七年级暑假讲义：第4讲 幂的运算一（教师版）

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1、幂的运算（一）内容分析整式的乘除是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法单项式的乘法又以幂的运算为基础“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式（特例）由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲1、幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂在中，叫做底数，叫做指数

2、含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘例如：表示，表示，表示，表示，表示特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：；（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正例如：，特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不

3、为0的数的0次幂都是“1”3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加用式子表示为：（都是正整数）例题解析【例1】 下列各式正确吗？不正确的请加以改正（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【难度】【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：；（3）不正确，正确为：；（4）不正确，正确为：；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为：；（7）不正确，正确为：；（8）不正确，正确为：【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号【例2】 计算下列各式，结果用幂的形式表

4、示：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加【例3】 计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）0；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算【例4】 计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，

5、指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正【例5】 如果，且，试求m、n的值【难度】【答案】【解析】根据同底数幂的计算法则，可得，解方程组得【总结】考查同底数幂相乘的运算法则【例6】 求值：（1）已知：，求的值（2）已知：，求的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得，解得，；（2），可得，解得【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等【例7】 若，求的值【难度】【答案】【解析】由同底数幂的乘法计算，可得，由此，原式=【总结】本题主要考查同底数幂计算中整体思想的应用【例8】 解关于的方程：

6、（1）；（2）已知【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1） （2） 【总结】解此种类型的方程主要根据乘方的定义把含有未知数的项变作相同的项，再根据相互之间的关系转化求解【例9】 若，且，求的值【难度】【答案】594【解析】由，可得，则有，所以【总结】考查整体思想的应用，等量代换的方法模块二：幂的乘方知识精讲1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘例题解析2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即（、都是正整数）【例10】 计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；

7、（7）；（8）【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘【总结】本题主要考查幂的乘方的运算【例11】 当正整数分别满足什么条件时，？【难度】【答案】为偶数时，；为奇数时，【解析】幂的运算中，奇负偶正【例12】 已知：（为正整数），求的值【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查幂的乘方的运算，以及运算中整体思想的应用【例13】 计算（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）0【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算【例14】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）0【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算【例1

8、5】 已知求的值【难度】【答案】108【解析】【总结】本题注意考查幂的乘方运算中整体思想的应用【例16】 已知（、都是正整数），且不大于3，求的值【难度】【答案】【解析】依题意有，由此可得，解得，由此【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用【例17】 比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在，；（2）比较下列一组数的大小：；（3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），可得：；（2），可得：；（3），可得：【总结】本题中，指数幂运算结果都是很大的数，不可能直接算出来，采用间接法，利用幂的乘方运算法则，要么化作指数相同，比较底数

9、大小，要么化作底数相同，比较指数大小【例18】 已知，求的值【难度】【答案】22100【解析】原式=，代入公式，可得：【总结】本题主要考查对相关公式的变形运用模块三：积的乘方知识精讲1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：（是正整数）3、积的乘方的逆用：例题解析【例19】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负【例20】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】本题考

10、查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负【例21】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则【例22】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则【例23】 用简便方法计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）9；（2）；（3）1；（4）【解析】（1）原式=；

11、（2） 原式=；（3） 原式=；（4） 原式=【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字【例24】 简便计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=【总结】考查积的乘方简便运算，把握好乘方的定义，同时注意一定指数相同时才能进行积的乘方的逆运算【例25】 已知，求的值【难度】【答案】27【解析】，由，可得，则【总结】本题主要是幂的运算中整体思想的应用【例26】 已知：，求的值【难度】【答案】4【解析】由题目条件，根据积的乘方逆运用，可得，解方程得：【总结】本题主要考查积的乘方的逆用【例2

12、7】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查积的乘方的逆用【例28】 的积有多少个0？是几位数？【难度】【答案】有2009个0，是2010位数【解析】，可知式子乘积有2009个0，是2010位数【总结】本题主要考查积的乘方的逆用，注意指数的变化随堂检测【习题1】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算过程中的符号【习题2】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考

