八年级数学寒假班讲义04：函数的复习（教师版）

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1、1、 正比例函数：y=kx（k0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；k0时，随着x 的逐渐增大，函数值y的值越来越大；k0时，在每一象限内， 随着x的逐渐增大，函数值y的值越来越小；k0时，在每一象限内，随着x的逐渐增 大，函数值y的值越来越大【例1】 （1）正方形的周长c与正方形的对角线长a_正比例（填“成”或“不成”）；（2）已知正比例函数的自变量x减少2时，对应函数的值增加3，则这个函数的解析式为_【难度】【答案】（1）成；（2）【解析】（1）正方形的对角线长为，则正方形的边长为，则， 为一定值，所以成正比例（2） 设，则由题意，可得：，解得：，从而可得这个函数的解析式为【总结】考

2、察正比例的定义和正比例函数解析式的求法【例2】 （1）如果y=kx+2k+x是正比例函数，求k的值；（2）如果是反比例函数，求m的值【难度】【答案】（1）0；（2）4【解析】（1）因为是正比例函数，所以，解得：； （2）因为函数是反比例函数， 所以可得， ，【总结】考察正比例函数和反比例函数的定义，注意比例系数要不为零【例3】 （1）正比例函数经过第_象限，y随x增大而_；（2）反比例函数经过第_象限，在同一象限内，y随x增大而_【难度】【答案】（1）一、三，增大；（2）一、三，减小【解析】（1）因为是正比例函数，所以可得，解得：， 函数解析式为，图像过一、三象限，y随x的增大而增大；（2）

3、因为是反比例函数，所以可得，解得：，函数解析式为，图像过一、三象限，y随x的增大而减小【总结】考察正、反比例函数的概念和性质，注意比例系数不为零【例4】 已知正比例函数y=k1x，函数值y随着x的增大而减小，反比例函数y=(k20）在双曲线上，直线y=kx+b过点A，并且与坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18，求直线的解析式【难度】【答案】或【解析】点A（m，2m）（其中m0）在双曲线上， ，或，直线y=kx+b过点A，直线y=kx+b与坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18，解得：或当时，直线的解析式为；当时，直线的解析式为【总结】考察反比例函数、一次函数解析式的求法和面积问题的处理方法【

4、例26】 已知一次函数与反比例函数的图像交于点P（-3，2）、Q（2，-3）（1） 求这两个函数的函数解析式；（2） 在给定的直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像；（3） 当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值?【难度】【答案】见解析【解析】（1）反比例的函数解析式为设一次函数的解析式为，则可得：，解得：，所以一次函数解析式为；（2）如右图；（3） 当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； 当或时，一次函数的值小于反比例函数的值【总结】考察反比例函数、一次函数的解析式的求法和函数性质的分析【例27】 已知一次函数；（1）求证：无论取何实数，

5、函数的图像恒过一定点；（2）当在内变化时，在内变化，求的值【难度】【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当，即时， 无论取何实数，函数的图像恒过一定点；（2） 当时， 解得：； 当时， 解不等式后不存在这样的m值， 所以【总结】考察解析式图像恒过一定点的条件和一次函数的增减性的运用【例28】 如图所示，双曲线在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线与x轴交于点A（a，0）、与y轴交于点B（1） 求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；（2） 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求COD的面积F【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）点C（1，5），A（a，0

6、）在上， ， ，（2） D的横坐标是9，且双曲线， 分别过点C作CE轴，过点D作DF轴，则 【总结】考察反比例函数与一次函数解析式的求法，图中由于OCE和OFD的面积相等，则OCD的面积与梯形CEFD的面积相等【习题1】 （1）y与x成正比例，且x=4时，y=-4，那么y与x之间的函数关系式为_；（2）y+1与z成正比例，比例系数为2，z与x-1成正比例，当x=-1时，y=7，那么y与x的函数关系式为_ 【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知，函数关系式为：；（2） y+1与z成正比例，比例系数为2， ； z与x-1成正比例，设， ， 当x=-1时，y=7， 【总结】考察正比例

7、的定义【习题2】 已知y是x的函数，y与x-1成正比例，如果这个函数的图象经过点（，）(0), 则它的图象大致是（）【难度】【答案】B【解析】y与x-1成正比例，则此函数为一次函数，且不经过原点， 则选B【总结】考察正比例的定义和函数图像的画法【习题3】 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7（1） 写出y与x的函数关系式；（2） 计算x=4时y的值；（3） 计算y=4时x的值【难度】【答案】（1）；（2）11；（3）【解析】（1）设， x=2时，y=7， ；（2） 当时，；（3） 当时，【总结】考察正比例的定义，及根据其中一个变量的值求另一个变量的值【习题4】 已知一次函数的图像交轴于A

