八年级数学暑假培优讲义：12：正比例函数的图象与性质（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 正比例函数的图像与性质 知识模块：知识模块：正比例函数的定义正比例函数的定义 1.思考：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？ （1）圆的周长 L 随半径 r 的大小变化而变化。 （2）每个练习本的厚度为 0.5cm,一些练习本摞在一起总的厚度 h(单位：cm)随这些练习本 正比例函数的图像与性质 的本数 m 的变化而变化。 （3）冷冻一个 0的物体，使它每分下降 2，物体温度 T（单位：）随冷冻时间 m（单 位：分）的变化而变化。 2.观察发现，得出正比例函数的定义 一般地，形如一般地，形如 ykx ( (K 是常数、

2、是常数、k0) ) 的函数，叫正比例函数，其中的函数，叫正比例函数，其中 k 叫做比例系数。叫做比例系数。 强调两点：强调两点：k0( (即自变量系数不为即自变量系数不为 0) ) x 的指数为的指数为 1 【例 1】下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A从甲地到乙地，所用的时间和速度 B正方形的面积与边长 C买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量 D人的体重与身高 【答案】C 【例 2】下列关系式中，表示 y 是 x 的正比例函数的是（ ） Ay= By=1 Cy=x+1 Dy=2x 【答案】B 【例 3】若函数 y=（4m1）x+m4 是正比例函数，则 m 的取值范围是（ ） Am=4

3、B Cm4 D 【答案】A 【例 4】已知函数 y=2x2a+2b 是正比例函数，则 a+b=_ 【答案】12 知识模块：知识模块：正比例函数的图像正比例函数的图像 1. .（1）列表）列表 （2）描点）描点 （3）连线）连线 2. .正比例函数的图像正比例函数的图像 根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象 正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线。 【例 5】画出 y-3x 的图像 【答案】省略 【例6】在平面直角坐标系中，正比例函数 y=-x 的图象的大体位置是（ ） A B C D 【答案】B 知识模块：知识模块：正比例函数的性质正比例函数的性

4、质 当 k0 时，直线 y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x的增大而增大； 当 k0 时，直线 y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x的增大而减小 【例 7】 已知正比例函数 y=（5m3）x，如果 y 随着 x 的增大而减小，那么 m 的取值范围 为_ 【答案】35m 【例 8】如果点 A（1，2）在一个正比例函数 y=f（x）的图象上，那么 y 随着 x 的增大而_ （填“增大”或“减小” ） 【答案】减小 【例 9】正比例函数 y=（2a1）x 的图象经过第二、四象限，那么 a 的取值范围是_ 【答案】12a （第 1 题） k0 （第 1 题） k

5、0 【例 10】如果正比例函数 y=（k3）x 的图象经过第一、三象限，那么 k 的取值范围是_ 【答案】3k 【例 11】正比例函数 y=kx 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck1 Dk1 【答案】A 【例 12】关于函数 y=2x，下列结论中正确的是（ ） A函数图象都经过点（2，1） B函数图象都经过第二、四象限 Cy 随 x 的增大而增大 D不论 x 取何值，总有 y0 【答案】C 【例 13】下列关于正比例函数 y=3x 的说法中，正确的是（ ） A当 x=3 时，y=1 B它的图象是一条过原点的直线 Cy 随 x 的增大而减小 D它的图象经过第二、四象

6、限 【答案】B 知识模块：知识模块：用待定系数法求正比例函数用待定系数法求正比例函数 待定系数法：先设代求函数关系式，在根据条件列方程或方程组，求出未知系数，从而得 到所求结果的方法。 【例 14】已知正比例函数图象上的点到 x 轴的距离与到 y 轴距离的比为 2：3，则函数的解析式 为_【答案】23yx或23yx 【例 15】正比例函数 y=kx（k0）中，如果自变量 x 增加 2，那么 y 的值增加 8，则 k 的值是_ 【答案】4 【例 16】已知正比例函数 y=kx（k0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2） ，求这个正比 例函数的解析式 【答案】2yx 【例 17】已知：如图

