七年级暑假培优讲义9：因式分解-公式法（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 因式分解公式法 因式分解公式法 知识模块：公式法知识模块：公式法 1、公式法的定义 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 2、回顾复习乘法公式 （1）()()_ab ab 22ab （2）2()_ab 222aabb 2()_ab 222aabb 3、因式分解的平方差公式：22()()abab ab 4、因式分解的完全平方公式： 2222()aabbab 2222()aabbab 【例 1】下列各式能用平方差公式因式分解吗？若可以，请分解因式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）

2、 （10）； 【答案】 （1）（2）（3） （4）（5）不可以（6）（7）不可以（8）不可以（9）（10） 【例 2】下列多项式是否为完全平方式？ 22422222(1)69(2)21(3)251011(4)161(5)24(6)394xxaaxxaaaa bab 2282ab224ba24a2214100ab24a412x412x224ba 22mnxy22()xxy2 22abab22abab22aa11221010abab1122xx+mnmnxyxy2yxy【答案】(1)是； (2) 不是 ； (3)是； (4)不是； (5)不是； (6)是 知识模块：平方差公式知识模块：平方差公式

3、1、因式分解的平方差公式：22()()abab ab 2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是： (1)公式左边必须是一个二项式，且符号相反； (2)两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式； (3)右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积； (4)公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式. 例如：分解因式：249a ，则22249(2 )3aa，这里的2a就是公式里的a，这里的 3 就是公式中的b，分解结果为(23)(23)aa. 分解因式：22()(2)mnxy，这里的mn就是公式中的a，这里的2xy就是公式中的b，分解以后的结果为(2)

4、(2)mnxy mnxy. 【例 3】 （1）已知，求的值. （2）已知，求的值。 【答案】 （1）（2） 知识模块：完全平方公式知识模块：完全平方公式 1、因式分解的完全平方公式： 2222()aabbab 2222()aabbab 1xy21xxyy4, 3, 5babaxy22xyaxyb060 2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是： (1)公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式； (2)其中两项的符号必须是正的， 且能写成某两个数或两个十字的平方形式； 而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的 2 倍； (3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差

5、的完全平方，其和或差的符号与左边第三项的符号相同； (4)公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式. 例如：22225309(5 )303xxxx 2222()6()9()mnmnmn 说明说明：在第例中，当用完全平方公式分解后发现有新的公因式，一定要再提取 3、公式法的几点注意 (1)运用公式法进行因式分解时要注意观察，首先观察项数，如果是二项，考虑平方差公式；如果是三项，考虑用完全平方公式；其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a”，什么是公式中的“b”，然后才能运用此公式进行因式分解. (2)分解因式一定要彻底，如例中

6、不能把2( 24 )mn作为最后分解的结果. (3)公式中的a、b可以表示单独的多项式，使用公式时要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号. (4)合理变形，巧妙运用公式是本节的难点.例如分解因式2()4(1)xyxy时，将此多项式变形为2()4()4xyxy后，就可以用完全平方公式进行分解. 【例 4】分解因式 （1） （2） （3） 【答案】 （1）（2）（3） 【例 5】分解因式 （1） （2） （3） 221236xxyy22269x yxyzz2225204yxyx26xy23xyz225xyxxx4+4-232218122ayaxyax232336xyxyx （4） （5）

7、 （6） （7） （8） （9） （10）（11）（12） （13） （14） （15） 【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10）（11）（12）（13） （14）（15） 【例 6】分解因式 （1） （2）（3） 222595341baba22259+54+94yxyx223494nmnm229132yxyx214aa 222441xbxaba1682yxyx29124yxyx22)(2cbcbaa22)+(9+)+a)(b-(12-)b-(4babaa22)+(25+)+a)(b-(30+)b-(9babaa22)+3(+)+3)(y3+(2-)3+(yx

8、yxxyx22x x223a xy23x xy21325ab22335xy22+3m n213xy212a2212a bx22xy2233xy2abc25ab24 4ab24 xy1+2-24aa4224817216yyxx22222x4-)+(yyx （4） （5） 【答案】 （1）（2）（3） （4）（5） 【例 7】分解因式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】 （1）（2）（3） （4）（5） （6） 【例 8】计算： （1） （2） （3） 【答案】 （1） （2）（3） 【例 9】 （1）若关于的二次三项式是完全平方公式，则的值 2222 24()x yxy1+