8、（，0），交正比例函数的图像于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为，的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式【难度】【答案】正比例函数：；一次函数：【解析】的面积为6， 点B在第三象限，它的横坐标为，则正比例函数的解析式为设一次函数的解析式为则，一次函数的解析式为【总结】考察一次函数的解析式的求法和面积的处理方法【习题5】 已知函数y=的图象和两条直线y=x、y=2x在第一象限内分别交于P1和P2两点，过点P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1、P1R1，垂足分别为Q1、R1；过点P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2、P2R2，垂足分别为Q2、R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长并比较

9、它们的大小【难度】【答案】，【解析】是函数和在第一象限的交点，是函数和在第一象限的交点，【总结】考察函数交点的求法及几何图形的周长及大小比较【习题6】 如图，正方形的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点，边点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S(提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况)（1）B点的坐标是_；=_；（2）时，P的坐标是_；（3）求出S关于m的函数关系式【难度】【答案】（1），；（2）或； （3）或【解析】（1）由正方形的面积为9，得， 反比例函数的解析式为：；（2） 当点P在

10、点B右侧时， ， 的纵坐标为点在函数的图像上，； 当点P在点B左侧时，同理可得P点的坐标为，综上，点P的坐标为或；（3） P（m，n）是函数上， 设当点在点的右侧时， ； 当点在点的左侧时，【总结】考察反比例函数的解析式的求法和面积的处理方法，注意分类讨论【习题7】 为了更好的治理某个湖水水质，保护环境，治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）240200经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元（1） 求a、b的值；（2） 经预算：治污

11、公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案?（3） 在（2）问的条件下，若每月要求处理该湖泊的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案【难度】【答案】见解析【解析】（1）由题意，可得：， 解得：；（2） 设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意，可得：， 解得： 取自然数， 为0，1，2该公式有三种购买方案：购买10台B型设备；购买1台A型设备，9台B型设 备；购买2台A型设备，8台B型设备（3） 由题意，可得：，解得：， 的值为1或2 当为1时，共需花费， 当为2时，共需花费， 最省钱的购买方案是购买1台A型设备，9台B型

12、设备【总结】考察一次函数在实际问题中的应用，此题是有关最优方案的问题，解题时注意进行讨论【习题8】 已知在直角坐标平面内，直线AB经过原点O和点（1，-2），点P是直线AB上一点，若过点P向y轴作垂直，垂足为M，且OPM的面积为9，求点P的坐标【难度】【答案】或【解析】直线AB经过原点O和点（1，-2）， 直线AB为正比例函数，解析式为 设 OPM的面积为， ，解得： 或【总结】考察面积的处理方法，注意点坐标和线段长的转换中正负号或绝对值的添法【习题9】 如图，在梯形BCD中，B=CD=5，D=7，BC=13，E为D上一定点，E=4，动点P从D出发沿着DC向C点移动，设点P移动的距离为x，PE

13、的面积为y，N求y与x的函数解析式，并画出图象【难度】【答案】，图像略【解析】分别过点A、D作AMBC，DNBC，垂足分别为M、N可得：， ，即， ，即， 【总结】考察面积中同底等高的处理方法【习题10】 在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点（1） 求直线AM的解析式；（2） 试在直线AM上找一点P，使得，求出点P的坐标【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，点M为线段OB的中点， 利用待定系数法，可得直线AM的解析式为：；（2） ， ，即O到直线

14、AB的距离和P到直线AB的距离相等，直线OP的解析式为点P在直线AM上，令，解得：点P的坐标为【总结】考察一次函数解析式的求法和同底等高的两个三角形面积相等的运用【习题11】 如图，在直角梯形COAB中，CBOA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿ABCO的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；（2）动点P在从A到B的移动过程中，设APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）几秒后线段PD将梯形

15、COAB的面积分成1：3的两部分?求出此时t的值?【难度】【答案】见解析【解析】（1）由题意可知，点B坐标为， ， 由，得：，此时P在CB上；（2） ， ， ；（3） 经分析，可知点P只能在AB或OC上 当点P在AB边上时，设点P的坐标为， 由，得：，解得：，此时， 当点P在OC上时，设点P的坐标为，由得：，解得：，此时 在7秒或者秒时，线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分【总结】本题综合性较强，主要考察勾股定理和直角梯形的性质的综合运用，注意认真分析题意【作业1】 （1）若是关于x的一次函数，则m的值?（2）可能是正比例函数吗?可能是反比例函数吗?如果是，求出m的值【难度】【答案】