13、查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算后注意合并同类项【习题3】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查幂的运算，计算过程中注意符号的变化【习题4】 填空题：（1）为自然数，那么_；_；_；（2）当为_数时，；（3）当为_数时，【难度】【答案】（1）；（2）奇；（3）偶【解析】主要考查幂的运算中的符号，奇负偶正【习题5】 若是自然数，并且有理数满足，则必有()A；B；C；D【难度】【答案】B【解析】和互为相反数，则必为一正一负，根据“奇负偶正”可知两幂运算指数必为一奇一偶【总结】本题主要考查积的乘方以及相反数的相关概念【习题6】 填空：（1）计算：=_；（2）计算：=_；

14、（3）计算：=_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查幂的综合运算，计算过程中注意符号【习题7】 用简便方法计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=【总结】考查幂的运算的应用，一般将指数化作相同，用积的乘方逆运算应用计算【习题8】 如果，求n的值【难度】【答案】3【解析】将式子两边化作等底数幂，即有，故，解得【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用【习题9】 已知、互为负倒数，、互为相反数，的绝对值为，则=_【难度】【答案】【解析】依题意有，代入可得

15、：【总结】本题中注意d的取值以及负倒数的概念【习题10】 已知有理数，满足，求的值【难度】【答案】0【解析】依题意有，可解得：，代入可得：【总结】当几个非负数的和为零时，则这几个数分别为零【习题11】 已知，求之间的一个数量关系【难度】【答案】【解析】由312=36=66，根据题意代换可得：，即为由此可得：【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用【习题12】 小杰在学习幂的乘法时，发现，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的，于是他在计算与时，认为结果也应是相同的，你同意他的观点吗？说说你的理由【难度】【答案】不同意【解析】这两个幂的乘法运算可视作

16、积的乘方运算，积的乘方运算的结果是积中的每个因式分别乘方，会产生类似的运算，分别为奇偶时会产生不同的运算结果，奇负偶正，即要注意好运算符号，两个式子计算结果不相等【总结】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负【习题13】 三个互不相等的有理数，既可表示为，的形式，又可表示为，的形式，则【难度】【答案】2【解析】三个有理数互不相等，则，可得，进而可得，代入可得：【总结】本题主要考查对题目条件的理解，以及幂的运算的考查【习题14】 已知：，求的值【难度】【答案】【解析】由已知，即得，由此，对代数式化简，结果为：，代入数值计算得：【总结】本题中注意要先根据已知条件将等式转化为底数相同的幂，再根据指数相同

17、求出相应的字母的值，最后再求出代数式的值课后作业【作业1】 下列计算正确的是（）ABCD【难度】【答案】C【解析】考查幂的运算法则，熟练计算【作业2】 计算：（1）；（2）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】考查幂的运算法则，熟练计算【作业3】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查幂的综合运算【作业4】 简便计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）2；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】本题主要考查利用积的乘法法则完成简便运算【作业5】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查幂的乘方的运用【作业6】 求值：（1） 已知，求（

18、2）已知，求【难度】【答案】（1）72；（2）2000【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查整体思想的应用【作业7】 求值：（1）若，求的值（2）如果，求的值【难度】【答案】（1）729；（2）【解析】（1）；（2），由此，可解得【总结】本题主要考查整体思想的应用【作业8】 若、都是正数，且，比较、的大小【难度】【答案】【解析】，则有，即，又，且、都是正数，可得；由，则有，即，可知；综上所述，【总结】本题主要考查幂的乘法的综合运算，以及幂的大小比较，注意将不同的幂化成同底数或者是同指数【作业9】 已知，比较与的大小【难度】【答案】X=Y【解析】【总结】本题主要考查幂的大小比较，根据幂的乘方法则进行转化【作业10】 已知：，求的值【难度】【答案】1【解析】由题意，两式相乘，得：，故【总结】本题一方面考查整体思想的运用，另一方面考查幂的乘方的计算