7.2复数的四则运算 学案(教师版)
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1、7.2 复数的四则运算【知识点梳理】知识点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则:设,(),我们规定:知识点诠释:(1)复数加法中的规定是实部与实部相加,虚部与虚部相加,减法同样。很明显,两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减)的情形(2)复数的加减法,可模仿多项式的加减法法则计算,不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律:z1+z2=z2+z1结合律::(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知识点二、复数的加减运算的几何意义1.复数的表示形式:代数形式:()几何表示:坐标表示:在复平面内以点表示复数();向量表示:以原点为起点,点为终点的向
2、量表示复数.知识点诠释:复数复平面内的点平面向量2.复数加、减法的几何意义:如果复数、分别对应于向量、,那么以、为两边作平行四边形,对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为、,即、的坐标形式为=(a,b),=(c,d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是,由于,所以和的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量知识点诠释:要会运用复数运算的几何意义去解题,利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1乘法运算法则:设,(),我们规
3、定:知识点诠释:(1)两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.(2)在进行复数除法运算时,通常先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化),化简后写成代数形式。2乘法运算律:(1)交换律:(2)结合律:(3)分配律:【典型例题】类型一、复数的加减运算例1(2021海南三亚华侨学校高二期中)复数等于( )ABCD【答案】A【详解】故选:A.例2(2021黑龙江大庆中学高三期中(理)设,则( )ABCD【答案】C【详解】设,则,则,所以,解得,因此,.故选:C.例3(2021黑龙江齐齐哈尔市第八中学校
4、高一期中)若复数,则_.【答案】【详解】解:由题意得,则,故答案为:.类型二、复数的乘除运算例4(2021全国模拟预测)已知复数,则( )A4BCD2【答案】D【详解】由,所以,所以故选:D例5(2022山西怀仁高三期末(文)复数z满足,则对应复平面内的点的坐标为( )ABCD【答案】B【详解】不妨设复数,则有:则有:故有:解得:故选:B例6(2022北京朝阳高三期末)( )AB2CD【答案】D【详解】故选:D例7(2021江苏南京高二期中)已知复数,则_.【答案】-3【详解】,故答案为:例8(2021浙江浙江高一期末)若复数满足(为虚数单位),复数的虚部为,且是实数(1)求的模长;(2)求【
5、详解】(1),;(2)设,则,为实数,解得:,.类型三. 复数代数形式的四则运算例9(2021广西模拟预测(理)若复数z满足,则( )ABCD【答案】A【详解】解:由题意可知,所以,所以,故选:A.例10(2021云南高三期中(理)已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )ABCD【答案】A【详解】解:由,得,所以虚部为.故选:A例11(2022新疆一模(文)已知复数,则( )ABCD2【答案】C【详解】,.故选:C例12(2021福建龙岩高三期中)已知复数满足,则正数( )A-2B-1C4D2【答案】C【详解】因为,所以,又因为,所以,解得正数故选:C例13(2021吉林长春市第八中学高一
6、期中)复数,则z的虚部是( )A1BiCD【答案】A【详解】,虚部为1,故选: A例14(2020河北冀州中学高三期末(文)复数( )A B C D 【答案】C【详解】因为i21,i3i,i41,所以.故选:C例15(2021山东邹城高一期中)设复数,其中是虚数单位,则的虚部是_【答案】【详解】,的虚部是故答案为:例16(2021上海复旦附中高二期末)为虚数单位,且是纯虚数,(1)求的取值范围;(2)若,求的最小值.【详解】(1),因为为纯虚数,所以且,所以或,当时,当时,所以,综上:.(2)由(1)或,又,所以,由题意知,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.类型四、复数方程例17(2
7、021江苏扬州中学高二期中)已知是复数,和都是实数.(1)求复数;(2)设关于的方程有实根,求纯虚数.【详解】(1)设,所以,所以,所以;(2)设,又,所以,解得所以例18(2021福建泉州五中高一期中)已知复数是方程的一个解.(1)求、的值;(2)若复数满足,求的最小值.【详解】(1)依题意得,即,所以,解得,;(2)由(1)可得,设,则,因为,所以,整理得.,故当时,取得最小值.例19(2021河南新乡高二期中(理)关于复数的方程()(1)若此方程有实数解,求的值; (2)用反证法证明对任意的实数,原方程不可能有纯虚数根【详解】(1)解:设方程的实数解为,则,所以,所以,所以因为,所以(2
8、)证明:假设原方程有纯虚数根,令,且,则有,整理可得,所以所以对于,由于判别式,所以方程无解,故方程组无解,故假设不成立故原方程不可能有纯虚数根例20(2021全国高一专题练习)设z1是方程x26x250的一个根(1)求z1;(2)设z2ai(其中i为虚数单位,aR),若z2的共轭复数z2满足|z13z2|125,求z22.【详解】(1)因为6242564,所以z134i或z134i.(2)由|z(ai)|125,得125125,所以a2.当a2时,z(2i)234i;当a2时,z(2i)234i.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,训练了实系数一元二次方程虚根的求法,考查了复数模的求法
9、,考查了学生的计算能力,是基础题类型四. 复数的几何意义例21(2020全国高一课时练习)如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,32i,24i求:(1)向量对应的复数;(2)向量对应的复数;(3)向量对应的复数【详解】(1)因为,所以向量对应的复数为32i;(2)因为,所以向量对应的复数为(32i)(24i)52i;(3)因为,所以向量对应的复数为(32i)(24i)16i例22(2021全国高一课时练习)已知四边形是复平面内的平行四边形,是原点,点分别表示复数,是,的交点,如图所示,求点表示的复数.【详解】因为,分别表示复数,所以表示的复数为,即点表示的复数为,又,所以
10、表示的复数为,即点表示的复数为【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题例23(2021全国高二课时练习)证明等式,对任意复数都成立,并给出这个等式的一个几何意义.【详解】证明:设,则由复数模的定义可得所以几何意义:平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.【同步练习】一、单选题1(2022上海复旦附中高二期末)复平面中有动点Z,Z所对应的复数z满足,则动点Z的轨迹为( )A直线B线段C两条射线D圆【答案】A【分析】设出动点Z坐标为,根据题意列出方程,求出结果.【详解】设动点Z坐标为,则,所以,即,化简得:,故动点Z的轨迹为直线.故选:A2(2022新疆一模(理)已知复数,则( )ABCD
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