16、见解析【解析】（1）由或，；（2） 当函数为正比例函数时，且，所以不可能为正比例函数； 当函数为反比例函数时，且，所以不可能是反比例函数【总结】考察正比例函数、反比例函数的定义【作业2】 在下列函数解析式中，属于一次函数的是（）（1）（2）（3）（4）A（1）B（1）（3）C（1）（2）（3）D全部都是【难度】【答案】C【解析】形如（，为常数）【总结】考察一次函数的定义【作业3】 如果一次函数的图像经过一、二、四象限，那么的大致图像为（）【难度】【答案】B【解析】一次函数的图像经过一、二、四象限， 经过一、三、四象限【总结】考察一次函数的图像及性质【作业4】 已知函数y=，点P为图象上的任意一

17、点，过P作PAx轴A，PBy轴于B，则APB的面积为_【难度】【答案】4【解析】矩形OAPB的面积为8，APB的面积矩形的一半【总结】考察反比例函数的面积问题的处理方法【作业5】 已知y1与成正比例，y2与3x成反比例，当x=1时，y=4，当x=-1时，y=0，求y和x的函数关系式【难度】【答案】【解析】y1与成正比例，y2与3x成反比例， 设， 当x=1时，y=4；当x=-1时，y=0， ， 解得：，y和x的函数关系式为：【总结】考察正比例和反比例的概念，并且考查了复合函数解析式的确定【作业6】 若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1a2，则b1与b2的大小关

18、系是（）Ab1b2Bb1 =b2Cb1b2D大小不确定【难度】【答案】D【解析】反比例函数在每个象限里面随着的增大而增大因为A、B两点不确定 在哪个象限，所以不确定纵坐标的大小关系【总结】考察反比例函数的增减性，注意要分象限【作业7】 如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为（）A2BCD【难度】【答案】C【解析】点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在 第一象限内的交点， ， ， 故选C【总结】考察函数交点的求法，从而求出三角形的面积【作业8】 为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用

19、都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的?（2）写出当0x20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间?【难度】【答案】见解析【解析】（1）小强每月的基本生活费为150元；如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时奖励2.5元；如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5 元奖励，超过

20、部分按每小时4元奖励（2） 设直线方程为，当时，图像经过， 解得：，y与x之间的函数关系式为：；（3）当时，图像经过点， 解得：， 则有题意可得：， 解得：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份可得到的费用为250元【总结】考察一次函数在实际问题中的运用【作业9】 现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物不低于10垄，又不超过14垄（垄数为整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）西红柿301601.1草莓15501.6（1） 若草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方

21、案?分别是哪几种?（2） 在几种种植方案中哪种方案获利最大?最大的利润是多少?【难度】【答案】见解析【解析】（1）根据题意西红柿种了垄，则，解得： ，且是正整数，共有三种种植方案：草莓种植12垄，西红柿种植12垄；草莓种植13垄，西红 柿种植11垄；草莓种植14垄，西红柿种植10垄；（2） 设种植草莓和西红柿共可获得利润元，则 随着的增大而减小，取最小值12时，有最大值为3072元 即草莓种植12垄，西红柿种植12垄时，有最大利润为3072元【总结】考察一元一次不等式与一次函数的综合应用【作业10】 在反比例函数的图像上有不重合的两点A、B，且A点的纵坐标是2，B点的横坐标是2，BB和AA都垂

22、直于x轴，B，A为垂足（1）求A点的横坐标；（2）求的值；（3）求的值【难度】【答案】（1）4；（2）4；（3）6【解析】（1）A、B两点都在反比例函数的图像上，且A点的纵坐标是2， A点的横坐标是4； （2）由题意，可得：；（3） 【作业11】 在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线平行（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使PAB是直角三角形，请求出点P的坐标【难度】【答案】（1），；（2）或【解析】（1）直线l与直线平行， 设直线l的解析式为，直线l经过点A（2，-3），直线l的解析式为，点B的坐标为；（2） 直线l上有一点M（a，-6）， ，则可设， ， 的取值范围是当AB为斜边时，解得：，点P的坐标为；当PB为斜边时，解得：， 点P的坐标为；当PA为斜边时，解得：，舍去综上所述，点P的坐标为或【总结】考察一次函数的解析式求法和直角三角形分类讨论，本题综合性较强，注意认真分析