七年级暑假培优讲义10：提取公因式法和公式法（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 提取公因式法和公式法 1 1、 因式分解的定义：因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 提取公因式法和公式法 2、提公因式法：、提公因式法： 多项式 ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式， 其中一个

2、因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3、公式法、公式法 (1)平方差公式：22()()abab ab. 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. (2)完全平方公式：2222()aabbab. 其中，222aabb叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 4、提公因式法、提公因式法+ +公式法：公式法： （1）提取公因式+平方差公式 （2）提取公因式+完全平方公式 （3）因式分解+带入求值 注意：注意：在进行多项式因式分解的时候，第

3、一步先观察是否有公因式，如果有公因式，先提取公因式再进行因式分解；分解因式的结果应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 【例 1】 把a ab b2222 分解因式的结果是（ ） A. ( ) ( ) ( )aba b 2 2 B. () ()abab 2 C. () ()abab 2 D. () ()abba2222 【答案】B 【例 2】因式分解：xxy324_。 【答案】22x xyxy 【例 3】分解因式：28832 23xy xy x y_。 【答案】222xy xy 【例 4】把下列各式因式分解 （1） a xabxacxaxmmmm2213 （2）a a b a b a a b

4、 b a( )( )( ) 32222 【答案】 （1）23maxaxbxcx（2）22342a abababb 【例 5】利用提公因式法简化计算过程 计算1368987521136898745613689872681368987123 【答案】987 【例 6】不解方程组23532xyxy ，求代数式( ) ( ) ( )2 2 33 2x y xyx x y 的值。 【答案】6 【例 7】 证明：对于任意自然数 n，3 2 3222nnnn 一定是 10 的倍数。 【答案】省略 【例 8】 因式分解3 2 2x xx( )( ) 【答案】312xx 【例 9】分解因式：412132qpp(

5、)() 【答案】 22 1221pqpq 【例 10】已知多项式232x x m 有一个因式是2 1x，求m的值。 【答案】12 【例 11】 已知abc、 、是 A B C的三条边，且满足abcab bc ac2 2 20 ，试判断 A B C的形状。 【答案】等边三角形 【例 12】两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。 【答案】省略 【习题 1】分解因式： （1） 4 1 22233 2mn mn mn （2）a xabxacxadxnnnn2211 （n 为正整数） （3）a a b a b a a b b a( )( )( ) 322222 【答案】 （1）222261mnmnm

6、n（2）132naxaxbxcxd（3）33a ab 【习题 2】计算：( )( )221 11 0的结果是（ ） A. 2100 B. 210 C. 2 D. 1 【答案】B 【习题 3】已知 x、y 都是正整数，且x xyy yx( ) ( ) 1 2，求 x、y。 【答案】42xy 【习题 4】证明：8 1 2 7 9791 3 能被 45 整除。 【答案】省略 【习题 5】 化简：1 1 1121995 x xxxx xx( )( ) ( )，且当x0时，求原式的值。 【答案】1 【习题 6】分解因式： （1）() ()aa 23 122 （2）xx y x yx5222()() （3

7、）a xy a xy xy22342( ) ( ) ( ) 【答案】 （1）41 3 2aa（2）2312xxxy（3）22xxya 【习题 7】分解因式 (1) 22181x y (2) 2216()25()xyxy (3) 222()4aba b (4) 224()abc (5) 3222xx yxy (6) 2()10()25baab (7) 22139mm (8) 2224(1)xx 【答案】 （1）11()()99xyxy （2）(9)(9 )xy xy （3）(2)(2)abab abab（4）(22 )(22 )abc abc （5）2()x xy（6） 2(5)ab 或2(5)

8、ba （7）21()3m（8）22(1) (1)xx 【习题 8】用因式分解的方法计算. （1）22843842 （2）2.13 2.5 5.63 2.5 2.24 2.5 【答案】 （1）1685； （2）25 【习题 9】若abc， ，是三角形的三条边，求证：abc b c22 22 0 【答案】省略 【习题 10】已知： 21 0 ，求2001的值。 【答案】1 【习题 11】已知abc， ，是不全相等的实数，且a b cabc a b c03333，试求 （1）a b c的值； （2）abcbc acab() () ()111111 的值。 【答案】 （1）0（2）3 【习题 12】利用因式分解计算：2x xyxyx xy，其中3,24xy 【答案】154 【习题 13】已知：xx 13，求xx441的值。 【答案】47 【习题 14】因式分解：12341xxxx 【答案】2255xx