八年级数学寒假班讲义02：一次函数的图像及性质（教师版）

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1、1、 一元一次方程与一次函数（1） 对于一次函数，由它的函数值就得到关于的一元一次方程，解这个方程得，于是可以知道一次函数的图像与轴的交点坐标为；（2） 若已知一次函数的图像与轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标，其就是一元一次方程的根2、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）的解集（2） 在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集没【例1】 已知一次函数经过和，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于轴上方所有点的横坐标的取值范围【难度】【答案】图像如图，

2、【解析】图像如图，【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系【例2】 已知的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式的解集【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由图像可得：； （2）由图像可得：【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系【例3】 已知的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于轴左侧所有点的横坐标的取值范围；（2）求在这个函数图像上且位于轴右侧所有点的纵坐标的取值范围；（3）求在轴上的截距【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由图像可得：； （2）由图像可得：； （3）由图像可得： 在

3、轴上的截距是【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果【例4】 已知一次函数解析式是（1）当取何值时，?（2）当取何值时，?（3）当取何值时，?（4）当取何值时，?【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）令，解得：； （2）令，解得：； （3）令，解得：； （4）令，解得：【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解【例5】 已知函数（1）当取何值时，?（2）当取何值时，?（3）在平面直角坐标系中，在直线上且位于轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】【答案】（1）； （2）； （3）【解析】（1）令，

4、解得：； （2）令，解得：； （3）令，解得：【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解【例6】 已知方程的解为，（1）求出函数与轴的交点坐标；（2）解不等式【难度】【答案】（1）（4，0）； （2） 【解析】由一次函数与方程不等式的关系得： （1） 与轴的交点坐标为：（4，0）； （2）的解集为：【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果【例7】 已知一次函数与交于点，根据其图像回答下列问题：（1） 求解不等式组：；（2） 求解方程组：；（3） 求解不等式：【难度】【答案】（1）；（2）； （3）【解析】由一次

5、函数与方程不等式的关系得： （1）由可得：；由可得：； ； （2）的解即为两条直线交点坐标，即：； （3）解集为在上方时x的范围，即【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解【例8】 当12时，函数满足，求出常数的取值范围【难度】【答案】【解析】当时，解得：； 当时，解得：； 当时，满足； 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降2、 一次函数图像的位置情况：直线（，）过且与直线平行，由直线在平

6、面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）当，且时，直线经过一、二、三象限；当，且时，直线经过一、三、四象限；当，且时，直线经过一、二、四象限；当，且时，直线经过二、三、四象限把上述条件反过来叙述，也是正确的（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小【例9】 已知函数：； ； ； ；在这些函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的函数有_【难度】【答案】【解析】由一次函数的性质，当时，y随x

7、的增大而减小，故选【总结】本题考察了一次函数的性质【例10】 已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大，而减小（1）求m的取值范围；（2）其函数图像经过那些象限?【难度】【答案】（1）； （2）经过一、二、四象限【解析】（1）由已知得：，解得：； （2）此时，一次函数经过一、二、四象限【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限【例11】 已知点和在函数的图像上，试比较与的大小【难度】【答案】【解析】由已知得：，所以y随x的增大而减小，【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小【例12】 完成下列填空：（1） 直线是_（填“上升”或“下降”）的，并且与y轴的_半轴相交，因此这

8、条直线经过第_象限，截距为_；（2） 直线是_（填“上升”或“下降”）的，并且与y轴的_半轴相交，因此这条直线经过第_象限，截距为_【难度】【答案】（1）下降，负，二、三、四，5； （2）上升，负，一、三、四，14【解析】略【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况【例13】 直线与y轴的交点坐标是，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x轴的交点为_【难度】【答案】【解析】由已知得：， 解得：， 令，解得：， 与x轴的交点坐标是：【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例14】 直线上有两点和点，且，则常数m的取值范围是_【难度】【答案】【解析】由已知得：y随x的增大而减小，

9、则， 解得：【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法【例15】 已知一次函数的图像是与直线平行的直线（1） 随着自变量x的值的增大，函数值y增大还是减小?（2） 直线经过哪几个象限?（3） 直线经过哪几个象限?【难度】【答案】（1）y随着x的增大而减小； （2）二、三、四象限； （3）当时，经过二、三、四象限； 当时，经过二、四象限； 当时，经过一、二、四象限【解析】（1）由已知得：，故y随着x的增大而减小； （2），经过二、三、四象限； （3）当时，经过二、三、四象限； 当时，经过二、四象限； 当时，经过一、二、四象限【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用【例

10、16】 已知直线，分别根据下列条件求m的值或m的取值范围：（1） 这条直线经过原点；（2） 这条直线经过一二四象限；（3） 这条直线不经过第三象限；（4） 这条直线与平行【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）由已知得：，解得：； （2）由已知得：，解得：； （3）由已知得：，解得：； （4）由已知得：，解得：【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包含了常值函数在里面，从而第（3）小问中k可以为零【例17】 函数与的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）A B C D【难度】【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的

