8.2立体图形的直观图 学案(教师版)
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1、8.2 立体图形的直观图 【知识点梳理】知识点一:用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴, 两轴相交于点O,且使xOy45(或135),它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来地一半.知识点诠释:用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出一般情况下,这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定,当原图中无需线
2、段时,需要作辅助线段知识点二:用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可(2)画z轴,z轴过点O,且与x轴的夹角为90,并画出高线(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图(3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示知识点三:斜二测画法保留了原图形中的三个性质 平行性不变,即在原图中平行的线在直观图中仍然平行;共点性不变,即在原图中相交的直线仍然相交;平行于x,z轴的长度不变【典型例题】类型一 水平放置的平面图形直观图的画法例1(2021全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定),并由此探寻直观图面积与原图形面积之
3、间的关系.(1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形【解析】(1)解:根据斜二测画法的规则,可得:设,则,直观图中边边上的高为,因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.(2)解:根据斜二测画法的规则,可得:设,则,直观图中边边上的高为,因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.(3)解:根据斜二测画法的规则,可得:设,则,直观图中边边上的高为,因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.(4)解:根据斜二测画法的规则,可得:设,则,的边边上的高为,所以,同理可得,设五边形的面积为,直观图五边形的面积为,则.解题技巧(画水平放置的平面图形的直观图的注意事项) 在画水平放置的平面
4、图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段例2(2021全国高一课时练习)如图,已知点,,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图,并求出面积.【详解】由斜二测画法可知,在直观图中,所以.例3(2022全国高一)用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.【详解】解:(1)画,轴,使,在轴上截取,在轴上截取过作轴的平行线,且取线段长度为2,连接,则四边形的直观图即为四边形;(2)画,轴,使,在轴上截取,在轴过、分别作的平行线,与在轴上过作轴的平行线分别交于,连接,
5、则四边形的直观图即为四边形类型二 几何体的直观图画法例4.(2022全国高一)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图【详解】【解】(1)画轴如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy45,xOz90.(2)画下底面以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF6,在y轴上取线段GH,使得GH3,再过G,H分别作AB綊EF,CD綊EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图(3)画上底面在z轴上截取线段OO14,过O1作O1xOx,O1yOy,使xO1y45,建立坐标系xO1y,在
6、xO1y中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图)解题技巧: (画空间几何体的直观图的注意事项)(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy45(或135),它们确定的平面表示水平面,再作z轴与平面xOy垂直(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来的一半(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变例5(2022全国高一)画底
7、面边长为2cm,高为3cm的正四棱柱的直观图【详解】例6(2021全国高二课时练习)用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.【详解】分两个步骤完成:(1)先画出水平放置的边长为的正三角形的直观图:1在正三角形中,设的中点为,取中心为原点,过且与平行的直线为轴,以为轴建立直角坐标系,如图:,则,2作出斜坐标系,使, 在轴正半轴上取使,在轴负半轴上取点,使,过作轴的平行线,使得,连,则三角形就是水平放置的边长为的正三角形的直观图,如图:(2)过作轴,在轴正半轴上取点,使,连,可得各棱长都为5的正三棱锥的直观图,如图:类型三 与直观图还原有关的计算问题例7(2021山东聊城高一期末)如图,是
8、用斜二测画法画出的直观图,则的周长为( )ABCD【答案】C【详解】作出的直观图如下图所示:由图可得,因此,的周长为.故选:C.解题技巧(直观图还原注意事项) 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变,而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半,同时要倾斜45,因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点(1)直观图中任何一点距x轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45倍(2)S直观图S原图由直观图计算原图形中的量时,注意上述两个结论的转换例8(2021湖北省广水市实验高级中学高二期中)如图,边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图,则图形的面积是( )ABCD【答案】
9、A【详解】由三视图知原平面图形是平行四边形,且,所以面积为故选:A例9(2022全国高一)若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是( )ABCD【答案】C【详解】等腰梯形的面积 则原平面图形的面积.故选:C.例10(2022全国高一)正三角形的边长为1,建立如图所示的直角坐标系,则它的直观图的面积是( )ABCD【答案】D【详解】原图中:设是的中点,则,.直观图中:,所以.故选:D例11(2021全国高一课时练习)如图矩形ABCD的长为4cm,宽为2cm,O是AB的中点,它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图,则四边形ABCD的周长
10、为_cm;【答案】20【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变;与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半,且与轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示,其中cm,cmcm所以原图形的周长为cm例12(2021广东东莞市新世纪英才学校高一阶段练习)正方形的边长为1,利用斜二测画法得到直观图,其周长等于_【答案】3【详解】根据斜二测画法的原则可得:直观图中,x方向长度不变,y方向长度减半,如图所示:所以的周长为.故答案为:3【同步练习】一、单选题1(2021湖北高二阶段练习)如图,是水平放置的的直观图,则中边上的高等于( )A4BC2D【答案】A【分析】根据
11、直观图的作图方法即可求得答案.【详解】由题意可知,且,即OA边上的高为4.故选:A.2(2022全国高一)如图所示的是水平放置的三角形直观图,是中边上的一点,且离比离近,又轴,那么原的、三条线段中( )A最长的是,最短的是B最长的是,最短的是C最长的是,最短的是D最长的是,最短的是【答案】C【分析】由直观图画出原图即可求解.【详解】解:由题意,得到的原图如下图所示,其中,所以所以的、三条线段中最长的是,最短的是.故选:C.3(2022全国高一)已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中,则原四边形的面积为( )ABCD【答案】B【分析】根据直观图画出原图,可得原图形为直角梯形,
12、计算该直角梯形的面积即可.【详解】过点作,垂足为则由已知可得四边形为矩形,为等腰直角三角形,根据直观图画出原图如下:可得原图形为直角梯形,且,可得原四边形的面积为故选:B.4(2021河北衡水市冀州区第一中学高一期中)某平面七边形在斜二测画法下的直观图面积是,则该图形的原面积是( ).ABCD【答案】A【分析】根据平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是,计算即可得出答案.【详解】解:由于水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是,所以用斜二测画法作一个平面七边形的直观图,则其原面积是直观图面积的倍,已知其直观图面积是,则该图形的原面积是.故选:A.5(2022全国高一
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