八年级数学寒假班讲义06：分式方程（教师版）

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1、1、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解3、增根的概念 分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验有两种方法：将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解

2、；如果不成立，则这个根为增根，方程无解5、 分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组6、 解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验【例1】 在；中，分式方程有（）A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母【例2】 分式方程的最简公分母是_【难度】【答案】【解析】分式方程中三个分母位置上分别为，

3、分解因式的结果分别为，由此可得方程的最简公分母为【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母【例3】 直接写出下列分式方程的根：（1）：_；（2）：_；（3）：_；（4）：_【难度】【答案】（1）；（2）无解；（3）无解；（4）【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得， 检验得是原分式方程的根；（2） 根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得，检验得为方程的增根， 即方程无解；（3） 约分得，解得，检验得为方程的增根，即方程无解；（4） 约分得，解得，检验得是原分式方程的根【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意

4、求解结果是否是增根【例4】 用换元法解方程，设，则方程变为()ABCD【难度】【答案】D【解析】，则有，原方程即为， 展开整理即为，故选D【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化【例5】 解方程：（1）； （2）；（3）【难度】【答案】（1），；（2），；（3）无解【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得 ，解得，经检验，都是原方程的根；（2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根；（3）方程两边同乘，得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的增根，即原方程无解【例6】 解方程：（1）； （2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1

5、）方程两边同乘，得，整理得， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（3）两边同乘，得，整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根【例7】 已知关于的方程有增根，求的值【难度】【答案】或【解析】分式方程两边同乘，得，分式方程有增根，由，解得：，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得或，解得或【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值【例8】 已知关于的方程无解，求的值【难度】【答案】【解析】分式

6、方程两边同乘，得，整理解得：，因为原 分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得，解得【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根【例9】 已知关于的方程的根是负数，求a的取值范围【难度】【答案】且【解析】分式方程两边同乘，得，整理解得：，方程的根是 负数，则有，得，同时分式方程的根不能为相应增根，即， 得，由此即得且【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根【例10】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，原方程即为，两边同乘整理得，解得：，；由，解得：，；由，解得：，；经检验，都是原方程的根；（2）

7、令，原方程即为，解得，；由，整理得，解得：；由，整理得，解得，；经检验，都是原方程的根【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结【例11】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），； （2），【解析】（1）令，原方程即为，两边同乘整理得， 解得：，；由，整理得，方程无解；由，整理得，解得：，；经检验，都是原方程的根； （2）令，则有，原方程即为，整理得，解得：，；由，整理得，解得：，；由，整理得，解得：，；经检验，都是原方程的根【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程【例12】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，原方程组即为

8、，解得：，由此可得，由此得，解得：，经检验，是原分式方程的根；（2） 令，原方程组即为，解得：，由此可得：， 解得：， ， 经检验，是原分式方程的根【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验【例13】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）对分式方程移项通分得，展开即得，由此即得或，解得：， 经检验，都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得， 由此得，两边分别通分即得， 两边分母不同，则必有，解得，经检验，是原分式方程的根【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算【例14】 解方程：【难度】【答案】，【解析】

9、令，则有，原方程即为，两边同乘整理，得，解得：，；由，方程无解； 由，解得：，；经检验，都是原方程的根【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根【例15】 a为何值时，关于的方程无解?【难度】【答案】或【解析】分式方程两边同乘，得：，展开移项得，当时，方程无解； 当时，方程无解，即得，解得； 综上，或【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况【例16】 已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解【难度】【答案】时，或时，或时，【解析】方程两边同乘，得，展开整理得：， 分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，

10、由此需进行 分类讨论：当整式方程有两相等实数根时，解得：，此时方程为，解得：，此时分式方程只有一个解，符合题意；当整式方程有一根为分式方程增根时，此时有，解得：，此时方程为，解得：，此时分式方程只有一个解，符合题意；当整式方程有一根为分式方程增根时，此时有，解得：，此时方程为，解得：，此时分式方程只有一个解，符合题意； 综上，或或【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形【例17】 解关于的方程： 【难度】【答案】，【解析】令，则有，原方程即为， 展开整理得，解得：，；由，整理得，方程无解；由，整理得，解得：，； 经检验，都是原方程的根【

