七年级暑假讲义：第8讲 乘法公式一（教师版）

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1、乘法公式（一）内容分析平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用知识结构模块一：平方差公式知识精讲1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差（1）可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相

2、乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数（2）右边是乘式中两项的平方差例题解析【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）AB C D【难度】【答案】B【解析】A:完全平方公式；C：原式；D：原式【总结】对平方差公式概念的考查【例2】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）【总结】直接利用平方差公式进行计算【例3】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3） 【

3、总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a”，相反的项看作“b”【例4】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】平方差公式的连续运用【例5】 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a”，相反的项看作“b”【例6】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式 ；（2）原式；（3）原式【总结】平方差公式以及合并同类项的运用【例7】 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】平方差公式的连续运用【例8】 简便运算：（1）；（2）；（3）【难度】【答

4、案】（1）9996；（2）899.96；（3）【解析】（1）原式；（2）原式（3）原式【总结】平方差公式在简便运算中的运用【例9】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）-1；（2）2007；（3）1【解析】（1）；（2）（3）【总结】平方差公式在计算题中的运用【例10】 计算：（是正整数）【难度】【答案】【解析】原式【总结】平方差公式的提高性运用，关键在于如何启发学生添加“（2-1）”这一项模块二：完全平方公式知识精讲1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍、2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项

5、式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式例题解析【例11】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）ABCD【难度】【答案】C【解析】A：；B：；D：【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别【例12】 下列计算正确的是（）ABCD【难度】【答案】C【解析】A：正确答案为：；B：正确答案为：；D：正确答案为：【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用【例13】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）：（2）

6、；（3）【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算【例14】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】完全平方公式与合并同类项的运用【例15】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）0【解析】（1）原式；（2）原式【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”【例16】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别【例17】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2

7、）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】三项完全平方的综合运用，注：【例18】 简便计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）9960.04；（2）4020025【解析】（1）；（2）【总结】完全平方公式在简便运算中的运用【例19】 设，求（1）；（2）【难度】【答案】（1）34；（2）2【解析】（1）；（2）【总结】完全平方公式的变形及其应用常用的变形还有：；等【例20】 如图，已知和都为等腰直角三角形，求的面积（用含、的代数式表示）【难度】【答案】【解析】【总结】运用完全平方公式求几何图形的面积【例21】 已知，求的值【难度】【答案】38【解析】【总结】当两个数互为倒数

8、，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和即：或【例22】 已知：，则=_【难度】【答案】【解析】，解得：【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零【例23】 已知是完全平方式，求的值【难度】【答案】【解析】解：，且是完全平方式，【总结】考察如何配方成完全平方式【例24】 已知，、都是有理数，求的值【难度】【答案】-8【解析】，可得，解得：【总结】考察如何配方及非负性的运用【例25】 已知是完全平方式，求的值【难度】【答案】16【解析】解：可得：，【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解【例26】 甲、乙两家商店在9月份的销售额均为万元，在10月和11月这两个月中，

9、甲商店的销售额平均每月增长，乙商店的销售额平均每月减少，11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？【难度】【答案】答：11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多万元【解析】甲销售额；乙销售额，【总结】运用完全平方公式解决实际问题【例27】 已知，求：（1）；（2）【难度】【答案】（1）7；（2）47【解析】由可得（1）；（2）【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和即：或师生总结1、基本乘法公式有几个？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么？随堂检测【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）ABCD【难度】【

10、答案】D【解析】D选项为【总结】对平方差公式概念的考查【习题2】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式= 【总结】直接利用平方差公式进行计算【习题3】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】平方差公式与完全平方公式的运用，运用时注意两个公式的区别【习题4】 解方程：【难度】【答案】【解析】【总结】平方差公式在解方程中的运用【习题5】 化简求值：，其中【难度】【答案】-14【解析】原式【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a”，相反的项看作“b”【习题

11、6】 计算：（1） ；（2）；（3）【难度】【答案】（1）9984；（2）899.51；（3）【解析】（1）；（2）原式；（3）原式【总结】平方差公在简便运算中的运用【习题7】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】完全平方公式的直接运用【习题8】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别【习题9】 如图，是一个机器零件，大圆的半径为r+2，小圆的半径为r2，求阴影部分的面积【难度】【答案】【解析】【总结】考察圆的面积公式以及完全平方公式【习题10

12、】 计算：（1）已知，求代数式的值（2）已知，求代数式的值【难度】【答案】（1）27； （2）7【解析】（1）=；（2）=【总结】本题主要考查完全平方公式的逆用【习题11】 求值：（1）已知：，求代数式的值：（1）；（2）（2）已知：，求的值【难度】【答案】（1）7和47；（2）33【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用【习题12】 求值：（1）已知：，求的值；（2）已知：，求的值【难度】【答案】（1）；（2）5【解析】（1）；，（2），又，【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用【习题13】 已知：，求的值【难度】【答案】7【解析】解：，即【总结】利用完全

13、平方公式以及完全平方的特点进行整体求值【习题14】 我们把如下左图的一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形，再按如下右图围成较大的正方形（1）大正方形的边长是多少？（2）中间正方形（阴影部分）的边长是多少？（3）用两种不同的方法求阴影部分的面积；（4）比较两种方法，你能得到怎样的等量关系？【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由图可得；（2）由图可得；（3）方法1、；方法2、；（4）【总结】通过利用图形变换得到完全平方公式之间的转换课后作业【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）ABCD【难度】【答案】B【解析】B选项可以变为【总结】本题主要

14、考查对平方差公式的理解【作业2】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直接使用完全平方公式进行计算【作业3】 用简便方法计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）159991；（2）；（3）9999999；（4）5105【解析】（1）；（2）；（3）；（4）【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用【作业4】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】平方差公式和完全平方公式的综合运用【作业5】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】

15、完全平方公式的多次运用，注意在运用的过程中符号的确定【作业6】 求值：（1）已知，求代数式的值（2）已知，求代数式的值（3）已知，求的值【难度】【答案】（1）28；（2）-32；（3）2【解析】（1）；（2）；（3），【总结】完全平方公式和平方差公式的综合运用【作业7】 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】通过提取公因数构成平方差公式【作业8】 已知，求代数式的值【难度】【答案】16【解析】【总结】整式的乘法以及完全平方公式的运用【作业9】 不论取任何整数值，代数式的值总是整数的平方，求的值【难度】【答案】-15【解析】无论取任何整数值，【总结】利用完全平方的特征来判定代数式中字母的具体取值【作业10】 试说明不论取何值，代数式的值总是正数【难度】【答案】参考【解析】【解析】原式，得证【总结】完全平方公式在判定代数式正负中的运用