七年级暑假讲义：第1讲 字母表示数代数式及代数式的值（教师版）

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1、字母表示数、代数式及代数式的值内容分析字母表示数、代数式及代数式的值是七年级第一学期第九章第一节内容在人类发展的历史长河中，先有量，再有数，从量到数是人类认识上的第一次飞跃，并由此产生了算数的理论随着生产的发展，用数来表达数量关系的一般规律就显得无能为力于是必然引起数学史上的第二次抽象，即用字母表示数有了字母表示数，代数式、方程出现了，数学中的定理、性质、定律、法则、运算定律等也能用字母公式简洁表达出来“代数式的值“是字母表示数之后的后续内容，又可贯穿于初中代数学习的始终所以，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解代数的核心问题字母表示数、代数式的概念，也能让学生为将来的函数学习作一个铺

2、垫知识结构模块一：字母表示数知识精讲1、字母表示数要注意的几点：数字与字母及字母与字母的乘号要省略；除法运算要用分数线来表示；数学应写在字母的前面，当字母前的数字是1的时候应省略不写（当字母前的数字是带分数时，一定要带分数化成假分数；主体为和的形式，后面有单位需加括号；注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来2、代数式：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式注意：单独一个数或一个字母也是代数式用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的

3、值若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序例题解析【例1】 填空题（1）某种足球元，则涨价20%后是_元；（2）箱橘子重，每箱重_；（3）购买单价为元的笔记本8本，共需人民币_元；（4）小明的体重是，小红比小明重，则小红的体重是_；（5）张师傅第一天生产个零件，第二天比第一天减少5%，第二天生产零件_个【难度】【答案】（1）；（2）；（3）8a；(4)a+b；(5)【解析】主要考查如何书写代数式【例2】 设某数为，用表示下列各数：（1）某数与的差；（2）某数的与的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数；（5）某数的30%除以的商【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（

4、4）；（5）【解析】考查最基本的代数式的表示【总结】书写代数式时，注意数字要在字母之前，另外要注意区分差的平方与平方的差的区别【例3】 表示一个两位数，表示一个两位数，把放在的左面，末位再添上1得到一个五位数，求这个五位数等于多少？【难度】【答案】1000x+10y+1【解析】考查代数式的表示1条2条3条【例4】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼“，则搭条“金鱼“需要火柴多少根？【难度】【答案】6n+2【解析】由题意得：当n=1时，8条；当n=2时，8+6条；当n=3时，8+6+6条；n，8+6(n-1)=6n+2【总结】本题主要考查找规律的运用【例5】 如图是一组有规律的图案，第

5、1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第（n是正整数）个图案中由_个基础图形组成（1）（2）（3）【难度】【答案】3n+1【解析】当n=1时，3+1个基本图形；当n=2时，3+3+1个基本图形；当n=3时，3+3+3+1个基本图形；n,3n+1个基本图形【总结】本题主要考查找规律的运用【例6】 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数？【难度】【答案】3n+2【解析】当n=1时，5个；当n=2时，5+3个；当n=3时，5+3+3个；n，5+3（n-2)=3n+2【总结】本题主要考查找规律的运用【例7】 某城市固定电话的收费标

6、准是：三分钟以内（不足三分钟按三分钟计算）收元，以后每分钟收元，请写出通话时间分钟应交的电话费？【难度】【答案】【解析】三分钟以内收费都是0.22元；大于三分钟的部分为0.11（t-3)+0.22=0.11t-0.11【总结】本题主要考查分类讨论的思想模块二：代数式知识精讲1、代数式的概念：代数式是用运算符号把表示数的字母连接而成的式子注：单独一个数或一个字母也是代数式；“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆）2、列代数式抓住关键性词语，如“大“、“小“、“多“、“少“、“和“、“差“、“积“、“商“、“倍“、“分“等理清运算顺序对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算

7、在后正确使用括号一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号；若相反则不需使用括号正确利用“的”、“与”划分句子层次“的”字一般表示从属关系，“与”字一般表示并列关系例题解析【例8】 下列各式，哪些是代数式？（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）【难度】【答案】(1)、(4)、(5)、(7)、(9)、(10)、(11)【解析】代数式是指用运算符号把表示数的字母连接而成的式子【总结】本题主要考查代数式的概念，注意对（12）的准确理解，代数式是不带单位的师生总结1、等式、不等式、代数式有何区别？2、初中的代数式分成