11、总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验【例18】 解关于的方程【难度】【答案】，【解析】令，原方程即为，两边同乘整理，得，解得：，； 由，又，可解得：；由，又，可解得：；经检验，都是原方程的根【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程【例19】 已知方程有实数根，求实数a的取值范围【难度】【答案】且【解析】展开得，根据等式性质移项得，即为，由此得， 移项得，展开整理得，当时，方程有实数根是分式方程的增根，应舍去；当时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得，可知、不可能同时为，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足，得； 综上，实数a的取值范围为：且【总结】考查

12、分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可1、 列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1） 利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2） 利用公式、定理寻找相等关系；（3） 从生活、生产实际经验中寻找相等关系【例20】 要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为天的方程是（）ABCD【难度】【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率工作天 数，乙工作天数为天，由此可知选D【总结】考查工程问题中的单位

13、“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间【例21】 某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（ ）A B CD【难度】【答案】B【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用【例22】 甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成两队单独工作各需多少天完成?【难度】【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成【解析】设甲单独需用天完成，则乙单独需用天完成，依题意可得，整理得

14、，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得，即甲单独需天完成，乙单独需天完成【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题【例23】 登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】【答案】【解析】设小明上山的路程为，则整个过程中小明总行程为， 根据平均速度=总行程总时间，即得平均速度【总结】考查平均速度的求取，平均速度=总行程总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法【例24】 甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇相遇后，各自继续以原有的速度前进

15、，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】【答案】甲速度为，乙速度为【解析】设甲速度为，则乙速度为，依题意可得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得，即甲速度为，乙速度为【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解【例25】 甲、乙两辆车同时从地出发开往距地240千米的地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】【答案】甲速度为，乙速度为【解析】设甲车到达B地，依题意可得，整理得，解得，经检验，都是原方程的根

16、，但不合题意应舍去，即得，可得甲速度为，乙速度为【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便【例26】 某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】【答案】3万套【解析】设改进操作方案后每月能生产万套衣服，则改进之前每月生产万套，依题意可得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得：，即改进操作方案后每月能生产万

17、套衣服【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解【习题1】 已知方程：（1）；（2）；（3）；（4），其中是分式方程的有_【难度】【答案】（1）、（2）、（3）【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母【习题2】 当x取何值时，分式方程的最简公分母的值等于0?【难度】【答案】或【解析】分式方程的最简公分母为，最简公分母值为0，即， 解得：或【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最

18、高次数乘积即为分式方程的最简公分母【习题3】 分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 【难度】【答案】【解析】，则有，原方程即为，整理化作关于的整式方 程即为【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式【习题4】 解方程：（1）；（2）； （3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（3）两边同乘，得，整理得，解得“”，经检验，都是原方程的根【总结】考查分式方程的解法，注意检

19、验所求是否为增根【习题5】 解方程：【难度】【答案】，【解析】令，原方程即为，整理即为，解得：，；由，解得：； 由，解得：；经检验，都是原分式方程的根【总结】考查利用换元法解分式方程【习题6】 解方程组【难度】【答案】【解析】令，原方程组即为，解得：，由此可得， 去分母得，解得：，经检验，是原分式方程的根【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根【习题7】 若分式方程产生增根，求m的值【难度】【答案】或【解析】方程两边同乘，得，展开整理得， 分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：整式方程有一根为分式方程增根时，此时有，解得：；整式方程有

20、一根为分式方程增根时，此时有，解得：；综上，或【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根【习题8】 甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时求火车原来的速度【难度】【答案】【解析】设火车原来的速度为，依题意可得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得，即可得火车原来速度为【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解【习题9】 某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了

21、原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积【难度】【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩【解析】设原计划平均每年的绿化面积为万亩，则新计划每年万亩，依题意可得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解【习题10】 解方程：【难度】【答案】，【解析】方程两边同乘12展开得，根据等式的性质移项变形得，因式分解得：，由此可得或；由，整理得，解得：，；由，整理得，解

