七年级暑假讲义:第13讲 因式分解综合(教师版)
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1、因式分解综合)内容分析本部分内容包括因式分解的有关概念,因式分解的常用基本方法因式分解在代数学习中具有基础作用,它在代数的恒等变换,分式的通分,约分以及解方程方面都起着重要作用通过学习,可以培养学生的观察、分析、运算能力 知识结构知识精讲一、因式分解基本概念1、因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式2、因式分解与整式乘法互为逆变形:式中可以代表单项式,也可以代表多项式,它是多项式中各项都含有的因式,称为公因式二、四种基本方法:1、提取公因式法:多项式各项都含有公因式,可把公因式提到外面,将多项式写成与的乘积形式,此法叫做提取公因式
2、法提取公因式的步骤:(1)找出多项式各项的公因式(2)提出公因式(3)写成与的乘积形式提取公因式法的几个技巧和注意点:(1)一次提净(2)视“多”为“一”(3)切勿漏1(4)注意符号:在提出的公因式为负的时候,注意各项符号的改变(5)化“分”为整:在分解过程中如出现分数,可先提出分数单位后再进行分解 (6)仔细观察:当各项看似无关的时候,仔细观察其中微妙的联系,转化后再分解2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法(1)平方差公式:由平方差公式反过来可得:,这个公式叫做因式分解的平方差公式;(2)完全平方公式:由完全平方公式反过来可得:和,这两个公式叫做因式分解的完全平方公式3、十字
3、相乘法:如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积,而且一次项系数又恰好是,那么就可以进行如下的分解因式,即:要将二次三项式分解因式,就需要找到两个数、,使它们的积等于常数项,和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式,即:这种利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 4、分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法选择题1. 下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做因式分解,因此判断B正确【总结】本题主要考
4、查因式分解的概念2. 下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为()A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做因式分解,因此判断C正确【总结】本题主要考查因式分解的概念3. 下列各式的分解因式: ;其中正确的个数有()A、0B、1C、2D、3【难度】【答案】B【解析】其中应该为;应该为;不能因式分解【总结】本题主要考查因式分解的概念4. 多项式各项的公因式是()A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】根据公因式的定义【总结】本题主要考查公因式的概念5. 已知多项式分解因式为,则、的值为()A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】【总结】考查整式的乘法
5、以及待定系数法6. 下列多项式中不能用平方差公式分解的是()A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】B选项变形可得【总结】考查平方差公式的定义7. 下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是()A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】D选项变形为【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用8. 已知正方形的面积是(),则正方形的边长是()A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式9. 分解因式得()A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式,注意一定要分解彻底10. 一个多项式分解因式的结果是,那么这个多
6、项式是()A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系11. 若多项式能分解成,那么=()A、2B、4C、6D、8【难度】【答案】B【解析】【总结】考查整式的乘法以及幂的运算12. 如图,在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形(),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是()A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】割补法求面积【总结】直接利用面积公式进行求解,这也是验证平方差公式成立的一种方法13. 直接写出因式分解的结果:(1)_;(2)_【难度】【答案】(1);(2)【解析】(
7、1)原式;(2)原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解14. 填上适当的式子,使等式成立:【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解,注意不要遗漏提取因式后的115. 的公因式是_【难度】【答案】【解析】【总结】考查如何提取公因式16. 利用分解因式计算:(1)=_;(2)=_;(3)=_【难度】【答案】(1)7;(2)6.32;(3)5000【解析】(1)原式(2)原式;(3)原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解,注意进行巧算17. 利用因式分解简便计算:_【难度】【答案】45.8【解析】原式【总结】本题主要考查利
8、用乘法公式进行简便运算18. 若,则=_,=_【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法19. 分解因式:=_【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解,注意分解要彻底20. 已知:若,则的值为_【难度】【答案】4或-1【解析】,a = 4b或a = -b,的值为4或-1【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程21. 计算的值为_【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用因式分解进行分数简便运算22. 如果已知,则的值为_【难度】【答案】24【解析】【总结】利用因式分解求解代数式的值23. 若,则=_,=_【难度
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