七年级春季数学培优讲义9：三角形的概念与性质（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 三角形的概念与性质 三角形的概念与性质 知识模块：知识模块：三角形的主要概念三角形的主要概念 （1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. （2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角. （3） 三角形的表示方法：三角形用符号“”表示，三角形 ABC 可记作“ABC”或“BCA”或“ACB”. （4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角. 【例

2、 1】如图所示： （1）图中共有 个三角形， 其中以线段 BC 为一边的三角形是 ， 以EAD 为一内角的三角形是 ； （2）在ABD 中，BAD 的对边是 ， 在ABE 中，ABE 的对边是 ； （3）AB 既是 中 的对边， 又是 中 的对边，还是 中 的对边. 【答案】 （1）8 BEC、BCD、ABC AED、AEC （2）BD AE （3）ABE AEB ABD ADB ABC ACB 知识模块知识模块：三角形的基本要素及基本性质三角形的基本要素及基本性质 三角形有三个顶点、三个角、三条边共九个要素. 1、三角形边与边的关系： （1）三角形中任意两边之和大于第三边； （2）三角形中任

3、意两边之差小于第三边； （3）直角三角形中，斜边大于直角边. 2、三角形角与角的关系： （1）三角形内角关系：三角形的内角和等于180 ABCDEGFEDCBAEDCBA（2）三角形的外角性质： 三角形的外角和等于360 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 3、 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性 【例 2】一个三角形的两边分别是 2 厘米和 9 厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为 厘米 【答案】9 【例 3】在一个三角形中，下列说法中错误的是（ ） A至少有两个锐角 B 最多能有两个钝角 C至多有一个直角 D 最多能有三个锐角

4、【答案】B 【例 4】如图，A=70，P 为ABC 角平分线的交点，求BPC. 【答案】BPC=125 【例 5】周长为 30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ 【答案】12 个 【例 6】三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度在下图中，E 位于线段 CA 上，D 位于线段 BE 上 （1）证明：AB+AEDB+DE； （2）证明：AB+ACDB+DC； （3）AB+BC+CA 与 2（DA+DB+DC）哪一个更大?证明你的结论； （4）AB+BC+CA 与 DA+DB+DC 哪一个更大?证明你的结论 【答案】（1）证明：ABAEBE， AB+AEDB+DE； （

5、2）DEECDC， 又ABAEDBDE， ABAEDEECDBDEDC 即ABAEECDBDC， AB+ACDB+DC； （3）DADBAB，DBDCBC，DADCAC， 2()DADBDCABBCCA （4）ABACDBDC，CACBDADB，BCBADCDA 三式分别左右相加，2()2()BCABCADADBDC， ABBCACDADBDC 知识模块：知识模块：三角形中的主要线段三角形中的主要线段 （1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）三角形的中线：联结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线

6、. （3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. （4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高. 注意：注意：三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三 角形） ，可以在外部（钝角三角形） ，也可以在三角形的边上（直角三角形）. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，三条中线交于三角形内部 一点，三条高线所在直线交于一点. 三角形的角平分线、中线、高线都是线段. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形. 【例 7】判断题： （1）三角形的三条高一定交于一点（ ） （2）三角形的三条中线一定交于三角形内一

7、点（ ） （3）三角形的三条角平分线一定交于三角内一点（ ） 【答案】（1），（2），（3） 【例 8】 （1）如果ABC 中，ACB900，CD 是 AB 边上的高，则与A 相等的角是_； （2）如果ABC 的一个外角等于 1500，且BC，则A_ 【答案】DCB；30或120 【例 9】如图，已知ABCACB和的平分线 BD、CE 相交于点50OA ， 则_BOC 【答案】115 知识模块：知识模块：三角形的分类三角形的分类 （1）按角来分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； （2）按边来分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形） ； 注：注：等边三角形（正三角形）是特殊的等腰三角形

8、. 【例 10】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25，则该三角形的一个底角 为（ ） A32.5 B57.5 C65或 57.5 D32.5或 57.5 【答案】D 【例 11】已知ABC的一个外角为 50则ABC一定是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D钝角三角形或锐角三角形 【答案】B 【例 12】如图， RtABC中， 90ACB ，DE 过点 C，且DEAB，若 55ACD ， 则B 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 【答案】A 【例 13】锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的14， 求所有满足此条件的锐角三角形三个角的度

