八年级数学寒假班讲义07:无理方程(教师版)
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1、无理方程知识结构模块一:无理方程的概念和解法知识精讲1无理方程的概念方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程2解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程,再求解3解无理方程的一般步骤(1)方程两边平方,化成整式方程;(2)解这个整式方程,求出整式方程的根;(3)检验直接代入原方程中,看其是否成立如果成立,则这个根为原方程的根,从而解出原方程的解;如果不成立,则这个根为增根,方程无解例题解析【例1】 下列方程是哪些是关于的无理方程?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【难度】【答案】(1)、(2)、(3)、(4)、(6)是无理方程【解析】根据无理方程
2、的概念,方程中含有根式,并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程,可知(1)、(2)、(4)、(6)都是无理方程,可知(3)也是无理方程【总结】考查无理方程的概念,方程中根号内含有未知数即可【例2】 下列哪个方程有实数解()AB CD【难度】【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性,对A选项,此时,故方程无实数解;对B选项,可知方程无实数解;对C选项, 无解,即方程无实数解;故选D【总结】考查对无理方程解的判断,根据二次根式双重非负性即可进行简单判定【例3】 若方程有解,则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】移项得,方程有解,根据二次根式的非负性,可得,得【总结】考查无理方程有解
3、的应用,根据二次根式的非负性即可进行判断【例4】 不解方程,说明下列方程是否有实数根:(1);(2)【难度】【答案】(1)有唯一实数根; (2)当时,方程无实数根;当时,方程有无数个实数根【解析】(1)根据二次根式的非负性,可得:,即得的定义域为, 此时,即得方程有唯一实数根;(2) 当时,则有,根据二次根式非负性,可知方程无实数根; 当时,等式恒成立,可知方程有无数实数根,满足即可【总结】考查对无理方程解的判断,对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定【例5】 用换元法解方程时,设则该方程转换整式方程是_【难度】【答案】【解析】由,可得,原方程即为, 整理即为【总结】考查用“换元法”对无
4、理方程进行变形转化,注意最终要化成整式形式【例6】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方,得:,整理得:, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为;(2) 移项得:,两边平方得:,因式分解整理得:,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【例7】 解下列方程:(1);(2);【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方,得:,整理得:, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)由原式得:或,解得:, 经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意
5、无理方程的验根【例8】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方得:,整理得:,配方法解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)移项得,两边平方得,整理得, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【例9】 解方程:【难度】【答案】,【解析】令,则,原方程即为,解得:,则有或,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程,注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系【例10】 解方程: (1); (2)【难度】【答案】(1),;(2),【解析】(1)令,得,原方程即, 整理
6、得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根;(2)令,得,原方程即,整理得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程,注意根据元的取值范围舍去增根【例11】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项得,两边平方得,移项得,两边平方得,解得:,经检验,是原方程的根; (2)两边平方得,移项得,两边平方整理得,配方法解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例12】 解下列方程:【难度】【答案】【解析】平方得,移项得,两边
7、平方整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例13】 解下列方程:【难度】【答案】【解析】令,则有,由此原方程可变形得:,整理即为,因式分解法解得:,即或,由,整理得,解得:, 经检验,是原方程的增根,由,可解得:,经检验,是原方程的增根,综上所述,原方程的根是【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程,注意方程增根的检验模块二:无理方程的根的讨论知识精讲3增根的概念例题解析无理方程在化整式方程求解过程中,整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等,那么这个解就是方程的增根.【例14】 关于的方程有一个增根x=4,求
8、:(1) a的值;(2) 方程的根【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项,两边平方得:,移项得, 两边平方得:,将代入有, 整理得,解得:,当时,是方程增根,当时,不是方程增根,由此即得; (2)将代入上述平方整理的方程即有,移项整理得,解得:,由题意可得是原方程的增根,即得原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例15】 若方程有一个根是,求实数m的值【难度】【答案】【解析】因为方程有一个根是,所以代入得,平方整理得, 解得:,经检验,是方程的增根,应舍去,即得【总结】考查无理方程根的意义,代入转化为其它未知数的求值即可【例16】 若关于x的无理
9、方程有实数根,求k的取值范围 【难度】【答案】或【解析】令,则有,原方程即为,整理即为,当时,则有是增根,应舍去;当时,分解因式得,解得:(舍),因为方程有实数根,则应有,分类讨论得或,即得的取值范围为或【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算【例17】 若关于x的方程只有一个实数根,求m的取值范围【难度】【答案】【解析】令,则有,原方程即为,整理即为,因为方程只有一个实数根,则方程有且仅有一根满足,则另一根必满足,根据韦达定理可得:,得的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算模块三:无理方程的应用知识精讲4应用例题解
10、析寻找题目中的等量关系,列方程,求解,根据实际情况进行取舍【例18】 用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形,使它的一条直角边长为7厘米,求这个直角三角形的另两条边的长度【难度】【答案】和【解析】设另外一条直角边长为,根据勾股定理可得斜边长为,依题意可得,解得:,经检验,是原方程的根且符合 题意,则斜边长为,即另两边长分别为和【总结】考查直角三角形勾股定理的应用,用周长列式解题,注意应用题也要验根【例19】 建一块场地,用600块正方形的砖头铺成,如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米,且正方形的砖头的边长增加10厘米,则需要铺540块方砖,求原场地的面积【难度】【答案】【解
11、析】设原场地的边长为,则扩大后场边长为, 依题意得,整理得, 解得:,(舍),由此得原场地面积为【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题,注意单位的统一【例20】 若Q点在直线上,且Q到点P(0,2)的距离为,求Q点的坐标【难度】【答案】或【解析】设点,由两点间距离公式,依题意可得,平方整理,得:,解得:,经检验,都是原方程的根,由此代入即得或【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程,注意设出点的坐标ABPNMOl1l2【例21】 与为两条互相垂直的大路,小李和老王从十字路口O点同时出发,分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进,到达A与B地,一座学校座落于距8千米,距
12、5千米的P处,问:经过多少时间,两人距离学校的路程刚好相等?是几千米?【难度】【答案】经过两人距离学校路程相等【解析】设经过两人距离学校距离相等,即, 则有, 根据勾股定理,依题意可得:,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根,但不符合题意,应舍去,即经过两人距离学校路程相等【总结】考查利用勾股定理列方程,注意找准等量关系【例22】 有一群蜜蜂,一部分飞进了枸杞里,其个数等于总数的一半的平方根,还有全体的遗留在后面,此外,这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着,它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引试问:这群蜜蜂共有多少个?【难度】【答案】这群小蜜蜂共有72个【解析】设这群蜜蜂共有个,根据蜂
13、群总数,依题意可得,平方整理得,解得:, 经检验,是原方程的增根,即得这群小蜜蜂共有72个【总结】考查根据题意列方程解应用题,注意计算不要遗漏【例23】 m、n为两段互相垂直的笔直的公路,工厂A在公路n上,距离公路m为1千米工厂B距离公路m为2千米,且距离公路n为3千米,现在要在公路m上选一个地址造一个车站P,使它与A、B两厂的距离和为千米,试指出车站P的位置?【难度】ABnm【答案】车站在两公路交点上方或处【解析】以直线为轴,以直线为轴,两直线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,依题意有,设点,根据两点间距离公式,依题意可得,二次平方后,整理得:,解得:,经检验,都是原方程的根,即车站在两公
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