9、2)-x(x2+)2x-(22x 2211aa 222323xyxy 22xyxy 22xyxy41x22223xyzxyz22()()abcdabcd 222)2+(+8+8+2mnxmnnm222222b)-4(a-b+a2-xbxxa1+3)-m(m2+)3m-(22m22 22()(1 2)xyxy235xyzyz4 acbd222xmn2222axbxabaxbxab2231mm22222121xyxyxyxy220001999 2001229819620220222221111(1)(1)(1)(1)23410190000511x92mxxm （2）若是完全平方公式，则的值 （3）

10、如果是一个完全平方式，则的值 【答案】 （1）6（2）71或（3）225y 【例 10】 （1）证明：两个连续偶数的平方差能被 4 整除. （2）证明：当 n 为正整数时，的值，必是 6 的倍数 （3）四个连续自然数的积与 1 的和一定是一个完全平方数吗？ 【答案】省略 【例 11】解下列各题： （1）已知：，求 的值. （2）已知： 求的值。 （3）已知：，求的值。 【答案】 （1）0（2）6（3）63xy 16) 3(22xmxm2420 xxymm3nn06922xyxxy, 02621022yxyxyx0964522yxyyxyx, 【习题 1】把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项

11、式因式分解，也叫做把这个多项式 . 【答案】几个整式的积 分解因式 【习题 2】一个多项式中 都含有的 叫做这个多项式的公因式. 【答案】每一项 因式 【习题 3】多项式的公因式是 . 【答案】2xy 【习题 4】多项式的公因式是 . 【答案】ab 【习题 5】（ ）( . 【答案】124xx 【习题 6】分解因式： . 【答案】2122mn 【习题 7】分解因式： . 【答案】 22abab 【习题 8】的公因式是 . 【答案】ab 【习题 9】分解因式： . 【答案】 2111xxxx 2286x yxy323()2()()ababab216x1 2)221424mmnn22 222()4

12、aba b22222aab bab与=-5xx【习题 10】分解因式： . 【答案】222xx 【习题 11】 （ ）. 【答案】 3b 【习题 12】 （ ）. 【答案】2127zz 【习题 13】下列各式中从左至右的变形，是因式分解的有（ ） A.4 个 B. 3 个 C.2 个 D.1 个 【答案】D 【习题 14】多项式中公因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【习题 15】下列各式中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【习题 16】一个多项式，分解因式的结果是，那么原题应当是 A. B. C. D. 【答案】B 【习题 17】多项式除以各项的公因式

13、后，所得的商应当是（ ） 228x 2336a babb2(2)aa2714497xyxyzxyzxy 22623a bab24 3(2)(2)3xxxxx 22(2)ababab b221(1)(1)1aaaa 322225103a bca b cc35a bcabc2bcc2224622(23 )x yx yxyxyxyx 3()6 ()3()(2 )ab aba abab aba223 ()()63 (2)x xy xyxx xy4221(1)(1)xxx 33(2)(2)bb（ ）64 b 64 b94 b 94b43322462a ba ba b A. B. C. D. 【答案】B

14、【习题 18】如果多项式是一个完全平方式，则 k 的值应是（ ） A.-2 B.4 C.2 D.2 【答案】D 【习题 19】把下列各式分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【答案】 （1）2234mnmnp（2）1 42aba（3）222813xxx （ 4 ）112510nnaaa（ 5 ）2323yxyx（ 6 ）3 73a bab（ 7 ）22492323mnmnmn（8）231 3ab（9）2331mn（10）2312x （11）233ab aabab（12）4mamaxy 【习题 20】用提取公因式法分解因

15、式： 22231 a bab22231 a bab3223 abb2223a bab2144aka23268m nmn p242aaba3241626xxx211510nnnaaa2294 xy224(2 )25() abab441681mn3261 69 aba b29()6() 1 mnmn6324144xx2()3()a b abab ab2()3 ()()()max maxy am（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】 （1）88251 5xx（2）221xy x yxy（3）21naaa（4）212a axa（5） 22nabab（6）31 231xxx 【习题 2

16、1】利用公式法分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） （4） （7） （8） 【答案】 （1）3aaba b（2）221 16141 4xx yxyxy（3）225ab（4） 22121 2nn（5） 222121aa（6）22221122aa （7） 2211mnmn（8）257ab 【习题 22】已知，利用因式分解求的值。 【答案】1 81625125xx3322x yx yxy21nnnaaa222(2 )(2)axaaax2212()()()nnnbabaab22(1) (23)(1)(23)(1)(3 2 )xxxxxx532aa b54256xx y2(2 )10(2 )25abab241 816nn 222(41)16aa8411216aa442221m nm n222236()12()()ababab11,2xyxy 2()()()x xy xyx xy 【习题 23】计算： 【答案】 22+1aba bab 2322() ()() ()ababbaba