七年级暑假培优讲义12：因式分解提高（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 因式分解提高 知识模块知识模块：提取公因式法提取公因式法 1、 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意： （1）因式分解是多项式乘法的逆运算。 （2）因式分解的最终结果是几个多项式乘积的形式。 2、提公因式法：提公因式法：)(cbaacab 因式分解提高 提取公因式是将一个多项式中的含有公共的因式提取出来的过程， 重点是找出多项式中每一项都含有的提取公因式是将一个多项式中的含有公共的因式提取出来的过程， 重点是找出多项式中每一项都含有的公共因式。提取公因式一定要将公因子

2、提取干净。最后要化成整式乘积的形式。公共因式。提取公因式一定要将公因子提取干净。最后要化成整式乘积的形式。 3、找公因式要注意： （1）系数取各项系数的最大公约数 ； （2）字母取各项中相同字母的最低次幂 4、因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 5、提公因式要注意： （1）当第一项的系数为负数时，首

3、先要提出“-”号，多项式的各项都变号 （2）多项式的每一项与公因式做除法，所得的商为这项的余因式 （3）余因式中不能再有公因式，余因式的项数与原多项式的项数相等 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。 【例 1】 2213mmmma xabxacxax 【答案】221323()mmmmma xabxacxaxaxaxbxcx 【例 2】a ababaab ba()()()32222 【答案】322()2()2()a ababaab ba 322222()2()2()()()2 ()2 ()(342 )a abaabab aba ababa abba

4、abaabbb 知识模块知识模块：公式法公式法 1、运用公式法：运用公式法：)(22bababa 222)(2bababa 222)(2bababa 2、注意：运用公式就是借助与平方差公式和完全平方公式进行因式分解的过程，这里面要求学生对于公式能够熟练的掌握，准确的记忆是快速解决此类问题的前提。 【例 3】 324xxy 【答案】32224(4)(2 )(2 )xxyx xyx xy xy 【例 4】 3223288x yx yxy 【答案】32232222882(44)2(2 )x yx yxyxy xxyyxy xy 知识模块知识模块：立方和差（拓展）立方和差（拓展） 1、这就是说，两个数

5、的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)3322()()abab aabb 3322()()abab aabb 2、注意：注意：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a bab，可以逆用法则()nnnaba b； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号 【例 5】 用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x (2) 30.12527b 【答案】 (1) 333282(2)(42)xxxxx (2) 333220.125270.5(3 )(0.5 3 )0.50.5 3(3 )

6、abbbbb 2(0.5 3 )(0.25 1.59)bbb 知识模块知识模块：分组分解法分组分解法 分组分解法：分组分解法：)()()(dcbadcbdcabdbcadac 注意注意：把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化. 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 【例 6】 （1）233aabba （2）2269

7、1xxyy （3）22amanmn （4）2222ababc 【答案】 （1）()(3)ab a； （2）(31)(31)xyxy （3）()()mn amn （4）()()cab cab 【分析】第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式； 第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式 继续分解因式； 第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式； 第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“”号，利用完全平方公式分解因式 ，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式。 知识模块知识模块

8、：求根公式法求根公式法 关于 x 的二次三项式20(0)axbxca的因式分解 若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx. 【例 7】 221xx 【答案】令221xx=0，则解得112x ，212x ， 221xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx 知识模块知识模块：十字相乘法十字相乘法 十字相乘法：十字相乘法：)()(2qapapqaqpa 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 xa b x abx a x b2 ( )进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定

9、适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项a x b x c2 （a、b、c 都是整数，且a0）来说， 如果存在四个整数a c a c1122， ， ， 满 足a a ac c c1212， 并 且a c a c b1221， 那 么 二 次 三 项 式a x b x c2 即a a x a ca c xc c1 221 2 2 11 2 可 以 分 解 为 a xca xc11 22。 这 里 要 确 定 四 个 常 数a c a c1122， ， ，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 【例 8】 把下

10、列各式分解因式： （1）652 xx； （2）652 xx； （3）652 xx； （4）652 xx 【答案】 (1)(2)(3)xx；(2)(2)(3)xx；(3)(6)(1)xx；(4)(1)(6)xx 知识模块知识模块：双十字相乘法（拓展）双十字相乘法（拓展） 形如FEyDxCyBxyAx22的多项式的因式分解的基本步骤基本步骤： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式； （2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，依次填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y的项的交叉之积的和等于原多项式中含y的一次项Ey，同时这两个因数与含x的项的交叉之积的和等于原多项

11、式中含x的一次项Dx。 【例 9】 分解因式:6148222yxyxyx 【答案】 解法一：原式 421464322xyxyxyxyxy 解法二： 解：原式4322xyxy 【例10】 已知：a、b、c为三角形的三条边， 且027334222bbcabcaca。 求证：cab2。 分析： 【答案】2224337232aaccabbcbabcabc 由已知条件，得320abcabc 因为两点之间线段最短，所以acb ,得30ac b ，即30a bc 从而20ab c ，即2bac 知识模块知识模块：拆项添项法拆项添项法 把代数式中的某项拆成两项或者几项的代数和，叫做拆项 在代数式中添加两个相反

12、项，叫做添项 这都是利用了代数式的恒等变换 拆项法： 【例 11】432344xxxx 【答案】不难看出其中最后两项是一个完全平方式的部分，所以 43243222222223234424422=21221222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 此时我们已经将原来的四次式转换为三次式与一次式的乘积的形式， 这时候我们需要2拆开与3x组成立方差 322222112111221xxxxxxxxxxxxxx 添项法： 【例 12】 31x 【答案】当我们遇到这种无法拆开的式子时候大部分情况下都运用到添项法，转换为学过的公式再一步进行因式分解 3322221=+111111xxxxxx

13、xxxxx 这就是立方和公式的推导 【例 13】2222xab xab ab 【答案】这个式如果展开很难在得到因式分解式，但是拆项也没有系数去进行拆开，这时候我们观察式子发现前两项是一个完全平方式的缺项式，不妨将前两项补成一个完全平方式 22222222=2222+2xab xab abxab xababab abxabab ab 此时一般我们将后面组成另一个完全平方公式，然后平方差；亦或是将后面部分看成整体使用十字相乘 22222=+42=22xaba babab ababxabababxbabxaab 【习题 1】412132qpp()() 【答案】22(1) (221)pqpq 【习题

14、2】42(2 )(2)xxyxyx 【答案】 2(2 )(1)(1)xxy xx 【习题 3】分解因式：(1) 34381a bb (2) 76aab 【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解； (2) 中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3 23 2()()ab或2 32 3()()ab 【答案】(1) 3433223813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333()()()aaba aba abab 22222222()()()()()()()()a ab aabbab aabba ab ab aabbaabb 【习题 4】43

15、2433xxxx 【答案】 432432222222433333=131=31xxxxxxxxxxxxxxxxx 【习题 5】把下列各式因式分解 （1）a22abb2c2 （2）2229124cbcba 【答案】 （1）()()abc abc； （2）(23 )(23 )abc abc 【习题 6】2244xxyy 【答案】令2244xxyy=0，则解得1( 22 2)xy ，1( 22 2)xy ， 2244xxyy=2(12) 2(12) xy xy 【习题 7】 120)8(22)8(222aaaa 【答案】222(8 )22(8 ) 120aaaa 22(812)(810)aaaa 2(2)(6)(810)aaaa 【习题 8】分解因式:yxyxyx422322 分析： 【答案】22322422xxyyxyxyxy 【习题 9】分解因式:43522yxyx 分析： 【答案】2253441xyxyxyxy