八年级数学暑假培优讲义3：二次根式的运算（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 二次根式的运算 知识模块：知识模块：二次根式的加减二次根式的加减 想一想：想一想：怎样计算23285022aaaaaa？ 【答案】21(25) 222aaaa 1、二次根式的加法和减法 合并同类项：整式的加减 合并同类二次根式：二次根式的加减 二次根式的运算 2、二次根式相加减的一般过程： （1）_ （2）_ 总结：总结：答案：先把各个二次根式化成最答案：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并简二次根式，再把同类二次根式分别合并. . 【例 1】二次根式32 ,27 , 125 , 4 25 , 2 8 ,

2、 18 , 12 , 15中，与2是同类二次根式的是 ，与3是同类二次根式的是 ，与5是同类二次根式的是 . 【答案】32 , 2 8 , 18 27 ,12 125 , 4 25 【例 2】3 25 87 18xxx 【答案】14 2x 【例 3】0 xyxyxyxyxy 【答案】22222xxyxy 【例 4】先化简，再求值：22222+11aab babab，其中21,21ab. 【答案】24 【例 5】已知224+46100 xyxy，求22321953xyxxyxxyxx的值. 【答案】23 64 知识模块：二次根式的乘除知识模块：二次根式的乘除 问题问题 1 将一个正方形分割成面积

3、分别为（平方单位）和（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求每个长方形的面积。来源:学科网 ZXXK来源:学。科。网 【答案】2s 问题问题 2 探索：如果圆的面积与正方形的面积相等，那么圆的周长与正方形的周长之比的比值是多少？ 【答案】2 1、二次根式乘法法则：_ 2、二次根式除法法则：_ 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变 注意：注意：abab，aabb，_。 二次根式相乘除相乘除的结果的结果必须化为最简二次根式最简二次根式。 【例 6】计算 （1）； （2）； （3）； 【答案】 （1）8 6（2）2b a（3）2abc c 【例 7

4、】计算 （1）； （2）； （3）； s2s12324abb22abcabc23ab23610uu v22(0)aba cb c ab （4）； （5）； 【答案】 （1）63abb（2）155uvuv（3）c abc ab（4）a abab（5）22ab 【例 8】在面积为a3的正方形中，截得直角三角形的面积为a22，求BE的长。 【答案】63a 【例 9】设x、y为实数，11 4412yxx ，求22xyxyyxyx的值。 【答案】11,42xy，原式=2 【例 10】计算：1111(2 51)()12233499100 【答案】18 59 aab2222 (0)abab abABCDAB

5、EEDCBA 【例 11】化简：2aabbabaabaabbabbab 【答案】 211222221aabbbabababbaaaabba babababaaabbbababababab 知识模块：分母有理化知识模块：分母有理化 分母有理化：分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号。通用技巧：加减连接（根号）用平方差，根号盖帽（加减）用完全平方。 【例 12】 （1）有这样一个问题： 2与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A. 3 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 32 E. 0 问题的答案是（只需填字母） ：

6、_。 （2）如果一个数与 2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么？（用代数式表示） 。 【答案】 （1）A、D、E； （2）（a 为有理数） 。 【例 13】计算下列式子： （1） （3 2 48） （ 184 3） ； （2） （5 6） （5 22 3） ； （3） （x2 xyy） （ x y） ； （4） 2a)23)(36(23346 【答案】 （1）原式（ 32 2 48） （ 18 42 3） （ 18 48） （ 18 48） （ 18）2（ 48）2 184830； （2）原式（5 6）5 2（ 2）2 3 （5 6） 2（5 6） 2（5 6） （5 6） 2（25

7、6）19 2； （3）原式（ x）22 xy（ y）2x y x y。 （4）原式 备注：备注：二次根式的运算主要的技巧有下列几种方法： （1）巧移因式，避繁就简； （2）巧提公因数，化难为易； （3）巧配方； （4）分式拆分。 【例 14】当 x1时，求的值 【答案】12 【例 15】已知 x2323，y2323，求32234232yxyxyxxyx的值 【答案】265 【例 16】比较下列各组数的大小： 633( 32)( 63)( 32)633( 32)( 63)( 32)( 63)( 32)13326332636222222axxaxx222222axxxaxx221ax （1）； （

8、2）； （3）； （4） ； （5）13141213与 【答案】 （1）2 53 3（2）2 133 6 （3）5112（4）511610 （5）13121413 备注：比较二次根式大小常用方法的有：平方法、作差法、倒数法。 【习题 1】下列各式：3 336 3；1717；2682 2242 23，其中正确的有 .（填序号） 【答案】 【习题 2】计算：3 85 32= . 【答案】14 2 【习题 3】计算：12718123= . 【答案】32 【习题 4】计算：4148013 +45555= . 【答案】55 【习题 5】计算： （1）44 55 15 = . （2）6 27xxyy= .

9、 【答案】43 【答案】18 3y 3352与63132与1215与106115与 （3）2312872xyx y = . （4）24182mnm n= . 【答案】3xyx 【答案】26mnmn 【习题 6】分母有理化： （1）118m= . （2）0 xyxyxy= . 【答案】26mm 【答案】22xyxy （3）xyxy= . （4）275aaa= . 【答案】 xy 【答案】75aa 【习题 7】计算下列各题： （1）182427 （2）3540,0aba bab 【答案】108 【答案】220a b （3）1212324 13535 （4）41182 85433 【答案】10 2

10、【答案】66 【习题 8】计算下列各题： （1） 132+ 322724 【答案】11 3244 （2） 111243+4 0.583 【答案】32 （3）2mnmnmn （4）1111xxxx 【答案】mn 【答案】21xx 【习题 9】先化简，再求值：115+484152xxxx，其中7x. 【答案】53 【习题 10】222223333022mnmnaaaamn 【答案】 6a 【习题 11】化简：113232 【答案】2 3 【习题 12】解方程：22 22 3x 【答案】162x 【习题 13】若xy、为实数，且22442xxyx，求xyxy的值. 【答案】3 74 【习题 14】已知9966xxxx，且x为偶数，求225411xxxx的值. 【答案】6 【习题 15】已知：225xbaab，化简1111xxxxxxxx ，并求值. 【答案】22 【习题 16】计算：11112 51.12233499100 【答案】18 59