八年级数学暑假培优讲义：11：函数基础（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 函数基础 知识模块：知识模块：平面直角坐标系基础平面直角坐标系基础 1. .象限的划分：象限的划分： 函数基础 2. .垂直于坐标轴的直线垂直于坐标轴的直线：经过点 A（a,b)且垂直于 x 轴的直线可以表示为直线 x=,经过点 A(a,b)且垂直于 y 轴的直线可以表示为直线 y=b. 3. .点的坐标点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a 点对应 x 轴的数值 为横坐标，b 点对应 y 轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点点 A 的坐标的坐标，记作（a,b） 。 在直角坐标平面内，平行于 x

2、轴的直线上的两点1,A xy、2,B xy的距离12ABxx； 平行于 y 轴的直线上的两点1,C x y、2,D x y的距离12CDyy. 4. .点的平移点的平移 在平面直角坐标系中，(m0) 将点（x,y）向右平移 m 个单位长度，可以得到对应点（xm ，y） ； 将点（x,y）向左平移 m 个单位长度，可以得到对应点（xm，y） ； 将点（x,y）向上平移 m 个单位长度，可以得到对应点（x，ym） ； 将点（x,y）向下平移 m 个单位长度，可以得到对应点（x，ym） 。 5. .坐标平面图坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为 六个区

3、域：x 轴上，y 轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除 x 轴与 y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。 6. .在平面直角坐标系中对称点的特点：在平面直角坐标系中对称点的特点： 关于 x 成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。 （横同纵反） 关于 y 成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 （横反纵同） 关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。 （横纵皆反） 一般地，在直角坐标平面内，与点 M(x,y)关于 X 轴对称的点的坐标为（x,y);与点 M(x,y)关于 y 轴对称的点的

4、坐标为(-x,y). 一般地，在直角坐标平面内，与点 M(x,y)关于原点对称的点的坐标为（-x,-y)。 【例 1】经过点 P（1，5）且垂直于x轴的直线可以表示为直线_ 【答案】5y 【例 2】在直角坐标平面中，如果点 A 在第四象限内，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距 离为 4，那么点 A 的坐标是（ ） A （3，4） B （3，4） C （4，3） D （4，3） 【答案】C 【例 3】在平面直角坐标系中，点 P（3a，2）到两坐标轴的距离相等，那么 a 的值是_ 【答案】15或 【例 4】点 P（3，7） 、Q（5，7）之间的距离是_ 【答案】113 【例 5】如果点 M（

5、a+3，a+1）在直角坐标系的 x 轴上，那么点 M 的坐标为_ 【答案】2 , 0 【例 6】在平面直角坐标系中，将点 A（a，b）向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长 度，得到对应点 A1的坐标是_ 【答案】2 ,5ab 【例 7】在平面直角坐标系中，点 M（2，）向下平移 3 个单位到达点 N，则点 N 在第_ 象限 【答案】三 【例 8】如图，已知棋子“车”的坐标为（2，3） ，棋子“马”的坐标为（1，3） ，那么棋子“炮”的坐标为（ ） A、 （3，0） B、 （3，1） C、 （3，2） D、 （2，2） 【答案】C 【例 9】在平面直角坐标系中，点 P（m+1，m+

6、3）在 y 轴上，那么点 P 的坐标是_ 【答案】0 , 2 【例 10】已知点 A（1，2）与点 B（m，n）关于 y 轴对称，那么 m+n 的值等于 （ ） A3 B1 C1 D3 【答案】C 【例 11】在平面直角坐标系中，点 P（4，5）与点 Q（4，m+1）关于原点对称，那么 m=_ 【答案】6 【例 12】点 M（5，7）关于原点的对称点坐标为_ 【答案】5 , 7 知识点二：变量与函数知识点二：变量与函数 1. .变量与常量变量与常量 第 17 题图 在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数、函数：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如

7、果在变量x允许范围内，变量y随着的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数（function） ，叫做自变量(indepent vareable). 3、函数解析式：、函数解析式：表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式。 【例 13】在圆周长计算公式 C=2r 中，对半径不同的圆，变量有（ ） AC，r BC，r CC， DC，2，r 【答案】A 【例 14】圆的面积 S 与半径 R 的关系是_，其中常量是_，变量是_ 【答案】2SRSR、 【例 15】要画一个面积为 20cm2的长方形，其长为 xcm，宽为 ycm，在这一变化过程中，常量与变 量分别为（

