七年级暑假培优讲义5：幂的乘方与积的乘方（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 幂的乘方与积的乘方 知识模块：同底数幂的乘法知识模块：同底数幂的乘法 1、同底数幂：同底数幂是指底数相同的底数相同的的幂（注：底数可以是具体的数、单项式、多项式） 2、读法：na表示n个a的积，读作a的n次方，或a的n次幂，其中a表示底数底数，正整数n表示次数次数 幂的乘方与积的乘方 计算结果叫做幂幂. 3、同底数的幂相乘法则：同底数的幂相乘，底数底数不变，指数指数相加。mnaam na， mnpaaam npa 【例 1】指出下列各幂的底数和指数： 3 4(2 ) 4 3()a 3 5()a 【答案】在上列各式中我们若把32

2、看成一个整体，那么: 3 4(2 )的底数是32，指数是 4，它就是 2 的 3 次幂的 4 次方； 4 3()a的底数是 ，指数是 ，它就是 . 3 5()a的底数是 ，指数是 ，它就是 . 归纳总结：归纳总结：3 4(2 )；4 3()a；3 5()a称之为幂的乘方。称之为幂的乘方。 【例 2】请计算：3 4(2 )； 4 3()a； 3 5()a 【答案】提醒学生可以根据乘方的意义和同底数的幂的乘法性质。得 （1）3 4(2 )= = 2 （2）4 3()a= = a （3）3 5()a= = a 让学生观察（1）3 4(2 )=122； （2）4 3()a=12a； （3）3 5()a

3、=15a三小题左右两边的变化规律 猜想：如果猜想：如果 m、n 都是正整数，那么都是正整数，那么 ()m na= = 知识模块：幂的乘方知识模块：幂的乘方 1.幂的乘方法则 （1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如2 3()a是 3 个2a相乘，读作a的 2 次幂的三次方. （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.即()m nmnaa（mn、为正整数）幂的乘方是以幂为底数的乘方运算. 2.幂的乘方法则与同底数幂的乘方法则的区别： 幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变） ； 同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）. 如3 43 412(2 )22，而347222. 3.逆用此法则

4、，即()()mnm nn maaa，可帮助我们根据问题的需要将式子灵活变形. 【例 3】计算题（用幂的形式表示结果） ： （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）（2）（3）（4） 【例 4】计算题（用幂的形式表示结果） ： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 【例 5】 把下列各式写成或的形式： （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2）（3） 23732a432 33b676a1229b2 33 4()()aa2 33 4(-)(-)xx4352aaa322()aa323x xx 3322y

5、yy 33423aaaa 3242xxx 18a18x82a25a10 x11y92a62xnba)( nba)( 23)(ba 32)-( - ab42)(abba6ab6ba12ab 【例 6】若的值。 【答案】 【例 7】 （1）若（） ，求。 【答案】 【例 8】 （1）如果，求的值。 （2）如果，求的值。 【答案】 （1）（2） 【例 9】 阅读下列解题过程：试比较与的大小 解： 请比较的大小。 m2+21=4=xxxnnm，则，6412231)(aan1an3n216(9 )3n222 8162nnn33a b32aba b10027532525375242541009=)3(=3

6、 ,16=)2(=275100322716，2432404 ,3 ,2【答案】 知识模块：积的乘方知识模块：积的乘方 1.积的乘方法则 （1）积的乘方是指底数是乘积的形式的乘方，如2()ab，3()xyz等. （2）积的乘方等于等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘. 即为正整数）nbaabnnn(.这个法则适用于三个或三个以上因式的积的乘方运算. 2.在运用积的乘方的性质进行计算时，易出现漏掉部分因式乘方的错误，如：2 224( 3)3xyx y . 3.逆用此性质，即()nnnabab，在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，再去求积的同次幂.有时候，性质的逆向使用，会使一些

7、数的计算简化.如：200520052005112( )(2)122. 4.关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下： 比较 共同点 不同点 幂的三种运算法则 运算中的底数不变，只对指数进行运算. 法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式，指数均为正整数. 对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘，或幂（或积）的乘方等运算，法则仍然成立. 同底数幂相乘是指数相加. 幂的乘方是指数相乘. 积的乘方是每个因式分别乘方. 【例 10】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5） 4024322

8、434)( xy33( 3)m n324( 2)a b24 3( 2)a b 4 4( 2 10 ) 44x y9327m n12816a b6128a b171.7 10 【例 11】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）（2）（3）（4） 【例 12】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】 （1）（2） （3）（4）（5） 【例 13】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） 【答案】 （1）（2） 【例 14】 （1）已知，求。 23332223yxyx322429aaa)4()()3(

9、322xyxyxy3372323)5()()3(aaaaa66x y6a2413x y9115a33254 19971997)532)135(（16170.1258 111112733( 1 )( )()982 233510211043101832221.6 10mnnnmmyxyx)( 3)(23323323393232nnnnnnbabababamnmnxy396923nnnna ba b5ma2mbmba)(32 （2）已知是正整数，且，求的值。 【答案】 （1）（2） 【例 15】 （1）已知，则的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值； （4）已知，求的值。 【答案】 （1）

10、（2）（3）（4） 【习题 1】下列各式对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）（2）（3）（4） 【习题 2】下列个算式中，不正确的是 （ ） n23nx3223)2()3(nnxx2004,17,68mnmaana3210 a310 bba 32103, 2mmbamba)(221164108361037)(xx2137xxx8442aaa2153553)()()(aaa21x10 x8a152a A. B. C. D. 【答案】C 【习题 3】下列运算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【习题 4】下列运算错误的是（ ） A、 B

11、、 C、 D、 【答案】A 【习题 5】的结果是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【习题 6】的结果是（ ） A B C D 【答案】A 【习题 7】若成立，则（ ） Am=3，n=2 Bm=n=3 Cm=6，n=2 Dm=3，n=5 【答案】A 【习题 8】的计算结果是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【习题 9】 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 326( 2)2633xxx623aa632aa358aaa 233266mnm n 323321818mnm n 233298m nmnm n 332299m nmnm n yx105yx85yx85yx12632 2

12、200323 2)( 1) () x yx y （1010 x y1010 x y99x y99x y15938)2(babanmm201320142332322332233627yx328269zyx23x y343x yz【习题 10】若，则_ 【答案】 【习题 11】当正整数 n 分别满足什么条件时， 【答案】 【习题 12】计算 （1）（2）； （3） （4） 【答案】 （1） （2）（3）（4） 【习题 13】计算 （1） （2） （3） （4） 32na23)2(na108?,nnnnaaaannnaa为偶数时：nnnaa 为奇数时：_)()(4554xx_)()(1231mmaa

13、222 2() ()() a bb aa b4221054)(3)()(xxx055ma42 ab83x423292aaa26843221yxyx232 223( 2)8()()()x yxxy 3323222xxyxyxy （5）； 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5） 【习题 14】 计算： （1） （2） （3）（为正整数） 【答案】 （1）（2）（3） 【习题 15】已知，求下列值。 （1）； （2） 【答案】 （1）（2） 【习题 16】已知，求 （1） （2） 【答案】 （1）（2） 4 22 442 232 2(2)2 ()()() ()()xxxxxxx 6a8121716x y0534x y02963)()(yxyx232xyyx31212)3()3(nnbaabn182 xy7xy853nabam2bn2nm8nmnm232233a b32aba bbaxx3 ,2x6xxx964ab22aabb【习题 17】已知,求的值。 【答案】 【习题 18】 （1）已知，求。 （2）已知，求的值。 【答案】 （1）（2） 333,2mnab233242()()mnmnmnababab7192221232xxx723921nnn521n