七年级春季数学培优讲义1：实数的概念与数的开方（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 实数的概念与数的开方 （尚孔教研院彭（尚孔教研院彭知识模块：知识模块：无理数的概念及特征无理数的概念及特征 1、概念：无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数与负无理数，如,3,2是正无理数，2,7,2是负无理数. 注：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括： 实数的概念与数的开方 开方开不尽的数，如33,7,2 ，. 有特定意义的数，如及含的数. 有一定结构的无限小数，如 1.010010001. 无限不循环小数. 2、无理数的特征： （1）无理数的小数部分是无限的. （2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分

2、数的形式 【例 1】写出下列各数中的无理数： 3.1415926，2，16，.0.5，0，23，0.1313313331（两个 1 之间依次多一个 3） ，0.2121121112 【答案】2、0.1313313331 【例 2】判断正误，在后面的括号里对的用“”，错的记“ ”表示 （1）无限小数都是无理数 （ ） （2）无理数都是无限小数 （ ） （3）带根号的数都是无理数 （ ） （4）不带根号的数一定不是无理数 （ ） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 知识模块：知识模块：实数的概念及分类实数的概念及分类 1、 有理数和无理数统称为实数 2. 按定义分类： 负无理数正无理数无

3、理数负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数 按大小分类： 负实数零正实数实数 【例 3】用“是” 、 “不是” 、 “统称” 、 “包括” 、 “叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数. (2) 0 有理数. (3) 无限不循环小数 无理数. (4) 实数 有理数和无理数. (5) 正整数、0 和负整数 为整数. (6) 有理数 有限小数或无限循环小数. 【答案】 （1）不是； （2）是； （3）叫做； （4）包括； （5）统称； （6）包括 【例 4】若 a+bx=c+dx（其中 a、b、c、d 为有理数，x 为无理数），则 a=c，b=d，反之， 亦成立，这种说法正

4、确吗?说明你的理由 【答案】移项得：acdb x， 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数， 而ac是有理数（两个有理数的差仍是有理数） ，忧伤0db，从而0ac， 于是有：acbd，当acbd，时，等式abxcdx成立 知识模块：数的开方知识模块：数的开方 （一）开平方（一）开平方 1. 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.用数学语言表达即为：若ax 2，则x叫做a的平方根. 2. 平方根的性质： （1）一个正数a的平方根有两个，它们两个互为相反数. （2）0 的平方根是 0. （3）负数没有平方根. 3. 平方根的表示方法： 一个正数a

5、的平方根有两个， 我们用a表示其中正的平方根， 读作“根号a”，负的平方根记为a，a的平方根合记为a.读作“正负根号下a”. 4. 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方. 注：被开方数可以是正数，也可以是 0. 5. 算术平方根 （1）算术平方根的定义：正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根.例如 16 的平方根是 4 和-4，其中 4 又叫做 16 的算术平方根. （2）0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，即00 . （3）当数a为非负数时，a表示a的算术平方根. （二）开立方（二）开立方 1. 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立

6、方根，也叫做三次方根.用数学式子表示为：若ax 3，则x叫做a的立方根或三次方根例:823，所以 2 叫做 8 的立方根. 2. 立方根的表示方法： 类似于平方根的表示方法， 数a的立方根我们用符号“3a”来表示， 读作“三次根号a”，a叫做被开方数，3 叫做根指数. 3. 立方根的性质： （1）正数有一个正的立方根. （2）负数有一个负的立方根. （3）0 的立方根是 0. （4）一个负数的立方根等于它的绝对值的立方根的相反数. 注：任何一个实数都有立方根，而且只有一个立方根. （三）（三）n次方根次方根 1. 定义：如果一个数的n次方（n是大于 1 的整数）等于a，那么这个数称做a的n次方

7、根.当n为奇数时，这个数为a的奇次方根.当n为偶数时，这个数为a的偶次方根.n次方根简称“方根”. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.开n次方根简称“开方”，“na”读作“n次根号”. 2. 性质： （1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“na”表示.其中被开方数a是任意一个实 数，根指数n是大于 1 的奇数. （2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“na”表示，负n次 方根用“na”表示.其中被开方数0a，根指数n是正偶数（当2n时，在na中省略n） （3）负数的偶次方根不存在 零的n次方根等于零，表示为00 n 【例 5】写出下列各数