8、哪几种？【例9】 用代数式表示：（1）比的3倍还多2的数；（2）的倍的相反数；（3）9减去的的差；（4）、两数的和与减去的差的积；（5）、平方的差；（6）、的差的平方【难度】【答案】（1）3a+2；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）【解析】略【总结】本题主要考查代数式的书写，注意对关键字词的把握【例10】 写出代数式：（1）用代数式表示：平方的倒数减去的差；（2） 1千克桔子价格为元，小明买了10千克桔子，用字母表示小明买的桔子的总钱数；（3）与y的的和；（4）比与的差的一半小2；（5）的倒数的差与的倒数和的积的2倍；（6）的2倍与平方的差；（7）与平方的2倍的差【难度】【答案】（1）；

9、 （2）10a； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）【解析】略【总结】本题主要考查代数式的书写，注意对平方的差以及差的平方的正确理解【例11】 说出下列各小题中两个代数式的意义，并说明两个代数式的意义有何不同？（1）与；（2）与；（3）与；（4）与【难度】【答案】(1)第一个表示x的2倍与3的差，第二个表示：x与3的差的2倍； （2）第一个表示：m的，第二个表示：与m的和； （3）第一个表示：与7的差，第二个表示a与b-7的商； （4）第一个表示：a与b的和的倒数，第二个表示：a的倒数和b的倒数的和.【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型【例12】 填空题：（1）2000

10、元人民币存入银行，定期2年，年利率，扣除20%的利息税后，到期取得本利和元（2）一种商品进价为每件元，按进价增加出售，则售价是元；后因库存积压降价，按售价的九折出售，则此时的售价为元，每件还盈利元（3）某市去年GDP为180亿，今年比去年增加，今年该市的GDP是_【难度】【答案】（1）；（2），；（3）180（1+)【解析】（1）本利和为：；（2）售价为：，此时的售价为：，盈利：（3）【总结】本题主要考查代数式的书写【例13】 某商品的原价为100元，连续经过两次降价一次提价，且每次降价、提价的百分比都是m，那么该商品现在的价格是多少元？【难度】【答案】【解析】原价是100，第一次降价后价格为

11、100（1-m)，第二次降价价格为，第三次是提价m，价格为【总结】本题主要考查降价以及提价的运用【例14】 甲、乙两地之间的公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米（1）某人从甲地到乙地需要走多少个小时？（2）如果每小时多走2千米，某人从甲地到乙地需要走多少个小时？（3）速度变化后，某人从甲地到乙地比原来少用了多少个小时？【难度】【答案】（1）；（2）；（3）-【解析】速度=路程时间【总结】本题主要考查利用路程与时间的关系书写代数式【例15】 如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此继续下去，请你

12、根据每个图形中的三角形个数的规律，完成下列问题（1）将下表填写完整（2）在第个图形中有_个三角形（用含的式子表示）（1）（2）（3）【难度】【答案】（1）13，17；（2）【解析】这是一道找规律的题目由题意可以依次类推出当第n个图形时，图形中所含有的三角形的个数为个【例16】 下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形仔细观察图形可知：图有1块黑色的瓷砖，可表示为；图有3块黑色的瓷砖，可表示为；图有6块黑色的瓷砖，可表示为；实践与探索：（1）请在图的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图）（2）第10个图形有_块黑色的瓷砖；（直接填写结果）第个图形有_块黑色的瓷砖（用含的代数

13、式表示）图图图图【难度】【答案】(1)如图所示 （2）1+2+3+4+5+.+10=55； 1+2+3+.+n=【解析】（1）根据前三个图，则增加一行就增加4块黑色的瓷砖；（2）观察图形发现规律，进一步列出代数式，运用简便方法，即首尾相加进行计算【总结】本题一方面可以根据每一个图形中所含的黑块的个数找到规律特征，也可以根据题目中给出的计算方法得出计规律模块三：代数式的值知识精讲1. 代数式的值：用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的记过叫做代数式的值2. 求代数式的值第一步：用数值代替代数式里的字母第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果例题解析【例17】 当时，求多项式的

14、值【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查代数式的化简求值【例18】 当，时，多项式的值【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查代数式的化简求值【例19】 已知：，求多项式的值【难度】【答案】【解析】由题意得，原多项式=【总结】本题一方面考查绝对值的性质，另一方面考查代数式的化简求值【例20】 如果代数式的值为3，的值是2，那么代数式的值是多少？【难度】【答案】16【解析】由题意，可得：，解得：，所以【总结】本题主要考查利用方程的思想求出a、b的值，从而求出代数式的值【例21】 已知：，则的值是多少？【难度】【答案】2003【解析】由题意可知，【总结】本题主要考查整体代入思想

