单项式的有：，的系数为，次数为3；的系数为-1，次数为1；，系数为，次数为7；，系数为-3，次数为6；2，系数为2，次数为0；，系数，次数为1【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目【例3】 写出下列多项式的次数及最高次项的系数（1）；（2）【难度】【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是【解析】这是一道基

4、础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念【例4】 解答题：（1）把多项式按的降幂排列；（2）把多项式按的升幂排列；（3）求多项式的各项系数之和【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式的各项系数分别为3，2，这四个数字之和为【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数【例5】 多项式是几次几项式？【难度】【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式【总结】本题主要考查几次几项式的概念【例6】 多项式是三次三项式，求代数式的值【难度】【答案】

5、0或4【解析】多项式是二次三项式，则分两种情况：（1）当时，所以；（2）当时，所以【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论【例7】 多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式次数相同，求的值【难度】【答案】【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得所以【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处【例8】 设自然数满足，求多项式的次数？【难度】【答案】2或者是n【解析】（1）当n2时，次数为2；（2）当n2时，次数为n【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的

6、指数无关【例9】 请各写出一个符合条件的整式：（1） 系数是，次数是3的单项式；（2） 系数是3，次数是1的单项式；（3） 常数项为的二次三项式【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一【例10】 下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？【难度】【答案】【解析】根据观察，可以发现规律为，根据规律可得答案【总结】这是一道找规律的题目，做题时要注意每一项的特征，另外这类型的题目也是近阶段的热点问题【例11】 现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中

7、均只含有字母x；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为2；（3）这两个多项式的和是一个5次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式问：这两个多项式分别是多少？【难度】【答案】或【解析】由于每个多项式的系数的绝对值为2，则系数为2或者是-2【总结】本题主要考查多项式的概念，另外还要注意对题意的准确理解【例12】 已知有一组多项式，如下所示：我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面;（2）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面；（3）再看的次数，规定的次数高的项排在的次数低的项的前面请问：（1）将这个多项式

8、按上述法则排序，那么应排在第_（几）位（2）请问排在_位（3）请按照上述排序写出这个多项式【难度】【答案】（1）8；（2）1；（3）【解析】首先按照x的降幂排列，在x的次数相同的情况下按y的降幂排列，在y的次数相同的情况下按照z的降幂排列【总结】本题主要考查多项式的排列，注意对概念的准确理解师生总结1、单项式学习中主要注意哪几个方面？2、多项式学习中主要注意哪几个方面？模块二：合并同类项知识精讲1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变例题解析【例13

9、】 下列各组单项式中属于同类项的是：和；和；和；和；和；和【难度】【答案】【解析】两个单项式所含字母不相同；相同字母的次数不相同【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关【例14】 合并下列同类项： （1）；（2）； （3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可【例15】 单项式与是同类项，求的值【难度】【答案】7【解析】由题意，可得：，解得：，所以【总结】本题主要考查同类项的概念【例16】 合并下列同类项（1

10、）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可【例17】 单项式与是同类项，求的值【难度】【答案】【解析】由题意，可得：，解得：，所以【总结】本题主要考查同类项的概念【例18】 如果是五次多项式，求的值【难度】【答案】6【解析】由题意得【总结】本题主要考查几次几项式的概念【例19】 已知，化简：【难度】【答案】【解析】因为，所以，所以=【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项【例20】 已知：，求的值【难度】【答案】81或-27【解析】因为，所以可得当时

11、， =81；当时， 【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题【例21】 多项式中不含项，求的值【难度】【答案】【解析】因为多项式中不含项，所以，解得所以【总结】本题一方面考查合并同类项的概念，另一方面考查对多项式中不含某一项的理解【例22】 已知代数式，（1）当=_，=_时，此代数式的值与字母的取值无关（2）在（1）的条件下，多项式的值为_【难度】【答案】（1）-3，1；（2）8【解析】（1）原多项式可以化简为：，因为代数式的值与字母的取值无关，所以可得：，解得：（2），当时，【总结】本题主要是理解代数式的值与某一项无关时，则说明相关项的系数为零【例23】 一根绳子弯曲成如图（1）所示