8、的平方根： （1）9121； （2）2( 9) 【答案】（1）311； （2）3 【例 6】求值： （1）144； （2）2( 0.1)； （3）2( 4)； （4）2(11) 【答案】（1）12； （2）0.1 ； （3）4； （4）11 【例 7】根据开n次方根的意义，求下列x的值 （1）38(2)270 x； （2）6(2)64x 【答案】（1）因为32728x ， 所以322x ， 所以12x ； （2）由题可得：22x ，所以04xx 或 【例 8】写出下列各数的整数部分和小数部分： （1）65； （2）56 （3）913 【答案】（1）因为86465819，所以65的整数部分为 8

9、，小数部分为658； （2）因为74956648，所以56的整数部分为 7，小数部分为567； （3）因为3913164，所以59136， 所以913的整数部分为 5，小数部分为413 【例 9】（1）已知：x|4，y2149 且x0，y0，求xy的值； （2）43的整数部分为a，小数部分为b，求ba的值 【答案】（1）044xxx因为， 所以，又2110497yyy 因为，所以， 所以297xy； （2） 因为2433，所以 a=2，23b ，所以232ba 【例 10】填写下表，并回答问题： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 . 3a （1） 数 a 与它的立

10、方根3a的小数点的移动有何规律? （2） 根据这个规律，若已知330.005250.17381.738a，求 a 的值 【答案】（1）由题可知，被开方数a的小数点每向右或向左移动三位，立方根3a的小数点 相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：5.25a 【例 11】已知实数a满足2|2016|20172016aaaa， 求的值 【答案】2017 【例 12】设等式在()()a xaa yaxaay实数范围内成立，其中 a、x、y 是 两两不相等的实数，求22223xxyyxxyy的值 【答案】13 【例 13】阅读下面材料并完成填空： 你能比较两个数20162017和201

11、72016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化， 要比较 nn1和 （n1）n的大小（的整数） ，先从分析 n1，2，3，这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论. （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在横线上填“、”号 12 _21 ；23_32 ；34_43；45_54； 56_65； 67_76； 78_87 （2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出 nn1和（n1）n的大小关系: : _ （3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_20172016 【答案】（1）；： （2）当 n =1 或 2 时，nn12 的整数时，nn1（n1）n；

12、 （3） 【习题 1】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由： （1） 一个数的偶次方根总有两个； （ ） （2） 1 的奇次方根是1； （ ） （3） 497 ； （ ） （4） 2是 16 的四次方根； （ ） （5） a 的 n 次方根的个数只与 a 的正负有关 （ ） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【习题 2】3为什么是无理数?请说明理由 【答案】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3pq， 又因为 p、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数 把3pq两边平方，得223pq，即223qp 由于23q是 3 的倍数，则 p 必定是 3 的倍数

13、设3pm， 则2239qm， 同理 q 必然也是 3 的倍数，设3qn， 既然 p、q 都是 3 的倍数，它们必定有公因数 3，与前面假设pq是最简分数矛盾， 故3是无理数 【例 3】写出下列各数的正平方根： （1）225； （2）9 【答案】（1）15； （2）3 【习题 4】写出下列各数的立方根： （1）216； （2）0； （3）1； （4）3438； （5）27 【答案】（1）6； （2）0； （3）1； （4）72 ； （5）3 【习题 5】已知：31.732，305.477，利用以上结果，求下列各式的近似值 （1）300 _； （2）3000 _； （3）30000 _； （4）0

14、.3 _； （5）0.03 _； （6）0.003 _ 【答案】（1）30031001.732 1017.32； （2）3000301005.477 1054.77； （3）300003100001.732 100173.2； （4）0.3300.015.4770.10.5477； （5）0.0330.011.7320.10.1732； （6） 0.003300.00015.4770.010.05477 【习题 6】写出下列各数的整数部分和小数部分 （1）11； （2）5； （3）234 【答案】（1）因为3911164，所以11的整数部分为 3，小数部分为113； （2）因为24593，所以5的整数部分为 2，小数部分为52； （3）因为41623255，所以234的整数部分为 0，小数部分为234 【习题 7】已知, x y分别是43的整数部分和小数部分，求22xyy的值。 【答案】1 【习题 8】当 x0 时，求x+44x+233x的值. 【答案】0 【习题 9】已知2|2|235)abab（，求236ab的算术平方根 【答案】3 【习题 10】设x、y都是有理数，且满足方程11+()402332xy（），求xy的值 【答案】18