15、的运用【例22】 已知，求的值【难度】【答案】2或6【解析】由题意可得：，所以：；【总结】本题一方面考查绝对值的性质，另一方面考查代数式的求值【例23】 小明同学在课外碰到了这样一道题，计算的值，其中小明一时粗心，把错写成，但他发现自己的计算结果也是正确的，你知道这是为什么吗？小明计算的结果是多少？【难度】【答案】因为x的指数是偶数，互为相反数的偶数次幂的值是相同的，计算的结果是-100【解析】【总结】本题主要考查负数的偶次幂的性质【例24】 已知：关于的二次多项式，当时的值为，求当时，该多项式的值【难度】【答案】-1【解析】原多项式可以化简为：，因为该多项式为二次多项式，则a+1=0，即当x

16、=2时，多项式的值为-17，即，所以，所以当时，原式【总结】本题主要考查求多项式的值的方法【例25】 已知：，其中为常数，当时，；当时，求的值【难度】【答案】-6【解析】把x=2，y=23代入原式，得：，把，代入原式，得：，将两式相加，可得：，解得：【总结】本题主要考查多项式的求值，注意符号的变化【例26】 已知：，求：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）将代入原代数式即可；（2）将代入原代数式即可；（3）将（1）、（2）两式相加除以2即可得出结果【总结】本题主要考查代数式的求值，注意系数的变化随堂检测【习题1】 选择题（1）下列各题中，错误的是（）A代

17、数式的意义是的平方和B代数式的意义是5与的积C的5倍与的和的一半，用代数式表示是D的与的的差，用代数式表示是（2）某商品打九折后价格为元，则原价为（）A元B元C元D元（3）随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了元，然后又下调了，现在收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟为（）A元B元CD元（4）某剧场有34排座位，一、二排各有个座位，以后每一排比前一排多一个座位，最后一排的座位数是（）ABCD【难度】【答案】(1)C；（2）B；（3）D；（5）C【解析】这几道题目都是考查代数式的表示，属于基础题型【习题2】 用代数式表示下列各数：（1）、两数和的倒数；（2）

18、、两数倒数的和；（3）、的平方差；（4）的2倍与的的差；（5）的5倍与7的和的一半；（6）、两数的平方和减去它们乘积的2倍；（7）、两数的和的平方减去它们的差的平方；（8）、两数的和与它们的差的乘积【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【解析】基础题型，主要考查的是代数式的表示【习题3】 说出下列代数式的意义：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）、两数的平方和； （2）、两数和的平方；（3） a与b的平方的差； （4）a与b、c两个数的和的差【解析】考查的是代数式的意义【习题4】 当时，求代数式的值【难度】【答案】13【解析】 【总结】本

19、题主要考查代数式的求值【习题5】 已知为3的倒数，为最大的负整数，求代数式的值【难度】【答案】【解析】由题意，可得：，【总结】本题一方面考查倒数的概念，另一方面考查代数式的求值【习题6】 若，求的值【难度】【答案】【解析】由题意，得：，则【总结】本题主要考查整体代入思想的运用【习题7】 如图所示，图中正方形部分的边长为，长方形部分的长为（1）用关于、的代数式表示整个图形的面积；（2）当时，求整个图形的面积【难度】【答案】（1）；（2）384【解析】（1）整个图形的面积为；（2）将时代入，可得：【总结】本题一方面考查利用字母表示图形的面积，另一方面考查代数式的求值【习题8】 如图所示，是L形钢条

20、截面，求它的面积为多少？【难度】【答案】【解析】钢条的截面面积为：【总结】本题主要考查利用代数式表示图形的面积【习题9】 为了美化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长50米，宽30米，并在草坪上修建如图所示的十字路，小路宽为米，用代数式表示（1）修建的小路面积为多少平方米；（2）草坪的面积是多少平方米【难度】【答案】(1)；(2)【解析】(1)小路的面积为；（2） 草坪的面积为长方形的面积与小路的面积的差，即：【总结】本题主要考查利用代数式表示图形的面积【习题10】 按图所示的方法搭正方形，搭个正方形需要多少根火柴棒？【难度】【答案】【解析】当x=1时，需要4+30=4根火柴棒；当x=2时，需

