七年级暑假讲义：第19讲 分式的加减及综合计算（教师版）

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1、分式的加减及综合计算内容分析本节课主要内容是同分母分式相加减和异分母分式相加减，是通分与约分的应用，也是解分式方程的基础，所以说这节课的内容在本章中起着承上启下的作用，在整个初中代数运算中也起着非常重要的作用分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序知识结构模块一：分式的加、减法知识精讲一、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减二、异分母的分式加减法法则：（1） 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母（2） 异分母分式加减法法则：分母不同

2、的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简例题解析【例1】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】本题主要考查同分母的加减法【例2】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意计算结果一定要是最简分式【例3】 化简的结果是（）A、B、C、D、【难度】【答案】A【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意结果为最简分式【例4】 若，则=_【难度】【答案】-5【解析】本题一方面考查分式值为零的条件，另一方面考查同分母的加减法【例5】 将分式化成分母分别为以下整式的分式：（1）；（2）【

3、难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要是利用分式的基本性质将分式的分母化为指定的分母【例6】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减法【例7】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减法，注意结果要化为最简分式【例8】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减法，注意结果要化为最简分式【例9】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2

4、）【总结】本题主要考查同分母分式的加减法，当分母是多项式时，注意要分解因式【例10】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1） ； （2） ；（3） ；（4）【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算【例11】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算【例12】 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）； （2）【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运

5、算，并且要特别注意符号的变化【例13】 已知，则_【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查异分母分式加法以及整体代入思想的运用【例14】 某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下已知该同学上楼速度是米/分，下楼速度是米/分，求他上、下楼的平均速度（用含、的代数式表示）【难度】【答案】【解析】【总结】本题要注意速度等于路程除以时间，不要简单的求两个速度的平均数【例15】 若，则的值为（）A、正数B、负数C、零D、无法确定【难度】【答案】A【解析】【总结】本题主要是通过做差法来比较两数的大小【例16】 若，则=_【难度】【答案】【解析】，【总结】本题主要考查异分母分式的减法以及整体代入思想

6、的运用【例17】 已知，则_【难度】【答案】3【解析】【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，那它们的平方和的等于和的平方减2模块二：分式的综合计算知识精讲一、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的例题解析【例18】 化简：的结果是（）A、2B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查分式的混合运算，计算时注意法则的准确运用【例19】 化简：的结果为（）A、B、C、D、1【难度】【答案】A【解析】原式=【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的【例20】 计算：的结果为（） A、B、C、D、【难度】【答案】A【解析

7、】原式=【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的【例21】 计算：的结果为（） A、1B、C、D、【难度】【答案】A【解析】原式=【总结】本题依旧考查的是分式的混合运算，注意先乘除后加减【例22】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】（1）（2）【总结】本题依旧考查分式的混合运算，第（1）小题注意乘法分配率的运用，第（2）小题注意符号的变化【例23】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查分式的混合运算，在计算时一方面注意法则的准确运用，一方面注意方法的灵活【例24】 已知，又，则用的代数式表

8、示x应为（ ）A、B、C、D、【难度】【答案】A【解析】【总结】本题主要是考查分式之间的关系，注意等量代换的运用【例25】 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用800元，而不管购买多少饲料（1） 甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2） 谁的购货方式更合算？【难度】【答案】（1）甲的单价是（元/千克）；乙的单价是（元/千克）；（2）乙的购买方式合算【解析】（1）设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m、n是正数，且）则甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克），乙两次购买饲料的平均单价为（元/千

9、克）（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是：由于m、n是正数，且，那么也是正数，即，因此乙的购买方式更合算【总结】本题是一道应用题，解题时注意对题目的正确理解和公式的准去运用【例26】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）【总结】本题的综合性比较强，在计算时注意要细心一些【例27】 计算：【难度】【答案】【解析】【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的【例28】 已知，求下式的值：【难度】【答案】-5【解析】，【总结】本题主要是利用分式的性质，通过整体代入的思想求值，另外本题也可以通过分式的混合运算，算出分式的最终结果之后再求值【例29】

10、 化简：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择【例30】 若和互为相反数，求的值【难度】【答案】【解析】和互为相反数，代入，得原式【总结】本题一方面考查了当几个非负数的和为零时，则每一个数都为零，另一方面考查了分式的混合运算【例31】 已知：，求的值【难度】【答案】0【解析】【总结】本题一方面考查分式的运算，另一方面考查了整体代入的思想随堂检测【习题1】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查同分母的加减运算【习题2】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）2【解析】（1）；（

11、2）【总结】本题主要考查同分母的加减运算【习题3】 分式，的最简公分母为（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】本题主要考查最简公分母的概念【习题4】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算【习题5】 已知，那么等于（ ）A、4B、C、0D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查异分母分式的混合运算【习题6】 计算的结果是（ ）A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】【总结】本题主要考查分式的乘除运算【习题7】 化简：的结果是（）A、B、C、D、 4【难度】【答案】C【解析】【总结】本题主要考查异分母分式

12、的加减，注意符号的变化【习题8】 已知：，则M与N的大小关系是（）A、B、C、D、不确定【难度】【答案】A【解析】【总结】在比较两数的大小时，通常采用做差法【习题9】 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式 【总结】本题主要考查分式的混合运算，要注意法则的准确运用和符号的变化【习题10】 已知，则代数式的值为_【难度】【答案】4【解析】，【总结】本题主要考查异分母分式的减法以及整体代入思想的运用【习题11】已知：，则=_，=_【难度】【答案】-1；3【解析】，【总结】本题主要考查分式的加减运算【习题11】 已知，求的值【难度】【答案】【解析】，【总

13、结】本题主要是考查如何将已知的方程化为互为倒数的两个数的和【习题12】 化简：【难度】【答案】1【解析】【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意对分子和分母都要进行因式分解【习题13】 化简：【难度】【答案】【解析】【总结】本题的难度较大，要注意对分子进行拆项【习题14】 化简：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择课后作业【作业1】 （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查同分母的加减运算【作业2】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）1；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查同分

14、母分式的加减运算【作业3】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算【作业4】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意运算法则的准确运用【作业5】 已知三个代数式：（1）；（2）；（3），请从中任意选取两个代数式求和，并进行化简【难度】【答案】解析中任一种答案即可【解析】（1）；（2）；（3）【总结】本题一方面考查分式的概念，另一方面考查分式的加减运算【作业6】 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）

15、原式=【总结】本题主要考查分式的混合运算，有括号时要先算括号里面的【作业7】 计算：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意法则的准确运用【作业8】 计算：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意先对分式的分子和分母进行因式分解【作业9】 已知：，当时比较值的大小【难度】【答案】【解析】，当时，【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算【作业10】 观察下列等式：，.（1）猜想并写出第个等式；（2）证明你写出的等式的正确性【难度】【答案】（1）；（2）【解析】找规律，本题主要考查分式的加减运算【作业11】 已知，求的值【难度】【答案】或2【解析】设（），则，即，或或【总结】本题主要考查整体代入思想的运用