七年级暑假培优讲义4：同底数幂的运算（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 同底数幂的运算 知识模块：回顾旧知知识模块：回顾旧知 乘方乘方（6 下下第五章：有理数）第五章：有理数） 1、一般地，我们把 n 个相同因数 a 相乘，记作na，即nnaaaaaa 个 2、定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方乘方乘方的运算结果叫做幂幂，在na中，a 叫做底数，n叫做指数指数na读作 a 的 n 次方（ “2 次方”又可以读作“平方” ， “3 次方”又可以读作“立方” ） 同底数幂的运算 3、读法：na读作 a 的 n 次方，na看作运算结果时，读作 a 的 n 次幂 4、特别地：11n，00n，（n

2、 为正整数） 5、正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数 【例 1】式子 103，a5各表示什么意思？ 【答案】根据乘方的意义 103=101010，3 个 10 相乘 a5=aaaaa，5 个 a 相乘 【例 2】指出下列各式子的底数和指数，并计算其结果。 23、2( 3)、312 、412 、332 、232 、25 、43 【答案】略 【例 3】下列四小题中的两个幂有什么共同之处；试一试，计算下面四题。 32433332(1)1010(2)22(3)(4)aaaa 【答案】四小题中的两个幂相同，5765(1)10(2)2(3)(4)aa 归纳总结：归纳总结：(

3、)mnm nm namanaaaa a aaa a aaa a aaa 个个个） 知识模块：幂的概念知识模块：幂的概念 1、幂：几个相同因数的乘积的结果叫做幂相同因数叫做幂的底（数） ，相同因数的个数叫做指数 如：nnaa a aaa 个，读作 a 的 n 次幂，或 a 的 n 次方另外1aa 2、 同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如2x与3x，3ab与4ab等； 【注意】底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 3、同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，底数底数不变，指数指数相加。 mnm naaa，mnpm npaaaa (m，n，p 都是正整数) 【例 4】下列各式中，正确的是（ ）

4、A. 448aaa； B. 5552bbb； C. 6636mmm； D. 77142nnn. 【答案】A 【例 5】计算题（用幂的形式表示结果） 。 （1）； （2） （3）； （4） （5） （6） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 知识模块：同底数幂知识模块：同底数幂的运算法则的运算法则 1. .同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则 (1)的次幂 的次乘方的结果叫做的次幂，写成，其中表示底数，正整数表示指数. (2)同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：. . 2. .同底数幂的乘法法则适用于三个或三个以上同底数幂的乘法运算同底数幂的乘法法则适用于三个或

5、三个以上同底数幂的乘法运算. . （1）当三个或三个以上同底数幂相乘时，仍适用法则，即 （、都为正整数）. （2）指数可以是数字，也可以是字母，但字母表示的数在此都是正整数. （3）运算中一定要注意化成同底数幂后方能进行. （4）最后结果应以不能化简为最终结果，但以 10 为底的幂，仍可以写成幂的形式. 3. .逆用这个法则， 也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积逆用这个法则， 也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积. .其中它们的底数与原来幂的底数相同， 它其中它们的底数与原来幂的底数相同， 它们的指数之和等于原来幂的指数们的指数之和等于原来幂的指数. .如：如：等等. . 4. .同底数幂的

6、乘法同底数幂的乘法： 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 23a aa 54aaa 232()()xxx 32()() ()aaa 223()xxxx 45623a aaaaa 6a10a7x6a8x21aananannaan(mnm naaamn、 都是正整数）mnpm npaaaa mnp4312233333 字母表示： (m，n 都是整数) ； 逆运用： (m，n 都是整数)。 注意： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或 多项式， 如：，底数就是一个二

7、项式。 （3）单独一个字母的指数是单独一个字母的指数是 1，不是，不是 0！如的指数是 1. （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 (m, n, p 都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。同底数幂的同底数幂的乘法是只要求底数相同则可用法则计算乘法是只要求底数相同则可用法则计算， 即底数不变指数相加，如：； 而整式加法加法法则要求:底数相同且指数也必须相同底数相同且指数也必须相同，如：， 和就不能合并。 【例 6】计算：32(1)()()bbb 325(2)()()ccc 【答案】 32556(1)()()()bbbbbbbb 或323