11、k、b范围写出来，不矛盾即为正确选项， 故选B【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k、b的关系【例18】 点(1，m)，(2，n)在函数的图象上，则m、n的大小关系是_【难度】【答案】【解析】转化得：， ， y随x的增大而减小， 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性【例19】 无论p为何值，除0以外，直线一定经过_象限【难度】【答案】二、三【解析】（1）当时，直线经过一、二、四象限； （2）当时，直线经过二、三、四象限； 故直线一定经过二、三、象限；【总结】本题考察了一次函数的象限特点【例20】 不论k为何值，解析式表示的函数的图象必过定点，求此定

12、点的坐标【难度】【答案】【解析】转化得： 不论k为何值，图象必过定点， ， 解得：， 定点坐标为：【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零即可解决1、一次函数（为常数，）中k、b的意义：k（称为斜率）表示直线（）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线（）与y轴交点是，也表示直线在y轴上的截距 2、同一平面内，不重合的两直线与的位置关系：当时，两直线平行当时，两直线相交，交点为方程组的解当时，两直线交于y轴上同一点【例21】 已知一次函数y=kx+b，y随x的增大而增大，且kb0，指出一次函数的图像经过的象限【难度】【答案】一、三、四；【解析】由已知得：，又kb0，

13、 b0 一次函数图像经过一、三、四象限【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点【例22】 若直线：与直线：相交于点P，（1） 求P点坐标；（2） 求，与x轴所围成的三角形的面积；（3） 求，与y轴所围成的三角形的面积；（4） 求，与坐标轴所围成的四边形的面积.【难度】【答案】（1）P（2，1）；（2）； （3）6； （4）【解析】（1）联立：， 解得：， 交点坐标为P（2，1）； （2）易得分别与x轴交于（）、（3，0）， ； （3）易得分别与y轴交于（）、（0，3）， ； （4）由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形， 【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，

14、不规则图形用割补法；【例23】 已知：如图，直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，其中点Q是直线PA与y轴的交点（1） 用m，n来分别表示点P，A，B，Q的坐标；（2） 四边形PQOB的面积是，AB2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式【难度】【答案】（1），； （2）， ， 【解析】（1）易得：，； 联立：， 解得：， ； （2）由已知得：， 解得：， ， ， 【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析【例24】 已知一次函数f(x)=ax+2a+1，当时，f(x)的值有正有负，求a的取值范围【难度】【答案】【解析】由已知得：， 解得：【总

15、结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负，从而求出不等式的解集【例25】 已知m为正整数，直线和的交点在第四象限，求这两条直线与x轴围成的三角形的面积【难度】【答案】【解析】联立， 解得：， 交点在第四象限， 可解得：， 又m为正整数， 和两直线交点坐标为：（） 两直线与x轴交点坐标为：（），（）， 【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法【习题1】 已知，直线在轴上的截距为4，且随的增大而增大，则=_【难度】【答案】【解析】， ， ， 【习题2】 若点P在第二象限内，则直线不经过_【难度】【答案】第二象限【解析】由题意可得：，则直线经过一、三、四象限，故

16、不经过第二象限【总结】本题考察了一次函数图像性质【习题3】 若，则一次函数的图像经过第_象限【难度】【答案】第一、二、四象限【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限【总结】本题考察了一次函数的图像的性质【习题4】 已知点A、B在直线上，且，则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】，随的增大而增大， 【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用【习题5】 根据图中所画的直线，则一次函数在y轴上的截距为_，与坐标轴围成的三角形面积为_【难度】【答案】，【解析】， 由图可知， ，此一次函数在y轴上的截距为，与坐标轴围成的三角形面积为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真

17、分析题目中的条件【习题6】 （1）一次函数不经过第三象限，则m、n的范围是_；（2）直线不经过第三象限，则m、n的范围是_【难度】【答案】（1），； （2），【解析】（1）一次函数图像不经过第三象限， ，； （2）直线不经过第三象限， ， ，【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系【习题7】 已知直线与轴的交点在轴的正半轴，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的是_【难度】【答案】（2）、（3）【解析】画图可知（2）、（3）正确【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系【习题8】 直线，的交点坐标是（1，2），则使的取值范围是_【难度】【答案】【解析】由

18、图易得的取值范围是【总结】本题考察了学生观察、识图的能力【习题9】 若一次函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】【答案】，函数图像经过一、三、四象限；或，函数图像经过一、二、 四象限；【解析】由题意易得函数经过点（2，11）和（6，9）或者过（2，9）和（6，11），或 ， 解得： 或 ， 函数的解析式为：，函数图像经过一、三、四象限；或，函数 图像经过一、二、四象限【习题10】 已知方程的解为（1）求出函数与轴的交点坐标；（2）解不等式；（3）试求函数与一次函数的交点坐标【难度】【答案】（1）（，0）； （2）； （3）（，0）【解析