22、得：，；经检验，都是原方程的根【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结【习题11】 解方程：【难度】【答案】【解析】对分式方程变形得，根据等式的性质可变形得，两边分别通分即得，由此可得， 解得：，经检验，是原分式方程的根【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算【习题12】 已知关于x的方程有增根，求a【难度】【答案】或【解析】方程两边同乘，得，展开整理得， 当，即时，得，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：整式方程根为分式方程增根时，此时有，解得；整式方程有一根为分式方程增根时，此时有，解得；综上，或【总结】考查分式

23、方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根【习题13】 已知：关于x的方程只有一个实数根，求a【难度】【答案】或【解析】整理原方程得，因式分解得，由此可得或，分别整理得：和，两方程根的判别式分别为，因为方程仅有一实数根，所以或，解得：或【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题 【作业1】 下列哪个分式方程（）的根是.ABCD【难度】【答案】C【解析】根据分式方程解的定义，代入C选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可【作业2】 用换元法解方程组时，如果设_=u，_=v，那

24、 么原方程组可以化为二元一次方程组_【难度】【答案】，【解析】略【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元【作业3】 已知方程，若设，则原方程化为（） A B； C D【难度】【答案】B【解析】由，则有，原方程即为， 展开整理即为，故选B【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程进行转化求解【作业4】 如果，那么的值是 【难度】【答案】1【解析】分解因式得，由此得，得：【总结】考查利用因式分解整体思想解分式方程【作业5】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得：， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）方程两边同乘，得

25、，整理得， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根【作业6】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，原方程即为，两边同乘整理得，解得：，；由，整理得，方程无解；由，整理得，解得：，；经检验，都是原方程的根； （2）令，原方程即为，两边同乘整理得，解得：，；由，解得； 由，解得；经检验，都是原方程的根【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程【作业7】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，原方程组即为， 解得：， 由此可得， 解得：，经检验，是原分式方程的根；（

26、2） 令，原方程组即为，解得：，由此可得，即得，解得：，经检验，是原分式方程的根【总结】考查利用换元法解分式方程组，注意解完后要检验【作业8】 当为何值时，关于的方程无实根？【难度】【答案】或【解析】方程两边同乘，得，展开整理得，因为分式方程无实根，即整式方程无实数根或方程两根都为分式方程的增根，由此进行分类讨论：整式方程没有实数根时，解得：；整式方程两根分别为和时，此时有，解得：；综上，或【总结】考查分式方程没有实根的情况，方程为二次方程时，注意包含方程两根都为分式方程的增根的情形【作业9】 甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门甲沿直线航行180海里到达厦门，乙沿原来航线绕道香港后来厦

27、门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮的速度都大于16海里/小时）【难度】【答案】甲客轮速度为18海里，乙客轮速度为24海里【解析】设甲客轮速度为海里，则乙客轮速度为海里，依题意可得，整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得，即甲客轮速度为18海里，乙速度为海里【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解【作业10】 如图所示，两港中间有两岛，的距离分别为72海里，18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从两港同时出发，水流由流到，流速为2海里/时，第一次任

28、务是到达岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达岛，甲又比乙早到1小时求甲、乙在静水中的速度【难度】【答案】甲在静水中的速度为16海里，乙在静水中的速度为20海里【解析】设甲在静水中的速度为海里，乙在静水中的速度为海里，依题意可得，令，原方程组即为， 解得：，由此可得，由此得，解得，经检验，是原分式方程的根，且符合题意，即甲在静水中速度为16海里，乙在静水中速度为20海里【作业11】 解方程：【难度】【答案】【解析】对分式方程两边分别通分即得，两边分母不同， 则必有，解得：，经检验，是原分式方程的根【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算，解完后注意要检验【作业12】 若关于x的方程无实数根，求m的取值【难度】【答案】或【解析】去分母，得：，化简，得：，因为原方程无实数根，所以或者是所求得的解为原方程的增根，当时，即，解得：当时，； 当时，综上，当原方程无实数解时，或【总结】本题主要考查了对分式方程无解的理解，注意分情况讨论