七年级暑假讲义：第11讲 十字相乘法（教师版）

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1、十字相乘法）内容分析十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重

2、要的地位知识结构知识精讲十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式例题解析【例1】 如果，那么p等于（）AabBCD【难度】【答案】D【解析】【总结】利用十字相乘法以及待定系数【例2】 不能用十字相乘法分解的是（）ABCD【难度】【答案】D【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和

3、常数项分解之后其之和等于1，判断出D【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数【例3】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【例4】 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【例5】 为下列各数时，将关于的多项式分解因式（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项

4、系数【例6】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【例7】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【例8】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式【例9】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式；（

5、2）原式【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解为止【例10】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止【例11】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同【例12】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【例13】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（

6、2）【解析】直接利用十字相乘法，其中把括号内与看作整体即可【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【例14】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意因式分解要彻底【例15】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【例16】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【例17】 分解因式：【难度】【答案】【解

7、析】原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意合并同类项与因式分解要彻底【例18】 已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求的值【难度】【答案】【解析】设，可得，根据ab是有理数，可得，；，；，；，；，；，；，；，【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用【例19】 长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积.【难度】【答案】15【解析】由长方形周长为16cm，因式分解，得：，即或者，解得：，是整数，该矩形的面积为15【总结】利用因式分解以及根据周长求出边长再求面积，考察学生对题中条件的运用和分析能力师生总结十字相乘法的基本步骤和方法是什么？随堂检测【习题1】 如

8、果，则b为（）A5BCD6【难度】【答案】B【解析】，【总结】利用十字相乘法以及待定系数【习题2】 填空题：已知：，_，_【难度】【答案】或【解析】，所以或【总结】利用十字相乘法以及待定系数【习题3】 为下列各数时，将关于的多项式分解因式（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【习题4】 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】直接利用十字相乘法即可【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数【习题5】 将下述多项

9、式分解后，有相同因式的多项式有（）；A2个B3个C4个D5个【难度】【答案】A【解析】原式；原式；原式；原式；原式；原式故包含因式的多项式只有和【总结】本题主要考查因式分解的综合运用【习题6】 填空：当_时，多项式有一个因式为_（只需填写一个合理答案即可）【难度】【答案】参考答案：-4；【解析】根据十字相乘法则，只要满足二次项系数与常数项分解后之和为7即可【总结】利用十字相乘法以及待定系数，本题难度较大，注意二次项系数不等于1【习题7】 若，则代数式的值为_【难度】【答案】17【解析】【总结】利用因式分解求代数式的值【习题8】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】直接利用十字相乘，注

10、意符号问题【习题9】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【习题10】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【总结】直接利用十字相乘法分解因式，注意多项式中含有两个字母，因此分解的因式中也要含有两个因式【习题11】 分解因式：【难度】【答案】【解析】【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同【习题12】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式

11、；（2）原式；（3）原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【习题13】 分解因式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解，综合性较强【习题14】 分解因式：【难度】【答案】【解析】【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【习题15】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意判断哪些是无法十字相乘的二次三项式【习题16】 分解因式：【难度】【答案】【解析】方法一：原式；方法二：原式【总结】

12、本题有两种方法，一是先拆开再利用十字相乘法，二是先利用公式再提取公因式【习题17】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意最后合并同类项【习题18】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查了“换元法”的思想，将看作一个整体，再利用十字相乘法进行因式分解【习题19】 已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求的值【难度】【答案】【解析】设，可得，根据ab是有理数，可得，；，；，；，；，；，；，；，【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用课后作业【作业1】 多项式可分解为，则a，b的值分别为（）A10和B和2C10和2D

13、和【难度】【答案】D【解析】由，可得：，所以，【总结】利用十字相乘法以及待定系数【作业2】 分解结果等于的多项式是（）ABCD【难度】【答案】A【解析】【总结】本题主要考查因式分解与多项式乘法间的关系【作业3】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘【作业4】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解【作业5】 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母【作业6】

14、 分解因式：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直接十字相乘即可【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母【作业7】 分解因式：【难度】【答案】【解析】、【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底【作业8】 已知，求的值【难度】【答案】【解析】，或者或者【总结】利用因式分解求解方程，注意多解情况以及解是否满足题意【作业9】 分解因式：【难度】【答案】（上海教材立方公式不考查）或【解析】原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底，有能力的学生可以鼓励其用立方公式【作业10】 分解因式：【难度】【答案】【解析】原式【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底