19、】观察图像可知【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系【习题11】 如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C ，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动（1）求A、B两点的坐标；（2）求COM的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t何值时COMAOB，并求此时M点的坐标【难度】【答案】（1）A（4，0）， B（0，2）； （2）S=82t （），S=2t8 （）； （3）t =2时，M (2，0)； t =6时，M(2，0)【解析】（1）易得A（4，0）， B（0，2）； （2）； 当时， 当时，； （3）当时，t =2时，M (2，0)；

20、 当时， t=6时，M(2，0)【总结】本题考察了函数的综合应用 【习题12】 一个一次函数图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】【答案】（3，20），（7，15），（11，10），（15，5），（19，0）；【解析】设，代入点得：， 解得：，该一次函数的解析式为：，转化，得：， 当y 为5的倍数时，x为整数， 满足条件的点有：（3，20），（7，15），（11，10），（15，5），（19，0）【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解【习题13】 已知：不论k取什么实数，关于x的函

21、数（a、b是常数）始终经过点，试求a、b的值【难度】【答案】【解析】把（1，1）代入，得：， 化简得：， 函数（a、b是常数）始终经过点， ， 解得：【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题，主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题【作业1】 已知一次函数的图像交轴于正半轴，且随的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式_【难度】【答案】等，不唯一【解析】只需要即可【总结】本题考察了一次函数的性质【作业2】 （1）已知m是整数，且一次函数的图像不经过第二象限，则为_；（2）一次函数的图像与轴的交点在轴的下方，则的取值范围是_【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由已知，得：， 解得：

22、， m是整数， ； （2）由已知，得：， 解得：【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解【作业3】 已知直线（1）当取何值时，？（2）当取何值时，？（3）当取何值时，？（4）在m的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）二、三、四象限【解析】（1）令，解得：； （2）令，解得：； （3）令，解得：； （4）易得：图像经过二、三、四象限【总结】本题考察了一次函数的图像及性质【作业4】 已知的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于轴下方所有点的横坐标的取值范围；（2）求解不等式【难度】【答案】（1）

23、； （2）【解析】（1）由图像可得：； （2）由图像可得：【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系【作业5】 函数与 在同一坐标系内的图象可能是（）ABCD【难度】【答案】C【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b范围写出来，不矛盾即为正确选项， 故选C【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像【作业6】 已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小（1）求m的取值范围；（2）其函数图像经过那些象限？【难度】【答案】（1）； （2）二、三、四象限【解析】（1）由已知得：，解得：； （2）由已知得：，图像经过二、三、四象限【总结】本题考察了一次函数的图像及性质【作业7】 已知点和

24、在函数的图像上，试比较与的大小【难度】【答案】【解析】由已知得：， y随x的增大而减小， ， 【总结】本题考察了一次函数的性质的运用【作业8】 在为何值时，直线与直线的交点在第四象限？【难度】【答案】【解析】联立：， 解得： 交点在第四象限， ， 【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题【作业9】 画出函数的图像，利用图像求：（1）方程的根；（2）不等式的解集；（3）当时，求x的取值范围；（4）当时，求y的取值范围；（5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积；【难度】【答案】（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；【解析】（1）；（2）； （3）当时， 时，； （4）当时，； 当时，； 当时，；

25、 （5）【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，主要是对函数图像的正确理解【作业10】 已知直线分别根据下列条件求m的值或m的取值范围：（1） 直线经过；（2） 直线经过原点；（3） 直线与平行；（4） 直线在y轴上的截距4；（5） 直线经过一三四象限【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）代入（1，3）得：，解得：； （2）代入（0，0）得：，解得：； （3）由已知得：，解得：； （4）由已知得：，解得：； （5）由已知得： 解得：【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对直线过原点的正确理解【作业11】 若一次函数，当时，对应的函数y值为，则一次函数的解析式

26、为_【难度】【答案】或【解析】（1）当时，函数经过（3，1）和（1，9）时， 代入两点得： 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）当时，函数经过（1，1）和（3，9）时， 代入两点得： 解得： 一次函数的解析式为：， 综上，一次函数的解析式为：或【总结】本题考察了一次函数的图像及性质，注意分类讨论【作业12】 已知与轴、轴分别交于点A和点B，另一直线经 过点，且把AOB分成两部分（1）若把AOB被分成的两部分面积相等，求、的值；（2）若AOB被分成的两部分面积之比为1：5，求、的值【难度】【答案】（1）； （2）或【解析】（1）如图1，易得：点C为OA中点 BC分AOB被分成的两部分面积相等 即； （2）由已知，得：， 1：如图2，直线经过（0，） ，； 2：如图3，直线经过（） ，； 综上：或【总结】本题考察了一次函数的综合运用，注意当涉及到面积比时，由于没说清楚哪部分大哪部分小，因此要分类讨论