7、，正比例函数的图象经过点 P 和点 Q（m，m+3） ，求 m 的值 【答案】1m 【例 18】已知 y-1 与 x+1 成正比例，且当 x=-2 时，y=-1，则当 x=-5 时，y 的值是多少? 【答案】13 【例 19】已知 y=y1+y2，其中 y1与 x 成正比例，y2与 x2 成正比例当 x=1 时，y=2；当 x=3 时， y=2求 y 与 x 的函数关系式，并画出该函数的图象 【答案】1yx 【例 20】已知正比例函数 y=kx 经过点 A，点 A 在第四象限，过点 A 作 AHx 轴，垂 足为点 H，点 A 的横坐标为 3，且AOH 的面积为 3 （1）求正比例函数的解析式；

8、 （2）在 x 轴上能否找到一点 P，使AOP 的面积为 5？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】 （1）23yx （2）5,0或5,0 【例 21】已知，正比例函数的图象经过点（2，1） （1）求这个正比例函数的解析式； （2）点 A 在函数图象上，过 A 作 ABx 轴，垂足为 B，若 SAOB=4，求点 A 的坐标 【答案】 （1）12yx （2）4,2或4,2 【习题 1】若函数414ymxm是正比例函数，则m的取值范围是（ ） A4m B14m C4m D14m 【答案】A 【习题 2】若2342tyt x是正比例函数，则t的值为（ ） A2t B2t C2t

9、D3t 【答案】C 【习题 3】下列各点中可能不在正比例函数10yx kk图像上的是（ ） A0,0 B1,k C,1k D11,k 【答案】B 【习题 4】下列函数的图像与函数2yx的图像关于x轴对称的是（ ） A2yx B2yx C12yx D12yx 【答案】B 【习题 5】在下列函数图像中，表示函数0ykx k的图像的是（ ） A B C D 【答案】A 【习题 6】如果函数ykx图像经过点1,3，那么5ykx的图像经过（ ） A一、三 B二、四 C一、二 D三、四 【答案】B 【习题 7】已知11,xy和22,xy是直线3yx 上的两点，且12xx，则1y与2y的大小关系是（ ） A

10、12yy B12yy C12yy D以上都有可能 【答案】B 【习题 8】正比例函数0ykx k的图像是_，其中k叫做_ 【答案】经过 0,01,k、的一条直线 比例系数 【习题 9】已知正比例函数ykx，当自变量x的值为4时，函数值20y ，则比例系数k= . 【答案】5 【习题 10】若y是x的正比例函数，当3x 时，6y ，则该正比例函数的解析式是 . 【答案】2 3yx 【习题 11】若,31P aa在直线3xy 上，则a_ 【答案】38 【习题 12】已知y与1x成正比例，当4x时，12y . （1）写出y与x之间的函数关系式； xyxyxyxyOOOO （2）当2x时，求函数值y；

11、 （3）当20y 时，求自变量x的值. 【答案】 （1）41yx（2）12y （3）4x 【习题 13】已知变量y与x成正比例，且当4x时，2y （1）写出y与x的函数解析式 （2）求当5x 时，y的值 （3）求当10y 时，x的值 （4）如果26x ，画出函数图像，求y的取值范围 【答案】 （1）12yx（2）52y （3）20 x（4）图略 【习题 14】在函数3yx 的图像上，取一点P，过P点作PAx轴，A 为垂足，已知P点的横坐标是2，求POA的面积（O为坐标原点） 【答案】6 【习题 15】已知点3,Ab、点11,2B都在ykx的图像上，求b的值，并判断点2, 1是否也在这个函数图像

12、上. 【答案】32b 点2 ,1在此函数的图像上 【习题 16】已知 23132kkf xkx 是正比例函数，求函数 f x的解析式及12f. 【答案】 15522f xxf 【习题 17】已知正比例函数ykx经过点A，点A在第四象限，过A作AHx轴，垂足为H，点A横坐标为3，3AOHS. （1）求此正比例函数的解析式. （2）在x轴上能否找到一点P使5AOPS，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）23yx （2）125,05,0PP 【习题 18】 已知正比例函数3yx图像上点P的横坐标为2， 点P关于x轴、y轴的对称点分别为1P与2P. （1）试求出点P、1P、2P坐标. （2） 若正比例函数1yk x的图像经过点1P， 若正比例函数2yk x的图像经过点2P， 试求12kk、的值. （3） 由 （2） 你能得出怎样的结论？这个结论在将 “正比例函数3yx” 的条件改为 “正比例函数ykx”时是否仍成立？ 【答案】 （1）122,62,62,6PPP（2）1233kk （3）成立