七年级春季数学培优讲义11：全等三角形的性质与判定一（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级初一上课时间 学 科数学课题名称 全等三角形的性质与判定（一）知识模块：概念1、全等三角形：（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.ABCDEF（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边如下图所示：已知：ABCDFE，A与D，B与F是对应顶点，则：(C与E是对应顶点)对应边有：AB与DF，AC与DE，BC与FE对应角有：2、全等三角形的数学语言：三角形ABC与三角形ABC全等，记作ABCABC，读作“三角形ABC全等于三角形ABC”3、全等三角形的性质：（1）全等三

2、角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等4、全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“”表示的双重含义：“”表示形状相同；“=”表示大小相等；（3） 表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；【例1】如果，则的对应边是_，的对应边是_ ，的对应角是_ ，的对应角是_两个三角形的周长_，两个三角形的面积_（填“”、“=”、“”） 如图，若，则对应结论； 中正确结论共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4如图所示，若ABE ACF，

3、且AB=5，AE=3，则EC的长为（ ）A2 B3 C4 D2.5【答案】，=，=；C；A. 【例2】如图，已知，且，求的度数.【答案】，又 【例3】如图，ABC ADE中，BAAE，BAC=30，AD=5，求BD的长【答案】由题意得：BAC=DAE=30，AB=AD，BAE=90，CAD=30，BAD=60，ABD是等边三角形故可得：BD=AD=5知识模块：全等三角形的判定如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记

4、为ASA如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等： 不全等：公理或推论（简写）三条边SSS两边一角两边夹角SAS两边与其中一边对角两角一边两角和夹边ASA两角与其中一角对边AAS三角1. 全等三角形的判定（一）尺规作图：已知，画一个，使并判断和是否全等 【例4】已知：如图，、四点在同一直线上，AB=DE，BF=EC，AC=DFADFCBE求证：；又知D=30，DEC=15，求CFB的度数【答案】AC=DF，即在和中，D=A D=A=30，DEC=ABF=15CFB=A+ABF=452. 全等三角形的判定（二

5、）尺规作图：已知，画一个，使并判断和是否全等 【例5】如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC求证：ABE CBD；若CAE=30，求BCD的度数 【答案】 ABC=90，D为AB延长线上一点， ABE=CBD=90 . 在ABE和CBD中, ABE CBD (SAS) AB=CB，ABC=90， CAB=45. 又 CAE=30， BAE =15. ABE CBD， BCD=BAE =15. 全等三角形的判定（三）尺规作图：已知，画一个，使并判断和是否全等 思考：若将改成呢？画出的和全等吗？【例6】已知，如图，点D在

6、边BC上，点E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求证：BC=DE 【答案】1=2=3BAC=DAE 又DFC=AFEC=E 在ABC和ADE中ABC ADE (AAS)BC=DE 为什么不能判定全等尺规作图：已知线段和角，求作，使得，这样的三角形有几个？ 【例7】请分别按给出的条件画（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？ ； ； ； ； ； ；【答案】只有所作的三角形不唯一知识模块：全等三角形的基本模型1、共边型 平移对称 (翻折) 【例8】如图，己知AC=BD，要使ABCDCB，则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可) 【答案】AC=

7、BD，BC是公共边，要使ABCDCB，需添加：AB=DC（SSS）或ACB=DBC（SAS）【例9】如图，已知AB=CD，BM=CM，AC=BD，说明AM=DM的理由ABCDM【答案】在和中， ， ，在和中， 2、共角型【例10】如图：点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使ABE ACD，需添加一个条件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）【答案】A=A，AE=AD添加：ADC=AEB（ASA），B=C（AAS），AB=AC（SAS），BDO=CEO（ASA）可得ABE ACD 故填：ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEOABCDEO【例11

8、】如图，CDAB于D，BEAC于E，OD=OE，说明AB=AC的理由【答案】， 在和中， ， ， 在和中， （A.S.A），（全等三角形的对应边相等）3、平行型【例12】如图，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF求证：ADE BFE【答案】ADBC，ADE=BFEE是AB的中点，AE=BE又AED=BEFADE BFE（AAS）4、垂直型【例13】如图，在ABC中，C=90，点D是AB边上的一点，DMAB，且AC=MD，过点M作MEBC交AB于点E求证：ABC MED【答案】MDAB，MDE=C=90MEBC，B=MED又AC=MDAB

9、C MED（AAS）【例14】如图，线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由；（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，试判断CMN的形状ABCDEQPABCDEMNPQ【答案】（1），（2）等边三角形 （1）等边三角形ABC和 等边三角形DCE， ， =60 ，即在和中， （S.A.S）， （全等三角形的对应边相等）； （2） ， M、N分别为BD、AE的中点， ， 在和中， （S.A.S）， CMN是等边三角形【习题1】下列说法中错误

10、的是（）A全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B全等三角形的公共边也是对应边C全等三角形的公共顶点是对应顶点D全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【答案】C【习题2】如图所示，分别沿着边翻折形成的，ABCDEP若123=2853，则的度数为（ ）A80 B100C60D45【答案】A【习题3】如图，已知AB=CD，AD=BC，说明A=C的理由ABCD【答案】证明：连接 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）【习题4】如图，已知BD是ABC的中线，B、D、E、F在一条直线上，且AECF，ABCDEF说明ADE与CDF全等的理由【答案】， BD是ABC的中线，

11、 在和中， （A.A.S）【习题5】如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，（1）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据_；（2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据_；（3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据_；（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF则ACEBDF，根据_ABCEDDF【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S【习题6】如图，ADAB，ACAE，且ADAB，ACAEABCDEF G试说明：DCBE，DCBE【答案】 ADAB，ACAE，（垂直的意义）（等式性质）在和中，（全等三角形的对应角相等，对

12、应边相等） 设BE与DC交于点F， ， （垂直的意义）【习题7】如图，已知ADBC，BFDE，AE=CFABCDEF（1） ADE与CBF全等吗，为什么?（2） 说明AB=CD的理由；（3） 图中有哪几对全等三角形?【答案】证明：（1）全等， ， ， 在和中， ， ； （2）， 在和中 ， （全等三角形的对应边相等）； （3）；【习题8】如图，已知ABBD，DEBD，AB=CD，BC=DE试说明：ACCE，若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC1C2E还成立吗?请说明理由ABCDEMABC2DEC1ABC1DEMABC2DEMC1MABC1DEC2【答案】证明：（1）， 在和中， ， ， 即（2）， ，