七年级春季数学培优讲义5：相交线（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 相交线 相交线 （知识模块：邻补角、对顶角知识模块：邻补角、对顶角 1邻补角：邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角 注意：邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质：对顶角及性质： （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：）性质：对顶角相等 注意：注意： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角 (2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公

2、共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 3. . 邻补角与对顶角对比：邻补角与对顶角对比： 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 两条直线相交形成的角； 有一个公共顶点； 没有公共边. 对顶角相等. 都是两条直线相交而成的角； 都有一个公共顶点； 都 是 成 对 出 现的. 有无公共边； 两直线相交时， 对顶角只有2 对；邻补角有4 对. 邻补角 两条直线相交而成； 有一个公共顶点； 有一条公共边. 邻补角互补. 【例 1】如图所示，其中 AB 是直线，是说明1 与2 是不是对顶角，为什么？ 【答案】根据对顶角的定义，四个图中的1 与2 都不是对顶角 【例 2】如图所

3、示，直线 EF 和直线 CD 相交于点 B,ABC=90，BF 平分ABD，求CBE,DBE 的度数. 【提示】几何计算一般从条件出发，结合学过的等量代换，等式性质， 以及一些几何性质 【答案】CBE=45 DBE=135 【例 3】如图所示：已知直线 a，b，c，d 是经过点 O 的四条直线，则图中共有几对对顶角？ 【答案】12 【提示】公式： 对顶角的对数=（所有标注的数字和-3直线条数）2 【例 4】试探索，当有 100 条直线相交于一点时，可得到几对对顶角？ 【答案】9900 【提示】公式： 当 n 条直线相交于一点时，可得到 n（n-1）对对顶角 （n 是大于 1 的整数） 【例 5

4、】如图所示：直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分BOD，若AOD：EOB=8:1，求AOC 的度数. 2121221（4）（3）（2）（1）BCDAFEdabc87654321bdac【答案】36 【例 6】如图所示：直线 EF、CD 相交于点 B，ABC=90， BF 平分ABD，将BFD 绕点 B 逆时针旋转 175，BF、BD 分别旋转至BF、BD，求ABF的度数. 【答案】140 【例 7】如图所示：直线 AB、CD 相交于点 O,ACCD 于点 C，若BOD=38，则A= . 【答案】52 知识模块：垂线知识模块：垂线 1垂线的定义：垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一

5、个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足 注意：注意： (1)记法：直线 a 与 b 垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： OCDABEBCDAFEFDOACDB90AOC判定性质CDAB 2垂线的画法：垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示) 注意：注

6、意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段 3垂线的性质：垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短 注意：注意： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ”实际上，连接直线外一点和直线上

7、各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 注意：注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2） 求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 【例 8】如图所示：已知点 O 在直线 AB 上，OM 平分AOC,ON 平分BOC，那么 OM 与 ON 有什么位置关系？为什么？ 【答案】互相垂直 ABCNMl1l2QPRBAOC 【例 9】填空：如图所示：COB=90.

8、 （1）直线 与直线 相交于点 D； （2）直线 直线 ，垂足为 ； （3）过点 C 有且只有 条直线与直线 AB 垂直. 【答案】 （1）AB CD（2）CE AB O （3）一 【例 10】按要求作图，并回答问题： （1）先画一个ABC,使得ABC90； （2）分别画出这个三角形各边上的高 AD、BE、CF； （3）在你所画的图形中，写出所有的垂线段； （4）通过测量，写出点 A 到直线 BC，点 B 到直线 AC,点 C 到直线 AB 的距离. 【答案】 （1） （2）如图 （3）共有 9 条，分别是：AD、BD、CD、BE、 AE、CE、AF、BF、CF （4）略 【例 11】 （1）

9、如图所示：12,ACl ABl ,垂足分别为点 A 和点 B,则点 A 到直线2l的距离是线段 的长度； （2）如图所示，,POOR OQPR,能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条 【答案】 （1）AB（2）5 CBAODEEFDCBA 【例 12】如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村庄. （1）设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时，距离村庄 N最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置（保留作图痕迹）. （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在公路 AB 的哪一段上距

10、离 M、N 两村庄都越来越近.在哪一段路上距离村庄 M 越来越远？（分别用文字描述你的结论，不必说明理由） 【答案】 （1）过点 M 作MPAB,垂足为 P, 过点 N 作NQAB,垂足为 Q,点 P、Q 就是要画的两点 （2）当汽车从 A 向 B 行驶时，在 AP 这段路上， 离两个村庄越来越近； 在 PQ 这段路上，离村庄 M 越来越远，离村庄 N 越来越近 知识模块：同位角、内错角、同旁内角知识模块：同位角、内错角、同旁内角 1. . “三线八角”模型“三线八角”模型 如图，直线 AB、CD 与直线 EF 相交(或者说两条直线 AB、CD 被第三条直线 EF 所截)，构成八个角，简称为“

11、三线八角” ，如图 1. 注意：注意： 两条直线 AB,CD 与同一条直线 EF 相交 “三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成 2. . 同位角、内错角、同旁内角的定义同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图 1， （1）同位角：像1 与5，这两个角分别在直线 AB、CD 的同一方，并且都在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像3 与5，这两个角都在直线 AB、CD 之间，并且在直线 EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像3 和6 都在直线 AB、CD 之间，并且在直线 EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁

