八年级数学暑假培优讲义：17：几何证明基础1（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 几何证明基础（1） 几何证明基础（1） FEDCBACBA知识模块：知识模块：演绎证明的概念演绎证明的概念 1、演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推 导出某结论为正确的过程。演绎证明就是常说的“证明” ，是一种严格的数学说理，核心 是由因导果，言必有据。 2、证明一个几何问题的方法常用综合法或分析法。 3、综合法：由题设逐步推导到结论的一种证明方法。 若 A 则 N,ABCDE.MN. 4、分析法：由结论逐步追溯到题设的一种方法。分析法容易找到思路，然后改用综合法写 出证明。 【例 1】

2、课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实 （1）叙述三角形全等的判定方法中的推论 AAS； （2）证明推论 AAS 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据 【例 2】 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程 命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”） 已知：如图，_ 求证：_ CBAOFEDCBA证明： 知识模块：知识模块：定义、命题、真假命题的概念定义、命题、真假命题的概念 1、定义：能界定某个对象含义的句子叫做定义。 2判断一件事情的

3、句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题 叫做假命题 3数学命题通常由题设、结论两部分组成。 4命题可以写成“如果那么”的形式， “如果”是题设， “那么”是结论。 5、有些命题表述简洁，经分析才能找到题设和结论。 6、真命题、假命题的证明（反例） 。 【例3】下列命题中，为真命题的是（ ） A对顶角相等 B同位角相等 C若22ab，则ab D若ab，则22ab 【答案】A 【例4】 已知线段AC与BD相交于点O， 连接ABDC、，E为OB的中点，F为OC的中点， 连接EF（如图所示） （1）添加条件AD ，OEFOFE，求证：ABDC （2）分别将“AD ”记为， “O

4、EFOFE”记为， “ABDC”记为，若添加条件、，以为结论构成另一个命题，则该命题是_命题（选择“真”或“假”填入空格，不必证明） 【答案】真 知识模块：知识模块：公理和定理的概念公理和定理的概念 1.公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理（判断真假命题原始依据） 。 2.定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的、并进一步作为判断其他命题 真假的依据的真命题。 EDCBAC1A1CBA知识模块：知识模块：证明中的分析证明中的分析 1.分析的过程：执果索因。一般来说，分析的过程不必在证明中表达。 2.证明步骤： （1)仔细审题 （2）探索证明方法：从头到尾，从尾到头，从两

5、头到中间。 （3）写出证明过程。 【例 5】 如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点， 以CD为边作等边三角形CDE， 使点EA、在直线DC的同侧，连接AE求证：/AEBC 【答案】略 【例 6】如图，将一个钝角ABC（其中120ABC）绕点B顺时针旋转得111ABC，使得C点落在AB的延长线上的点1C处，连接1AA （1）写出旋转角的度数； （2）求证：11AACC 【答案】 （1）60（2）略 知识模块：知识模块：几何证明常用方法几何证明常用方法 1.证两线平行:利用平行线性质和判定。 2.证两线段相等：利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 （1）两个三角形中，证全

6、等；不全等，构造全等（辅助线：平行线、垂线、连接线段） （2）一个三角形中，证对角相等； （3）证明两线段等于第三线段（媒介） 。 FEDCBAFEDEDCBAABC3.证两角相等：三角形全等性质与判定、平行线性质、等腰三角形性质和判定。 4.证两直线互相垂直：垂直定义（90 度） 、直角三角形两角互余等腰三角形三线合一。 5.证一线段等于另一线段的两倍(或一半)：倍长、截取等方法，常需辅助线。 1. .证两线平行证两线平行 【例 7】如图，已知30B ，55BCD，45CDE，20E ，求证：/ABCD 【答案】略 2. .证两线相等证两线相等 【例8】如图，在ABC中，AD平分BAC，BE

7、AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且/EFAC求证：点F是AB的中点 【答案】略 【例 9】如图 1，在ABC中，ABAC，点D是 BC 的中点，点E在AD上 （1）求证：BECE； （2）如图 2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，45BAC，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 【答案】略 EDCBAEDCBANMDECBA 3. .倍长中线倍长中线 【例10】如图，点E是BC中点，BAECDE，求证：ABCD 【答案】略 【例11】如图，在ABC中，CDAB，BADBDA ，AE是BD边的中线.求证：2ACAE 【答案】略 4. .截长补短截长补短 【例 12

8、】 如图，/AMBN , MAB与NBA的平分线交于点E， 过点E的直线交AM于D， 交BN于C,求证： （1）DECE;（2）ADBCAB 【答案】略 FEDABCDABC 【习题 1】下列命题是真命题的是（ ） A相等的角是对顶角 B全等三角形的对应角相等 C如果21x 那么1x D4是无理数 【答案】B 【习题 2】下列命题中，属于真命题的是（ ） A相等的两个角是对顶角 B三角形的一个外角等于它的两个内角和 C互补的两个角不一定相等 D有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形 【答案】C 【习题 3】下列命题中，假命题是（ ） A有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B

9、有三边对应相等的两个三角形全等 C有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 D有两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【习题 4】如图，ABC中，D是BC的中点，过点D的直线交AB于E， 交AC的延长线于F ，且BECF.求证：AEAF 【答案】略 【习题5】如图，ABC中，2ABAC，AD平分BAC，且ADBD，求证：CDAC 【答案】略 FEDABCDEABC 【习题 6】如图，已知ABC为等腰三角形，ACBC, 90C，点D在AC上，BDAE ,垂足为E ,且2BDAE.求证：ABEEBF 【答案】略 【习题 7】如图，在ABC中，BDCE、相交于点O，12DBCBCE

10、A .求证：BECD. 【答案】略 图3图2图1FmEDCBAABCDEmmEDCBA 【习题8】如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N求证：AMAN 【答案】略 【习题9】 （1）如图（1） ，已知：在ABC中，90BAC，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点DE、证明：DEBD CE （2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，DA E、 、三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC， 其中为任意锐角或钝角 请问结论DEBD CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展与应用：如图（3） ，DE、是DA E、 、三点所在直线m上的两动点（DA E、 、三点互不重合） ，点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BDCE、，若BDAAECBAC，试判断DEF的形状 【答案】 （1）略（2）成立（3）等边三角形