12、的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线（）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线、之间把绳子再剪（2）次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是多少？（用表示）图（1）图（2）图（3）【难度】【答案】4n+1【解析】当n=1时，绳子的段数由原来的1根变成5根，即多出4根；当n=2时，绳子为1+8段，多出8段即每剪一次，就能多出4段绳子；所以当剪n次时，多出4n条绳子，即绳子的段数为4n+1【总结】本题是一道规律题，主要考查学生的理解能力和观察能力随堂检测【习题1】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：单项式（）；多项式（）

13、；二项式（）；二次多项式（）；整式（）【难度】【答案】单项式：；多项式：；二项式：，；二次多项式：；整式：【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念【习题2】 下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：【难度】【答案】单项式有：；的系数是4，次数是7；的系数是，次数是2；的系数是1，次数是3【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0【解析】本题主要考查同类项的概念【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式（1

14、）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】和是多项式，其中是四次三项式， 是四次四项式【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念【习题5】 若与是同类项，求，的值【难度】【答案】，【解析】由同类项的概念，可得，解得：【总结】本题主要考查同类项的概念【习题6】 同时都含有，且系数为的次单项式共有（）个A4B12C15D25【难度】【答案】C【解析】a、b、c的系数分别是1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、

15、1、1，共有15个【总结】本题主要考查单项式的次数的概念【习题7】 填空：若单项式是关于的三次单项式，则【难度】【答案】0【解析】由题意可得：，解得：【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解【习题8】 将多项式按的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项【难度】【答案】按的降幂排列为：；是四次四项式；系数最小的项是【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解【习题9】 若多项式不含的奇次项，求的值【难度】【答案】【解析】由题意得：，解得：，所以【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义【习题10】 多项式是关于的四次二

16、项式，求的值【难度】【答案】1或者25【解析】由题意得：，解得：或当时，；当时，【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m的值有两种情况注意讨论【习题11】 去括号，再合并同类项： 【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查合并同类项的方法【习题12】 化简：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号【习题13】 设表示正整数，多项式是几次几项式？【难度】【答案】m或n次三项式（m、n中较大的数）【解析】由于，所以（1）当mn时，是m次三项式；（2）当mn时，是n次三项式【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指

17、数无关【习题14】 一个多项式按的降幂排列，前几项如下：试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】【答案】第七项是：，最后一项是：，这个多项式是七次十一项式【解析】由于每项的系数的符号按正负交替变换的，系数的绝对值依次加1，字母x的次数依次减1，字母y的次数依次加1，可知第七项和最后一项分别为【总结】本题是一道规律题，注意对题意的准确理解【习题15】 已知对任意的值都成立，求下列各式的值：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由于对于任意x的值都成立，所以可令，从而可求出代数式；（2）令，可得，再与相减除以2，即可得出【总结】在本题中要注意和的特殊含义课

18、后作业【作业1】 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？， ， ， ， ，【难度】【答案】单项式：， ；多项式： ，；整式：， ，【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念【作业2】 指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：（1）；（2）【难度】【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是；（2）是四次五项式，系数最小的项是【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的【作业3】 合并同类项：（1）； （2）；（3）【难度】【答案】（1）0；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减【作业4】 将多项式（1

19、）按的降幂排列；（2）按的降幂排列【难度】【答案】（1）；（2）【解析】注意审题，看清楚题目的要求【作业5】 若与是同类项，求，的值【难度】【答案】，【解析】由题意可得：，解得：【总结】本题主要考查同类项的概念【作业6】 若和是同类项，求的值【难度】【答案】1【解析】由题意可得：，解得：，所以【总结】本题主要考查同类项的概念【作业7】 合并同类项：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数【作业8】 边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用【作业9】 设和均不为零，和是同类项，则_【难度】【答案】【解析】由题意可得：，解得所以原式=【总结】本题主要考查同类项的概念和整体代入思想的运用【作业10】 如果与是同类项，且与互为负倒数，求值【难度】【答案】【解析】由题意可得：，解得：或者，又因为m、n互为负倒数，所以所以【总结】本题综合性较强，解题时注意对每一个条件的准确理解和运用