9、数 【答案】2080 80、或21 75 84、 、或227088、 A B C D O E A B C D E 【例 14】 （1）如图 1ABC 中，ABC 和ACB 的角平分线相交于点 P，则有： _BPCA； （2）如图 2：ABC 中，ABC 的外角角平分线和ACB 的外角角平分线相交于点 P， 则有：_BPCA； （3）如图 3：ABC 中，ABC 和ACB 的外角角平分线相交于点 P，则有：_BPCA 【答案】1902BPCA，1902BPCA，12BPCA 【例 15】如图 1，A、B 为直线 a 上两点，A 在 B 的左侧，C 为直线 b 上的另一点， 且 ab，垂足为 o，

10、CDa，CD=2，OC=2 （1）求BCD 的面积； （2）如图 2，若BCO=BAC，作 AQ 平分BAC 交直线 b 于 P，交 BC 于 Q 求证：CPQ=CQP； M A B C P 图 1 A B C P 图 2 A B C P 图 3 N D （3）如图 3，若ADC=DAC，点 B 在直线 a 上 O 的右侧运动，ACB 的平分线交直线 AD 于 E，DFAC 交直线 b 于 F，FM 平分DFC 交 DE 于 M，2BCFDMFE 的值是否发生变化?证明你的结论 【答案】 （1）1122222BCDSCDOC （2）90OBCOCB， 90OACACO（垂直的意义） 又BCOB

11、AC （已知） ，OBCACO （等角的余角相等） 90ACOOCB（等量代换） 90CAQCQA（三角形内角和为 180 度） 90BAQOPA（垂直的意义） 又APOCPQ （对顶角相等） 90BAQCPQ（等量代换） AQ平分BAC BAQCAQ（角平分线的意义） CPQCQP（等式性质） （3）延长DC到H 180()DMFADCCDFMFD 180()DACACDMFC 1180()2DACCDFCFD 236022DMFDACCDFCFD b B C D O a 图 1 b 图 2 O A B C D E F b a M 图 3 D A B C O P Q a H 360290DA

12、CCDF 270(2)DACCDF 270180 90 2BCFDMFBCH BCHECBADCE DACE EACEE ， 又ECBACE ， 2BCHE ， 2BCFDMFE 2，即2BCFDMFE 的值不发生变化 【习题 1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，35cm B4cm，5cm，9cm C5cm，8cm，15cm D6cm，8cm，9cm 【答案】 【习题 2】如图，在ABC中，90C。，EF/AB，150 。，则B的度数为 （ ） A50。 B60。 C30。 D40。 【答案】D 【习题 3】如图，ABC 中，A70，B60，点 D 在 BC 的延长

13、线上，则ACD 等于（ ） A100 B120 C130 D150 【答案】C 【习题 4】如图，在ABC 中，BD，BE 分别是高和角平分线，点 F 在 CA 的延长线上， A B C D 1A B C E F 321EGFDCBATEDGHCBAFFHBE 交 BD 于 G，交 BC 于 H下列结论： DBE=F；2BEF=BAF+C；F=12（BAC-C） ； BGH=ABE+C，其中正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【习题 5】已知在三角形 ABC 中，1122ABC，则_B 【答案】72 【习题 6】如果ABC 中，AB=5，BC=10，则 AC 的取值范围是_ 【答案】5

14、15AC 【习题 7】 （1）在ABC中，AB=3，BC=7，则 AC 的取值范围是_； （2）已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边为整数，那么第三边长为_ 【答案】（1）410AC，（2）2 【习题 8】已知周长小于 15 的三角形三边长都是质数，且其中一边的长为 3，这样的三角形有多少个？ 【答案】5 个 【习题 9】如图，已知3=1+2，求证：A+B+C+D=180 【答案】过G作/ /GHEB， 则1EGH （两直线平行，内错角相等） 312EGHFGH （已知） 2FGH （等式性质） / /GHCF（内错角相等，两直线平行） / /BECF（平行的传递性） ABBMD

15、， CDANC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） H M N Q ABCDBMDANC （等式性质） / /BECF 180BMDANC（两直线平行，同旁内角互补） 180ABCDBMDANC （等量代换） 【习题 10】如图，已知/ /DEBCCDACB，是的平分线，7050BACB，求EDC 和BDC的度数 【答案】25，85 【习题 11】在ABC中，AD是高，AEBF、是角平分线，且相交于点 O， 5070BACC，求DACBOA、的度数 【答案】20，125 【习题 12】已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为 4，但不是最短边，这样的 三角形有多少个？ 【答案】8 个 【习题 13】如图， （1） 求A+B+C+D+E 的度数； A B C D E （2） 若CGE=，求A+B+C+D+E+F 的度数 【答案】180，2 F EDCBAGFEDCBA（1） （2） G N M