七年级暑假讲义：第10讲 提取公因式法公式法分解因式（教师版）

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1、提取公因式法、公式法）内容分析内容分析学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法知识结构模块一：提取公因式法模块一：提取公因式法知识精讲知识精讲

2、知识结构1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式（2）提出公因式（3）写成与的乘积形式6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的

3、公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解例题解析例题解析【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式【总结】本题主要考查因式分解的定义【例2】 指出下列各式中的公因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式【总结】本题

4、主要考查公因式的定义【例3】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化【例4】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂【例5】 分解因式：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，

5、并且让系数变为整数【例6】 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并【例7】 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式【例8】 把下列各式分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法

6、分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂【例9】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数【例10】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式【例11】 先化简再求值：，其中，【难度】【答案】-1【解析】原式把代入，可得原式【总结】本题先提取公因式再计算，使得整个计算过程变得简单【例12】 已知，求的值【难度】【答案】0【解析】原式，再把代入，得原式=0【总结】本题一方面考查公因式的概念，另一方面

7、考查整体代入思想的运用【例13】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除【难度】【答案】见【解析】【解析】设这个三位数为，其中为1-9之间的整数，为0-9之间的整数，交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，所以，是整数，能被11整除【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念【例14】 已知：，求的值【难度】【答案】【解析】原式因为，所以，所以原式【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整体代入思想的运用【例15】 化简下列多项式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式知

8、识精讲模块二：公式法1、平方差公式：公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式；右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积2、完全平方公式：左边相当于一个二次三项式；左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定例题解析【例16】 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】直接利用平方差公式进行因式分解【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意对公式

9、的准确运用【例17】 把下列各式分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查利用完全平方公式分解因式【例18】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2） 原式；（3） 原式【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底【例19】 分解因式（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧【例20】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主

10、要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧【例21】 把下列各式分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）-4000；（2）-200【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查利用平方差公式进行巧算【例22】 把下列各式分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用完全平方式进行因式分解【例23】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式【例24】 把下列各式分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）解法一：原式，解法二：

11、原式；（2）原式【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式【例25】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查含字母指数的因式分解，注意先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解【例26】 已知，求的值【难度】【答案】1【解析】，即【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，以及利用整体代入思想求代数式的值【例27】 证明：两个连续奇数的平方差能被整除【难度】【答案】【解析】设较小的奇数的为其中是正整数，则另一个奇数为，则能被8整除，两个连续奇数的平方差能被整除解法二：此题也可以直接完全平方公式展开【总结】本题一方面考查利用公式法分解因式，另一方面考查整除的概念【例28

12、】 利用分解因式证明：能被120整除【难度】【答案】详见【解析】【解析】解法一：原式，解法二：原式，能被120整除【总结】本题主要考查利用因式分解来说明整除性【例29】 已知乘法公式：（1）；（2）利用或者不利用上述公式分解因式：【难度】【答案】【解析】解法一：利用上述公式：原式解法二：不利用上述公式：原式【总结】主要本题主要考查学生对于新的乘法公式在因式分解中的应用师生总结1、因式分解和整式乘法的关系是什么？2、因式分解的注意事项有哪些？随堂检测随堂检测【习题1】 观察下列从左到右的变形：（1）；（2）；（3）；（4）其中是因式分解的有_（填括号）【难度】【答案】（3）【解析】根据等式右边是

13、否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式【总结】本题主要考查因式分解的定义【习题2】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式【习题3】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解【习题4】 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式【习题5】 不解方程组，求代

14、数式的值【难度】【答案】6【解析】，【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解【习题6】 求代数式的值：，其中【难度】【答案】-4【解析】原式当时，原式【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解【习题7】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式时符号的变化【习题8】 分解因式（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意分解一定要彻底【习题9】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1

15、）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查对提取公因式法和公式法分解因式的两种方法的综合运用【习题10】 已知=，试用含、的代数式表示【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查利用公式法分解因式的思想，综合性比较强【习题11】 若、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？【难度】【答案】等腰三角形【解析】，即，ABC是等腰三角形【总结】本题利用因式分解的思想，判断出、的关系，提取公因式时注意符号课后作业【作业1】 下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积

16、表达形式【总结】本题主要考查因式分解的定义【作业2】 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【解析】根据提取公因式的方法进行因式分解【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式【作业3】 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底【作业4】 利用因式分解计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）-9700000000【解析】（1）原式；（2）

17、原式【总结】本题主要考查利用公式法进行简便计算【作业5】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意分解一定要彻底【作业6】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，（2）中注意整体思想的运用【作业7】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查公式法以及提取公因式法的综合运用，分解时注意进行观察【作业8】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，综合性较强，注意符号的变化【作业9】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查对因式分解的理解，综合性较强，（2）中注意整体思想的运用【作业10】 试说明：无论、为何值，的值恒为正【难度】【答案】见【解析】【解析】又，的值恒为正【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意任何一个实数的平方都是非负数