七年级暑假讲义：第20讲 分式的意义性质及综合计算（教师版）

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1、分式的意义、性质及综合计算内容分析分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用知识结构知识精讲一、分式的意义与基本性质：1、分式的概念：两个整式、相除，即时，可以表示为如果中含有字母，那么叫做分式，叫做

2、分式的分子，叫做分式的分母在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义例如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为：，()注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是；强调

3、“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方即3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘用公式表示为：4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级

4、乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减2、异分母的分式加减法法则：（1） 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母（2） 异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的一、选择题1. 代数式中分式有（）A、6个B、4个C、3个D、2个【难度】【

5、答案】C【解析】，是分式【总结】本题主要考查分式的概念2. 下列判断中，正确的是（）A、分式的分子一定含有字母B、只要分式的分子为零，则分式的值为零C、不是分式而是整式D、只要分式的分母为零，则分式必无意义【难度】【答案】D【解析】考查分式的概念3. 以下分式化简：（1）；（2）；（3）；（4）其中错误的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【难度】【答案】C【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式4. 不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A、10B、9C、45D、90【难度】【答案】D【解析】找5，10，3，

6、9的最小公倍数【总结】本题主要考查分式的基本性质5. 分式、的最简公分母是（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】考察最简公分母的定义6. 化简：的结果是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查分式的约分7. 已知：，则的值等于（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用8. 在下列各式中：；相等的两个式子是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】；【总结】本题主要考查分式的约分9. 计算的结果是（）A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先

7、分解因式10. 化简：的结果是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算11. 计算的结果是（）A、B、C、abD、ab【难度】【答案】B【解析】 另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算12. 已知，则代数式的值为（）A、1999B、2000C、2001D、2【难度】【答案】D【解析】【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x的取值并无关系二、填空题13. 分式有意义的条件是_【难度】【答案】且【解析】考察分式有意义的条件是分母不为014. 桶中装有液体纯农药升，

8、刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为_升【难度】【答案】【解析】4升中含药百分比为【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解15. 当_时，分式的值等于1【难度】【答案】2【解析】，【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等16. 若，则=_【难度】【答案】7【解析】【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减217. 若与互为相反数，则式子的值为_【难度】【答案】【解析】与互为相反数，即，【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念18. 当x_时，分式有意

9、义【难度】【答案】且【解析】且，且【总结】本题主要考查分式有意义的条件19. 当x_时，分式的值为零【难度】【答案】【解析】由题意，得：且且，所以【总结】本题主要考查分式值为零的条件20. 已知：，则=_【难度】【答案】【解析】因为，所以【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等21. 若，则的值等于_【难度】【答案】【解析】【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用22. 已知对任意x有，则_，_，_【难度】【答案】1；-1；-1【解析】因为，又所以， 解得【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式

10、相等并且分母相等时，分子也相等三、计算题23. 将下列分式化为最简分式：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2） ；（3）【总结】本题主要面考查分式的约分24. 计算：（1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】本题考查分式的乘法25. 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【解析】本题主要考查分式的除法运算26. 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简27. 计算：（1）；（2）【

11、难度】【答案】（1）2；（2）【解析】（1）；（2）【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用28. 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择29. 计算：（1） ；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用30. 已知，是有理数，且，求代数式：的值【难度】【答案】【解析】由题意得：，所以【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算31. 计算：【难度】【答案】【解析】原式

12、【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的32. 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意裂项法的运用33. 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用34. 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用四、解答题35. 为何值时，分式无意义？【难度】【答案】【解析】考查分式无意义的条件是分母为036. 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3

13、），且，【解析】考查分式有意义的条件是分母不为037. 当为何值时，下列分式的值为0？（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为038. 若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的；（3）扩大为原来的3倍【解析】考查分式的基本性质39. 求下列各组分式的最简公分母：（1），；（2），【难度】【答案】（1）；（2）【解析】考查最简公分母的定义40. 把下列各式通分（1），；（2），【难度】【答案】（1），；（2），【解析】考查分式的基本性质41.

14、 求代数式的值：，其中【难度】【答案】【解析】原式，当时，原式 【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化42. 已知：，求下式的值：【难度】【答案】【解析】，原式=【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值43. 已知，求的值【难度】【答案】4144【解析】，【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用44. 已知：，求证：【难度】【答案】证明略，见解析【解析】，即，a、b、c均不为零 【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式45. 已知，若（a、b为正整数），求分式的值【难度】【答案】【解析】找规律

15、可知：，所以【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结46. 已知，求的值【难度】【答案】1【解析】原式又，所以原式=1【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用47. 已知，求的值【难度】【答案】1【解析】因为，所以a、b、c均不为零所以原式【总结】本题综合性较强，要善于发现每一项的特征，从而利用代入法求出结果48. 已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？【难度】【答案】【解析】，【总结】本题主要考查对分式之间的关系，要善于总结49. 若，试比较A与B的大小【难度】【答案】【解析】设，则，则又，所以所以，所以【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大小50. 设，求的值【难度】【答案】1【解析】设，【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用