七年级暑假培优讲义11：十字相乘和分组分解法（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级初一上课时间 学 科数学课题名称十字相乘和分组分解法十字相乘和分组分解法 知识模块：十字相乘法1二次三项式：（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项， c为常数项例如，和都是关于x的二次三项式（2） 在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式（3） 在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于 ab的二次三项式同样，多项式，把xy看作一个整体，就 是关于xy的二次三项式 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法2. 十字相乘法的定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方

2、法叫做十字相乘法。3. 十字相乘法的方法：（1） 对于二次项系数为1的二次三项式， 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和分解结果： 掌握方法: 拆常数项,凑一次项. 符号规律: 当q0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.（2）二次项系数不为1的二次三项式 条件：（1） （2） （3） 分解结果：=掌握方法: 拆两头，凑中间. 符号规律:常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应分解为两异号因数，十字连线上两数积绝对值较大的

3、一组与一次项系数的符号相同【例1】（1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（2）（3）（4）【例2】（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【例3】（1） （2） （3）【答案】（1）（2）（3）【例4】（1） （2）（3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【例5】（1） （2） （3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【例6】（1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（2）（3）（4）【例7】（1） （2） （3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【例8】已知多项式可分解成两个整系数的一次因式的积，求的值【答案】【例9】把下列各式分解因式： （1）

4、 （2）【答案】（1）（2）【例10】（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）【例11】已知因式分解时，甲看错了a，分解结果是，乙看错了b， 分解结果是，求的正确结果。【答案】【例12】（1） （2） 【答案】（1）（2） 知识模块：分组分解法1.分组分解法的意义 有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.2.

5、分组的原则 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多项式. 分组分解法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是： 分组后能直接提取公因式； 分组后能直接运用公式.分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法.通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的.我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性

6、，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行.通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧.3.常用的分组方法方法一：分组后能提取公因式（1）按字母分组.例如：分解因式：可以按某一字母为准分组，若按含有字母的分为一组，含有字母的分为一组，即，这样就产生了公因式.（2）按系数分组.例如：分解因式：，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即，则.（3）按次数分组.例如：分解因式：，此多项式有两个三次项，有两个二次项，有两个一次项，按次数分组为：.方法二：分组后能运用公式例如：，可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为.而又是平方差形式的多项式，还可以继续分解.方法三：重

7、新分组例如：分解因式，此多项式必须先去括号，进行重新分组. .4.分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解.（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组.（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解.（4）对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项分组都可以达到目的，分组要注意合理性，四项式中的另一种三项、一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能写成某个式子的平方，且又与完全平方的式子的符号相反，则得到的形式，再用平方差公式分解.（5）五

8、项式一般采用三项、两项分组.（6）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组.（7）原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解.1、四项多项式的因式分解：（1）二、二项分组（每组各自提取公因式或用平方差公式分解后，两组再有共同的公因式 可以提取）【例13】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（2） 一、三项分组（三项分在一组后能够用完全平方分解，再利用平方差公式）【例14】（1） （2） （3） （4） （5） （6）（6） （7）【答案】（1）（2）（3）（4）（5

9、）（6）（7）（8）2、 五项多项式的因式分解：（1）三、二项分组（三项用完全平方式或十字相乘法分解，两组再有共同的公因式可以提取）【例15】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）三、一、一项分组（其中一项需要拆分两个）【例16】（1） （2） （3）【答案】（1）（2）（3）3、 六项多项式的因式分解：（1） 二、二、二分组（每组各自提取公因式或用平方差公式分解后，三组再有共同的公因 式可以提取）【例17】（1） （2） 【答案】（1）（2）（2） 三、二、一分组（三项用完全平方公式分解后做二次项，另两项做一次项，最后一项 做常数项）

10、【例18】（1） （2） （3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）（3） 三、三分组（每组三项用完全平方公式分解，再用平方差公式分解）【例19】（1） （2） 【答案】（1）（2）（4）去括号后再分组：【例20】（1） （2）（3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【习题1】下列各因式分解中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D【习题2】下列各因式分解中错误的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D【习题3】多项式可分解为(x5)(xb)，则a，b的值分别为 ( )A10和2 B10和2 C10和2 D10和2【答案】D【习题4】分解结果等于(xy4)(2x2y

11、5)的多项式是 ( )A BC D【答案】A【习题5】下列各多项式的因式分解中，没有分解彻底的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A【习题6】填空题：（1）是多项式 的因式分解（2）如果，那么 （3）若是二次三项式的因式分解，那么 （4）若 （5）若，则 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【习题7】因式分解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【习题8】因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【习题9】因式分解：（1） （2）（3） （4）（5）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【习题10】把下列各式因式分解：（1） （2） (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）