8、） A常量为 20，变量为 x，y B常量为 20、y，变量为 x C常量为 20、x，变量为 y D常量为 x、y，变量为 20 【答案】A 【例 16】在三角形面积公式 S=，a=2cm 中，下列说法正确的是（ ） AS，a 是变量，是常量 BS，h 是变量，是常量 CS，h 是变量，是常量 DS，h，a 是变量，是常量 【答案】C 【例 17】据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出 100 滴水，每滴水约 0.05 毫升小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开 x 分钟后，水龙头滴水 y 毫升水，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ） Ay=0.05x By=5x Cy=

9、100 x Dy=0.05x+100 【答案】B 【例 18】已知等腰三角形的周长为 20cm，设底边长为 ycm，腰长为 xcm，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域。 【答案】202510yxx xx 【例 19】弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在 010 千克范围内） ，测得一弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体的质量 x（千克）有如下关系： x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 （1）此弹簧的原长度是_厘米； （2）物体每增加一千克重量弹簧伸长_厘米； （3）弹簧总长度 y（厘米）与所

10、挂物体的重量 x（千克）的函数关系式是_ 【答案】 （1）12（2）0.5（3）120.5yx 知识点三：函数的定义域与函数值知识点三：函数的定义域与函数值 1、定义域：函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域（、定义域：函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域（domain）. . 定义域取值确定常见方法： 解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为 0 的实数。来源:学科网 解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 （注意：在确定函数中自变量的取值

11、范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义） 2、函数值：、函数值：如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值a，变量的对应值叫做当ax时的函数值(value of a funtion). 【例 20】 函数 f（x）=的定义域是_ 【答案】2x 【例 21】函数的定义域是_ 【答案】2x 【例 22】函数的定义域是_ yxxy【答案】3x 【例 23】函数的定义域是_ 【答案】10 xx 且 【例 24】函数的定义域是_ 【答案】3x 【例 25】函数 y=中，自变量 x 的取值范围是_ 【答案】01xx且 【例 26】已知函数 f（x）=，则 f（）=_ 【答案】22 【

12、例 27】如果 f（x）=，那么 f（3）=_ 【答案】32 【例 28】如果 f（x）=，那么 f（2）=_ 【答案】32 【例 29】已知函数 f（x）=，求函数的定义域及 f（4） 【答案】 2644 2xf 【习题 1】 甲乙两地相距s千米， 某人走完全程所需的时间t（时） 与他的速度v（千米/时） 满足vts，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ） As是变量 Bt是变量 Cv是变量 Ds是常量 【答案】A 【习题 2】如图所示是用火柴棒拼成的图案，需用火柴棒的根数m随着拼成的正方形的个数n的变化而变化，在这个变化过程中，下列说法中错误的是（ ） Amn、都是变量 Bn是自变量，

13、m是函数 Cm是自变量，n是函数 Dm随着n的变化而变化 【答案】C 【习题 3】已知函数212xyx，当函数值为 1，则x的值是（ ） A1 B3 C1 D3 【答案】B 【习题 4】函数11yx的定义域是（ ） A1x B1x C1x D1x 【答案】B 【习题 5】在圆的周长公式2Cr中， 是常量， 是变量. 【答案】2 rC 【习题 6】已知5323yx ，则y= . 【答案】265x 【习题 7】市场上一种豆子的单价是 2 元/千克，豆子的销售额y（元）与所售豆子的重量x（千克）之间的函数解析式为 . 【答案】2yx 【习题 8】已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数解

14、析式是h= . 【答案】2Sa 【习题 9】一件商品原价 100 元，连续两次降价后（降价率相同） ，售价是y元，写出y与降价率x的函数解析式. 【答案】2100 1yx 【习题 10】若一组有x个人，相互赠送礼物，共赠送礼物y件，写出y与x的函数解析式. 【答案】1yx x 【习题 11】已知 2xf xx，则3f= ， 31xg xx，则3g = . 【答案】2 3332 3 【习题 12】若a表示某种水笔的单价，x表示该水笔的数量，y表示x支水笔的总价，则y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 . 【答案】0yaxx的整数 【习题 13】求下列函数的定义域： （1）234xyx （

15、2）122yx （3）21123yxxx （4）11yxx （5）0121yxx 【答案】 （1）32xx 且（2）26xx且（3）13xx且（4）1x （5）112xx 且 【习题 14】已知 11xf xx，求 1122+12fffff a、的值. 【答案】111021331aa 【习题 15】分别写出下列函数的解析式，并确定自变量的取值范围. （1）已知等腰三角形的周长为 30cm，求其一腰长y cm与底边长x cm的函数解析式； （2）已知等腰三角形的周长为 30cm，求底边长y cm与腰长x cm的函数解析式； （3）求等腰三角形底角y度与顶角x度的函数解析式； （4）求等腰三角形顶角y度与底角x度的函数解析式； 【答案】 （1）300152xyx（2）15302152yxx（3）18001802xyx（4）1802090yxx