七年级暑假讲义：第6讲 整式的乘法一（教师版）

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1、整式的乘法（一）内容分析整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行例如：例题解析【例1】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（

2、1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【总结】本题主要考查单项式乘法法则系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同【例2】 计算：（1）；（2）；（3）（把作为整体看作一个因式的底数）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用【例3】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【总结】本题主要考查单项式乘法法则系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个

3、式子相乘与两个式子相乘法则相同【例4】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算【例5】 计算：（把作为整体看作一个因式的底数）【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用【例6】 已知：，求的值【难度】【答案】5【解析】原式=，由此可得，可解得，【总结】单项式相等，对应字母的次数相同【例7】 先化简，后求值：【难度】【答案】化简结果是，代入求值结果是【解析】原式=，代入求值得【总结】本题主要考查代数式的化简和求

4、值计算【例8】 先化简，再求值：，其中【难度】【答案】化简结果是，代入求值结果是1【解析】原式=，代入计算得：【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算【例9】 化简：【难度】【答案】当时，原式=；当时，原式=【解析】对原式进行分析整理，原式=，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当时，原式=；当时，原式=【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分类讨论，准确解题模块二：单项式与多项式相乘知识精讲1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加例如：=例题解析【例10】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】

5、【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项【例11】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计算时注意符号【例12】 计算：【难度】【答案】【解析】原式 【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类项运算【例13】 先化简，再求值：，其中【难度】【答案】化简结果是，代入求值结果是【解析】原式= 将代入计算得：【总结】本题

6、主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简，最后代值计算【例14】 先化简，后求值：，其中【难度】【答案】化简结果是，代入求值结果是1【解析】原式 将代入计算得：原式=【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简，最后代值计算【例15】 已知，求的值【难度】【答案】174【解析】原式 【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用【例16】 解关于的方程：【难度】【答案】【解析】 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾【例17】 已知：，求的值【难度】

7、【答案】【解析】根据题意，可得：，解得：原式=，代入计算得：原式=【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值【例18】 对任意有理数定义运算如下：，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时：，现已知所定义的新运算满足条件，12=3，23=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数xd=x均成立，求a、b、c、d的值【难度】【答案】【解析】根据题意，得，现存在一个不为零的数d使得对任意有理数xd=x，代入即为对任意恒成立，即关于的方程有无数解，故可得，结合和前面所得两个等式解方程可解得：【总结】本题主要考查新定义

8、运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式有无数解的情况进行讨论，此时模块三：多项式与多项式相乘知识精讲1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用公式表示为：例题解析【例19】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式【例20】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总

9、结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加【例21】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式 =；（3）原式=【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单【例22】 若的乘积中不含和项，求m和n的值【难度】【答案】【解析】原式=，因为两式乘积中不含和项，所以可得，解得【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可【例23】 已知a、b、m均为正整数，且，则

10、m可能取的值有多少个？【难度】【答案】2个，m的值为16或8【解析】，由此可得，、均为正整数，可知、为15的因数，15=53，或15=151，由此可得或【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数【例24】 已知：多项式，求的值【难度】【答案】1【解析】，原式=，由此可得，解得又，将代入该式中即得【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若两式相等，则对应项的系数也相等【例25】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S（结果用含、的式子表示）【难度】【答案】【解析】=【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算【

11、例26】 解方程：【难度】【答案】【解析】 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾【例27】 解不等式：【难度】【答案】【解析】 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾【例28】 学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为米，比赛的终点线定在如图所示的C处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（取，精确到米）【难度】【答案】【解析】设第一道半径为，则第二道半径为，观察两道上运动员的位置，可知两条跑道上运动员起始

12、距离应为【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想师生总结1、你能熟练地说出整式乘法的类型有哪几种吗？2、你能将这几种类型的法则熟练地说出来吗？3、在理解和运用多项式与多项式相乘的法则时，应注意哪几点？随堂检测【习题1】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=；（4） 原式=【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化【习题2】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（

13、2）；（3）【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算【习题3】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式=；（2） 原式=【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算【习题4】 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算【习题5】 计算：（1）（为正整数，）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式= = =；（2） 原式= = =

14、；（3） 原式= = =；（4） 原式= = =【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式【习题6】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化【习题7】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想【习题8】 若，则代数式的值【难度】【答案】0【解析】原式=【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用【习题9】 先化简，再求值：，求的值【难度】【答案】【解析】原式

15、=， 将代入计算得：原式=【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用【习题10】 先化简，再求值：，其中【难度】【答案】化简结果是，代入求值结果是【解析】原式=，将代入计算得：原式=【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为米，下底为米，高是米（1）写出这块梯形的面积公式；（2）当米，米，米时，求它的面积【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）梯形的面积公式，（2）【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算【习题12】 解方程：【难度】【答案】【解析】 【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，

16、同时对解方程的知识进行回顾【习题13】 已知：求：的值【难度】【答案】【解析】因为，由此可得，解得将代入，可得：【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算课后作业【作业1】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2） 原式=；（3） 原式=【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同【作业2】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式= = =；（2）原式=【总结】本题

17、主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则 【作业3】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2） 原式=【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可【作业4】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式= = =【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用【作业5】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2） 原式=【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一

18、项，再进行合并同类项的运算【作业6】 当时，代数式的值为_【难度】【答案】【解析】对代数式化简，结果为，将代入，求值计算，得：原式=【总结】本题主要考查代数式的化简求值【作业7】 已知：多项式，求与的值【难度】【答案】【解析】因为，又，所以可得，解得【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同【作业8】 已知：，求代数式：的值【难度】【答案】7420【解析】因为，又，所以可得：，对代数式化简可得：原式=，将，代入，则原式=【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值【作业9】 已知与的积不含的项，也不含的项，试求与的值【难度】

19、【答案】【解析】，因为多项式的积不含的项，也不含的项，所以可得：，解得【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点例如：，小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系.”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算吗？【难度】【答案】（1）；（2）【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式（2）式变形即得原式=【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律