8、26(1)()()bbbbbbb 32537371010(2)()()()()()()ccccccccc 或 32532532510(2)()()()cccccccccc 【例 7】计算： （1）322x xxx； （2）423aaaa； （3）34393 3 ； （4）321010 100 10； （5）52346aaaaa a； （6）945362xxxxx. 【答案】4792,0,0,20000,3, 2xax nmnmaaanmnmaaa532)2)2)2yxyxyx（)2(yxypnmpnmaaaa94545xxxx333) 12(2xxx3x4x 【例 8】在下列各小题的横线上，填

9、上适当的正负号： 33(1)()_()baab； 44(2)()_()baab； 55(3)()_()baab； 66(4)()_()baab 【答案】(1)(2)(3)(4) 【例 9】用简便方法计算下列各题： (1) 818139 ； (2) 66720030.1252 【答案】(1) 8181821611333993 (2) 667667200320032003233 667110.1252222422 【例 10】若33na，请用含 a 的式子表示3n的值 【答案】33333327327nnnnaaa 【例 11】已知23,26,218abc，试问 a、b、c 之间有怎样的关系？请说明

10、理由 【答案】3 618,22222abca bcabc 因为所以即所以 【例 12】计算：221()nnxx （n 是正整数） 【答案】因为 n 是正整数，所以 2n-1 为奇数，22122141()( )nnnnnxxxxx 【例 13】光的速度约为每秒53 10千米，太阳光射到地球上需要的时间约是25 10秒，问太阳与地球的距离是多少千米？ 【答案】太阳与地球的距离约是81.5 10千米 【习题 1】计算题（用幂的形式表示结果） 。 （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2）（3） 【习题 2】计算题（用幂的形式表示结果） 。 （1） （2） （3） （4） 36423923aaaa

11、aa3242aaaaa（- ） （- ） （- ）（- ） （- ）343333() ()xxx xxxxx 92a073x23()()xyxy212(2 )(2 )(2 )mmxyxyxy 235abbaab 342yxxyxy （5） （6） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【习题 3】计算下列各题： （1）23()() ()aaa （2）23()()()aaa 【答案】66(1)(2)aa 【习题 4】计算：(x)(x)8(x)3 (xy)2(xy)3(xy)4(yx) 【答案】x12 2(xy)5 【习题 5】用简便方法计算： （1）200620060.25 ； （2）

12、1111127331982 . 【答案】(1)原式=2006200620060.250.2 51 (2)原式=111111163339822=1111163333198222 32 221(9)(9)nnxx 345223xyyxyxxy5xy232mxy10ab9xy419nx75 xy 【习题 6】 （1）如果，且，求、的值。 （2）已知：求的值 （3）已知，试用含的式子表示出. 【答案】 （1）（2）（3） 【习题 7】如果2111m nnxxx，且145mnyyy，试求 m，n 的值. 【答案】由已知得 2111145mnnmn，解这个方程组得 m=6，n=4 145mnyyymn,

13、53 , 43nmnm+325xaa5x64mn2025a【习题 8】我们知道133，它们的个位数字是 3；239它的个位数字是 9；3327它的个位数字是 7；4381，它的个位数字是 1，再继续下去看一看，你发现了什么，你能很快说出20083的个位数字是几吗？ 【答案】1 【习题 9】计算：242() () () ()mmxyyxxyyx（m 是正整数） 【答案】因为 m 是正整数，所以 2m 为偶数， 2422422 426 3() () () ()() () () ()()()mmmmmmmxyyxxyyxxyyxxyxyxyxy 【习题 10】简答题： （1）10 千万是 10 的几次幂？ （2）光年是天文学中常用的距离单位，1 光年相当于光在真空中一年走过的距离，大约是129.46 10千米，那么一亿光年约为多少千米？ 【答案】8；9.462010千米.