12、内角. 注意：注意： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有 4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角 图 1 3、同位角、内错角、同旁内角位、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征置特征及形状特征 注意：注意：巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图 2 【例 13】如图所示：1 与B 是 角，A 与2 是 角，ACD 与 是内错角，BCD 与B 是

13、角，A 与B 是 角，ACE 与3 是 角. 【答案】同位 内错 A 同旁内 同旁内 邻补 【例 14】如图所示：若以 CD、AB 为被截的两条直线，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？321BADCEDCABFEG分别写出来. 【答案】 （1） 当 DC、 AB 被 FG 所截， 则出现同位角FDC 和DAB, CDA 和BAG,同旁内角ADC和DAB; （2）当 DC、AB 被 CA 所截，则出现内错角DCA 和CAB; （3）当 DC、AB 被 CE 所截，则出现内错角DCE 和CEB,同旁内角DCE 和AEC; （4）当 DC、AB 被 CB 所截，则出现同旁内角DCB 和CBA;

14、 【例 15】如图：在1、2、3、4、B 和D 中，指出哪些角是同位角、哪些角是内错角、哪些角是同旁内角？ 【答案】同位角有：B 与3；3 与D 内错角有：B 与1；1 与D 同旁内角有：B 与2；4 与D 【例 16】如图所示：直线 AB、AC、BC 两两相交于 A、B、C 三点，AD、BE 是两条射线，问图中的 10个角中， 指出哪些角是同位角、哪些角是内错角、哪些角是同旁内角？ 【答案】同位角有：1 与7；4 与10；5 与6；2 与8； 内错角有：1 与10；2 与6 同旁内角有：1 与6；2 与10 【例 17】 （1）两条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角? （2）三条直线相交，

15、有几对对顶角?有几对邻补角? （3）n 条直线两两相交，最多会形成多少对对顶角?几对邻补角?（不含平角） 【答案】（1）2 对，4 对；（2）最多有 6 对对顶角，12 对邻补角，最少有 4 对对顶角，8 对邻补角；（3）(1)n n对对顶角，2 (1)n n对邻补角 4321BFACDE10987654321CABED【习题 1】下列说法中正确的有（ ） 对顶角相等；相等的角是对顶角；若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 A B. C. D. 【答案】A 【习题 2】下列说法中不正确的是（ ） A两条直线相交，有四对角互为邻补角 B. 互为邻补角的

16、两个角之和为 180 C. 一个角的两个邻补角是对顶角 D. 如果两个角互为邻补角，那么在这两个角中，一个是钝角，一个是锐角 【答案】D 【习题 3】如图，A、O、D 在同一直线上，OCOE，BOC=DOE,则图中共有 个直角，它们是 . 【答案】三 AOB BOD COE 【习题 4】如图：ACBC ,CDAB,点 A 到 BC 的距离是线段 的长度，线段 BD 的长度是 点 到 的距离. 【答案】AC B CD 【习题 5】如果1 和2 有公共顶点，且1 的两边分别垂直于2 的两边，那么1 和2 的关系是 . 【答案】相等或互补 【习题 6】直线 k 垂直于直线l，点 A、点 B 在直线

17、k 上，且点 A 到直线l的距离是 3，点 B 到直线l的距离是 1，则 AB 中点到直线l的距离是 . 【答案】1 或 2 DABCDAECB【习题 7】如果两条直线被第三条直线所截，那么所形成的八个角中，共有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角. 【答案】4 2 2 【习题 8】如图：直线 ab 被直线 c 所截，1 与2 是 ，3 与4 是 ，3 与2是 .（填同位角内错角同旁内角） 【答案】同位角 同旁内角 内错角 【习题 9】如图：1 与2 可以看作直线 和直线 被直线 所截得的 角； 2 与B 可以看作直线 和直线 被直线 所截得的 角； 1 与B 可以看作直线 和直线 被直线 所

18、截得的 角； 【答案】AD BC DC 内错 DC BC AB 同位 AB CD BC 同旁内 【习题 10】如图：与EFC 构成内错角的是 ，与EFC 构成同旁内角的是 . 【答案】FCB, DEF, AEF ECF, FEC 【习题 11】1 与2 互为邻补角，1 比2 的 3 倍大 20.求1 与2 的度数？ 【答案】1=140 2=40 【习题 12】如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O,OE 平分AOD, AOC=100，求AOE 的度数？ 【答案】AOE=40 OABCDE423121ABCDABCFED 【习题 13】如图，直线 AB、CD 相交于点 O, 1=42，求1、2

19、、3 的度数？ 【答案】1=144 2=3=36 【习题 14】如图，已知1 的同旁内角等于 65，求1 的内错角的度数. 【答案】115 【习题 15】如图：写出所有与1 成同位角、内错角、同旁内角的角，并说明是由哪两条直线被哪条直线所截而形成的. 【答案】同位角：1 和AED,直线 CD、ED 被直线 AC 所截形成的 1 和B,直线 AB、AC 被直线 BD 所截形成的 内错角：1 和A,直线 AB、CD 被直线 AC 所截形成的 同旁内角：1 和D,直线 EC、ED 被直线 CD 所截形成的 1 和CED,直线 CD、ED 被直线 EC 所截形成的 321OCDAB1HGABCDEF1ABCDE