七年级暑假培优讲义7：乘法公式（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 乘法公式 知识模块：平方差公式知识模块：平方差公式 1、平方差平方差：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即22ababab. 公式中的 a、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差平方差公式的结构特征公式的结构特征： （1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数. （2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差. 3、公式的应用：公式的应用： （1）公式中的字母ab、可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特

2、征，乘法公式 就可以用此公式进行计算. （2）公式中的ab22是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数. （3）为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数. 如：(a + b) (a - b)= a2 b2 计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 )2( 2x )2 =1-4x2 【例 1】 （1）； （2）； 【答案】 （1）（2） 【例 2】 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 3】 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 4】 （1） （2） 22bababa)52)(52(22xxyxyx32

3、324425x 4249xy22ababba()()xyyx+22-227733xyyx224xy224499yx22abbaba()()yxyx5-35-3-33xymxym22925xy2229x ym22bambambma()()myxmxy-+()()z-3-3-yxzxy【答案】 （1）（2） 【例 5】计算下列各题： （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 6】 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 7】计算下列各题： （1）222222xxxx （2） 33abababab 【答案】 （1）（2） 【例 8】 （1）解方程. 22xym y2233xyxz4222a

4、aaxyxyxy31319122416a 44181yx49 5150 1 50 12500 12499 30.1 29.91610977899.9948994942xx28b4)2() 1)(1(2xxxx （2）解方程： （3）解方程： 【答案】 （1）（2）（3） 【例 9】解不等式： 【答案】 【例 10】计算下列各题： （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2）（3） 【例 11】 （1）如果，则的值 （2）已知：求的值 （3） 若，求的值 【答案】 （1）（2）（3） 3111)2(221313xxxxxx52x 1211x 154x 132121232215xxxxxx11x

5、 22) 3(xx22)(yxy69x22xxy24xy9,3xyxy2222xy, 9,4522yxyxyx,2,1222bababa5472xy42ab 【例 12】运用平方差公式计算: （1） （2） （3） （4） (1)(1)(1)(1)(1) 【答案】 （1）（2）（3）（4） 知识模块：完全平方公式知识模块：完全平方公式 1、完全平方公式：、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的 2 倍.即222222100999897.211111111. 1492510032168422-121212123221231241291210150501120

6、11120 222a+2baabb，或2222abaabb，公式中的 a、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差平方差公式的结构特征公式的结构特征： （1）左边是一个两项式的完全平方，右边都是一个二次三项式； （2）其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边两项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定； （3）语言叙述：首平方，尾平方，二倍乘积在中央. 3、公式的恒等变形和推广：、公式的恒等变形和推广： （1）2222ababab （2）2222ababab （3）224ababab （4）224ababab （5）2222222abcabcabac

7、bc 4、2()ab与与22ab有何区别：有何区别： 2()ab 22ab （1）读法不同 读作： “ab与两数和的平方” 读作： “ab与两数的平方和” （2）运算顺序不同 先求和，然后平方 先平方，再求和 （3）几何意义不同， 如图中大正方形的面积 如图中阴影部分的面积 （4）项数不同 是二项式的平方，它的展开式222aabb是二次三项式。 222()2ababab是二项式 （5）当00ab或时，222()abab 【例 13】 （1） ； （2） 解： （1） 原式=（ ）2+2 +（ ）2 = （2）原式=（ ）2+2 +（ ）2 223ab222ba = 【答案】 （1） （2） 【

8、例 14】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） 【例 15】 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 16】 （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2）（3） 【例 17】 （1）若 ，则 k =_ （2）若是完全平方式，则 k = _ （3）若 是完全平方式，则 m = _ （4）若是完全平方式，则 k = _ 2222334129aabbaabb222242224bbbaaaab22ba 223ba 2)3110(29 .19)(xyyx)(baab2244aabb229124aabb11009396.01

9、222xyxy222aabb42242mm nn22100+1001022-102222010+20094020-20094122)3()3(baba2222abab 2222baba12ab44244baa b4422168aba b22)2(4xkxxkxx 2222+6+mxx962 xkx （5）若 是完全平方式，则 k = _ （6）若是一个完全平方式，则 = _ （7）已知是一个完全平方式，则 a=_ 【答案】 （1）（2） （3）（4） （5）（6）（7） 【例 18】 （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2） （3） 【例 19】 （1） （2）（3） 【答案】 （1）（

10、2）（3） 【例 20】 （1） （2）（3） 【答案】 （1）（2）（3） 【例 21】解下列各式 （1）若，求的值. （2）已知，求的值. 92kxx223649xmxyym2516xax41316843或-11()22-+3cba()22-3cba()22+-3cba222946124abcabacbc222946124abcabacbc222946124abcabacbcabcabc abcabc )2)(2(yxyx2222abcab2222abcbc2244xyycbacba()()cbacba3-+23-2()()cbacba3-2+3+2+-2222acbac2224912ac

11、bac222296bacac15, 8mnnm22mmnn1=2=-abba，2ba （3）已知，1 求 ； ；的值 （4）若，求；的值 （5）若，求的值。 （6）若，求的值。 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【例 22】解下列各题： （1）若 ，求. （2）已知：，求 的值. 13xx221xx1xx441xx 6,1322abbaabab22)( ,)(baba2)() 1(2baaa222abab229,4abab22abab与49874771 525121132404412yyx2xy029622yxxxy （3）已知： 求的值。 （4）已知：，求的值。 【答案】 （1

12、）（2）（3）（4） 【习题 1】计算： （1） （2）； （3） （4）； （5） （6）； （7） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） , 02621022yxyxyx,0964522yxyyx4851xy63xy212a21982abc231 231abab22298+298602-301a b cab c 1212yxyx214aa 39204222222abcabacbc224961abb92222acbac22421xyy【习题 2】运用平方差公式计算下列各题的值. （1）； （2）； （3） （4） （5） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5） 【习题 3】

13、先化简后求值，其中 【答案】 【习题 4】观察下列算式回答问题： 321=8 521=24=83 721=48=86 921=80=810 问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？ 【答案】 91 8959.8 60.221403933312432252001 2003 1998 200680993599.965159995624915)5)(5(2)4)(3(xxxx10 x7222118123.nn 【习题 5】若的值。 【答案】 【习题 6】 （1）已知，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】 （1） （2） 【习题 7】若 ，求的值. 【答案】 【习题 8】先化简，再求值： ，其中 . 【答案】 abbaba求,26, 42252,1abab22ab2216 ,4ababab23224110aab 2)(ba14ababba22313223, 1ba212