八年级数学暑假培优讲义6：一元二次方程的概念和解法1（教师版）

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一元二次方程的概念和解法（1） 一元二次方程的概念和解法（1） 知识模块：知识模块：一元二次方程的概念一元二次方程的概念 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程（都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程）叫做一元二次方程。如02-2x，0124-2xx，0-2xx等都是一元二次方程。 2、说明： （1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2”这句话，是指对方程“整理合并整理合并”之后而言的。由一元二次方程的概念可知，只有同时满足三个条件：方程两边都是关于未知数的

2、整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2，这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。 （2）判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程整式方程，再看其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2”. 【例 1】下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A11xx B112xxx x C20 x D3220 xx 【答案】C 【例 2】下列方程中，一元二次方程有（ ） 2320 xx；22340 xxy；214xx；21x ；2303xx A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】B 知识模块：知识模块：

3、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 1、任何一个关于x的一元二次方程都可以化成0)acb,(a,02是常数，cbxax，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中cbxax,2分别叫做二次项、一次项、和常数项。ba,分别叫做二次项系数和一次项系数。 2、说明： （1）0a是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分， 因为方程02cbxax，只有当0a时才叫做一元二次方程，反之，如果明确指出方程02cbxax是一元二次方程，那就隐含了0a这个条件，即是说方程中含有字母系数的2x项，且出现“关于x的方程”这样的语句，就要对方程中的字母进行讨论，这一点很重要，它是重要的考点之一。 （2）任何一

4、个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）都可化成一元二次方程的一般形式，但需指出的是一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的，所以即使题目没有指出先把方程化成一般形式，只要求写出方程的项和某一项系数，解题时也要把一元二次方程化成一般式一元二次方程化成一般式。 （3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数，它们都包含前面的符号， 如24320 xx， 二次项为24x， 二次项系数为 4，一次项为3x，一次项系数为3，常数项为2。 【例 3】在下列方程中，整理后是一元二次方程的是（ ） A23231xxx B2240 xx

5、C210 x x D2131xx 【答案】B 【例 4】一元二次方程23410 xx 的二次项系数与一次项分别是（ ） A3，4 B3，4 C3，4x D3，4x 【答案】C 【例 5】方程222320mmxm x是一元二次方程，则m_ 【答案】2 知识模块：知识模块：一元二次方程的解一元二次方程的解 能使一元二次方程左、右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程解。 【例 6】关于x的一元二次方程225250 xxpp的一个根为 1，则实数 p 的值是（ ） A4 B0 或 2 C1 D1 【答案】C 【例 7】若一元二次方程200axbxca 的一个根为1，则 a、b、c 满足_ 【答案】

6、0a bc 【例 8】已知m是方程210 xx 的一个根，则代数式2mm的值等于（ ） A1 B0 C1 D2 【答案】A 知识模块：知识模块：直接开平方法直接开平方法 1.具有（axb）2c（a0，c0，a，b，c 为常数）这样结构特点的一元二次方程适 用于直接开平方法 2.一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实 数解如：（axb）2=c（a0，a，b，c 常数），当 c0 时，有两个不等的实数解， c0 时，有两个相等的实数解，c0 时无实数解 3.两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解可以说： 利用平方根的概念，通过两边开平方

7、，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转 化的思想 【例 9】 （1）.方程2160 x 的解为_ （2） 方程223x的根是_ （3） 方程4210 x 的根是_ 【答案】 （1）4（2）122323xx（3）45 【例 10】（1）解关于x的方程：221 11bxxb （2）解方程：21232503x （3）解关于x的方程22261axxa 【答案】 （1）当1b时，221bxb ；当1b时，无实数根 （2）35 32x（3）当1a 时，2 221axa ；当1a 时，无实数根 知识模块：知识模块：因式分解法因式分解法 1.利用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法（主要复习

8、十字相乘法因式分解） 。 2.理论依据：. 00, 0.BABA或得到 3.步骤：化为一般形式；因式分解；得到两个一元一次方程；解方程。注意：先观察形式。 【例 11】 （1）012 x （2）01622 )(x 思考：对于上面的方程我们还有其他的解法吗？ 【答案】 （1）1211xx （2）1262xx 【例 12】 （1）210tt （2）1310 x xx （3）282xx （4）2760 xx 【答案】 （1）1221tt （2）1213xx （3）124 3 24 3 2xx （4）1216xx 【例 13】 （1）解方程：28x x （2）解方程：383423x xx 【答案】 （

9、1）1242xx（2）12243xx 【例 14】已知2220 xxyy，且0,0 xy，求代数式22225252yxyxyxyx的值 【答案】3013或 【习题 1】若关于x的方程20axbxc是一元二次方程，则必须具备的条件是（ ） A0a Bab c， ，都不为零 C00bc， Dab c， ，都是实数 【答案】A 【习题2】已知21230mxmx ，当m为_时，不是一元二次方程（ ） A1 B-1 C1 D全体实数 【答案】A 【习题 3】关于x的一元二次方程22(2)340mxxm有一个解是0，那么m_ 【答案】2 【习题 4】当_时，20axbxc是一元二次方程 【答案】0a 【习

10、题 5】方程3115xx的一次项系数是_ 【答案】2 【习题 6】关于 x 的一元二次方程222340mxxm有一个根是 0，则m的值为（ ） A2m B2m C22m 或 D0m 【答案】B 【习题 7】若方程2231kxxx是一元二次方程，则k的取值范围是_ 【答案】3k 【习题 8】当方程211120mmxmx是一元二次方程时，m的值为_ 【答案】1 【习题 9】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？试说明理由。 （1）9322 yx （2）yyx22232 （3）xxx23)(x3- ）（ （4）210 xx （5）21-12-xxx （6）)b(a, 02为已知数bxax 【答案】 （4） 【习题 10】用开平方法解下列方程 （1）22810 x （2) 232490 x （3）21421505x 【答案】 （1）12117xx （2）1252xx （3）1245 345 322xx 【习题 11】用因式分解法解下列方程 （1）) 1( 3) 1(22xx （2） 032 xx （3）23 49230 xx （4）112134x xxx 【答案】 （1）12112xx （2）12103xx （3）123423xx （4）1232xx