21、要4+31=7根火柴棒；当x=3时，需要4+32=10根火柴棒；当x=4时，.当x个正方形时，需要4+3（x-1)=3x+1根火柴棒.【总结】本题主要考查找规律问题【习题11】 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有盆花，每个图案中花盆总数为，按照图中的规律可以推断与的关系？【难度】【答案】【解析】当时，32 =6； 当时，43；当时，45；.S=【总结】这是找规律的题目，是近年来的考试热点【习题12】 已知：，则=_【难度】【答案】【解析】，即，原式=【总结】本题主要考查代数式的求值，注意各项之间的关系【习题13】 若为整数，且，求的值【难度】【

22、答案】2【解析】根据绝对值的意义和已知条件a、b、c均为整数，且，确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分类讨论的过程中确定，从而问题解决【总结】本题考查根据已知条件确定a、b、c的取值及关系式解决问题的关键，同时注意讨论过程的全面性课后作业【作业1】 选择题：（1）下列代数式，符合代数式书写要求的有几个（）A1个B2个C3个D4个（2）如果两数之和为7，其中一个数用表示，那么这两个数的积的代数式是（）ABCD（3）用语言叙述代数式，正确的是（）A两数的平方差B与的差的平方C与的平方的差D两数的平方差（4）下列说法正确的是（）A的倍列代数式表示是或B与的读法都是加分之C5不是代数式D不是代数

23、式（5）如果长方形的周长是20，它的一边长用x表示，则面积应为（）ABCD【难度】【答案】（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）A【解析】本题主要考查的是代数式的列法和意义【作业2】 列代数式：（1）除以商加上的和；（2）与的平方和；（3）与的和的倒数；（4）与的差的平方除以与的和商是多少？【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】本题主要考查的是代数式的意义【作业3】 求代数式的值：（1）时，求代数式的值；（2）当时，求代数式的值；（3）当时，求代数式的值；（4）当时，求【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8【解析】（1）；（2）；（3）原式=；（4）【总结】本

24、题主要考查的是代数式的值的求法，注意在计算的过程中符号【作业4】 若，求代数式的值【难度】【答案】4【解析】由题意，得：，所以【总结】当几个非负数的和为零时，则这几个非负数分别为零【作业5】 有一块长为、宽为的长方形铝片，将其四角各截去一个相同的边长为的正方形，折起来做成一个没有盖子的盒子，则此盒子的容积的表达式是什么？【难度】【答案】【解析】如图所示，容积为：【总结】本题主要考查利用代数式表示盒子的容积【作业6】 学校组织教师和学生到森林公园春游，每位教师的车费为x元，每位学生的车费为y元，学生每满100人可优惠2人的车费，如果该校初一年级有教师15人，学生326人，请用代数式表示需要付给汽

25、车公司的总费用【难度】【答案】【解析】15个教师共需要费用15x，326个学生可以优惠6个人的车费，只需要负担320个人的车费即320y即可，攻击付给汽车公司的总费用为【总结】本题主要考查利用列代数式解决实际问题【作业7】 用一条长20的铅丝围成一个长方形，设长方形的一条边长为a（1）用代数式表示长方形的面积；（2）用的值分别取4、5、6，哪一种取法所围成的长方形面积最大？【难度】【答案】（1）；（2）a=5时，所围成的面积最大为25【解析】（1）铅丝总长为20，所围长方形一条边长为a，另一条边长为10-a，长方形的面积为；（2）当长方形的长和宽相等时，即长方形为正方形的时候，面积最大，此时a

26、=5【总结】本题一方面考查用代数式表示面积，另一方面考查求代数式的值【作业8】 已知ABCD是长方形，以为直径的圆弧与只有一个交点，且=（1）用含a的代数式表示阴影部分面积；（2）当a10cm时，求阴影部分面积（取3.14，保留两个有效数字）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）阴影部分的面积为：（或者用割补法直接写出）；（2）当a=10时，阴影部分的面积【总结】（1）结合矩形的性质，得阴影部分的面积等于半圆的面积；（2）把a的值代入（1）中求解即可【作业9】 用两种方法表示图中由正方形和长方形拼成的图形的面积，你能得到一个怎样的结论【难度】【答案】因为， 【解析】由于大正方形的边长为，面积就是，还可以表示成【总结】本题主要考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用割补法得到公式【作业10】 若，求：（1）的值；（2）的值【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】（1）将代入，得：；（2） 将代入，得：，将其与相减，可得：【总结】本题主要考查代数式的求值，注意观察系数的特征