8.1基本立体图形 学案(教师版)
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1、8.1 基本立体图形【知识点梳理】知识点一:棱柱的结构特征1、定义:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱在棱柱中,两个相互平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面2、棱柱的分类:底面是三角形、四边形、五边形、的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法:用表示底面的各顶点的字母表示棱柱,如下图,四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、;用
2、棱柱的对角线表示棱柱,如上图,四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等;五棱柱可表示为棱柱、棱柱等;六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性质:棱柱的侧棱相互平行.知识点诠释:有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,这些面围成的几何体不一定是棱柱如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形”这一条件,但它不是棱柱判定一个几何体是否是棱柱时,除了看它是否满足:“有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形”这两个条件外,还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件,不具备这一条件的几何体不是棱柱知识点二:棱锥的结构特征1、定义:有一个面
3、是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;2、棱锥的分类:按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ;SSDDCCBBAAECBAS3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面的字母表示,如四棱锥知识点诠释:棱锥有两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形,二者缺一不可知识点三:圆柱的结构特征1、定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边
4、旋转而成的曲面叫做圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线2、圆柱的表示方法:用表示它的轴的字母表示,如圆柱知识点诠释:(1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全等的圆面(2)经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径,经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴知识点四:圆锥的结构特征1、定义:以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥旋转轴叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥
5、的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线2、圆锥的表示方法:用表示它的轴的字母表示,如圆锥知识点诠释:(1)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面是一个比底面小的圆面(2)经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是圆锥侧面的两条母线(3)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线知识点五:棱台和圆台的结构特征、定义:用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥),底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台);原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面;原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面;原棱锥的侧棱
6、被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱;原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线;棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点;圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成,因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法:用各顶点表示,如四棱台;3、圆台的表示方法:用表示轴的字母表示,如圆台;知识点诠释:(1)棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体所以,棱台可还原为棱锥,即延长棱台的所有侧棱,它们必相交于同一点(2)棱台的上、下底面是相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方(3)圆台可以看做由圆锥截得,也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.(4)圆台的上、下
7、底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方知识点六:球的结构特征1、定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法:用表示球心的字母表示,如球O.知识点诠释:(1)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面如果截面经过球心,则截面圆的半径等于球的半径;如果截面不经过球心,则截面圆的半径小于球的半径(2)若半径为的球的一个截面圆半径为,球心与截面圆的圆心的距离为,则有知识点七:特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱;垂直于底面的棱柱称为直棱柱;底
8、面是正多边形的直棱柱是正棱柱;底面是矩形的直棱柱叫做长方体;棱长都相等的长方体叫做正方体;特殊的棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形,那么这样的棱锥称为正棱锥;侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体;特殊的棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台;知识点八:简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式:由简单几何体拼接而成的简单组合体;由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体;2、常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合. 多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体如下图(1)是一个四棱柱与
9、一个三棱柱的组合体;如图(2)是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体;如图(3)是一个三棱柱与一个三棱台的组合体 多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图(1)是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的;如图(2)是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的;而图(3)是一个球与一个三棱锥组合而成的 旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体如图(1)是由一个球体和一个圆柱体组合而成的;如图(2)是由一个圆台和两个圆柱组合而成的;如图(3)是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的 知识点九:几何体中的计算问题几何体的有
10、关计算中要注意下列方法与技巧:(1)在正棱锥中,要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形,有关证明及运算往往与两者相关(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算,有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面,这是因为在轴截面中,易找到所需有关元素之间的位置、数量关系(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决(6)关于球
11、的问题中的计算,常作球的一个大圆,化“球”为“圆”,应用平面几何的有关知识解决;关于球与多面体的切接问题,要恰当地选取截面,化“空间”为平面【经典例题】类型一:简单几何体的结构特征例1(2021全国高一课时练习)下列命题正确的是( )A有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D棱柱的侧面都是全等的平行四边形【答案】C【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体,A错;有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示,B错;棱柱的侧面不一定是
12、全等的平行四边形,D错;由棱柱的定义,C正确.故选:C.解题技巧(判断结构特点的注意事项) 在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义判断,这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延,切忌只凭图形主观臆断例2(2022全国高一)关于如下图所示的4个几何体,说法正确的是( )A只有是棱柱B只有是棱柱C只有是棱柱D只有是棱柱【答案】D【详解】棱柱是多面体中最简单的一种,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行图中,满足棱柱的定义,正确;图中,满足棱柱的定义,正确;图中,不满足棱柱的定义,不正确;图中,满足棱柱的定义,是四棱柱,正确故选:D例3.(多选题
13、)(2021全国高一课时练习)下列关于棱柱的说法中不正确的是( )A棱柱的侧面是平行四边形,但它一定不是矩形B棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高C棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行【答案】ABC【详解】A.棱柱的侧面是平行四边形,所以可以是矩形,例如直棱柱,故不正确;B.在直棱柱中,侧棱的长叫做棱柱的高,不是直棱柱,侧棱的长不叫做棱柱的高,故错误;C.棱柱中,也有可能存在两个侧面互相平行,故错误;D.棱柱中,上下底面一定平行,所以至少有两个面互相平行,故正确.故选:ABC例4(2020全国高一课时练习)判断如图所示的多面体是不是棱台?【答案】图(1)不是
14、棱台;图(2)不是棱台;图(3)不是棱台.【详解】判断棱台的标准:一是共点,即各侧棱延长线要交于一点;二是平行,即上、下两个底面要平行.据此可知,图(1)中多面体的侧被延长线不相交于一点,故不是棱台;图(2)中多面体不是由棱锥截得的,侧棱延长线不相交于一点,故不是棱台;图(3)中多面体截面与底面不平行,故不是棱台.例5(2021浙江高一单元测试)下列几何体中旋转体_个,台体(棱台和圆台)_个【答案】 【详解】由图可知,(6)(7)(8)为旋转体,(5)(7)为台体故答案为:;.类型二:几何体中的基本计算 例6(2021福建福州高三期中)已知圆锥的侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长与底面半径
15、的比为( )A2BC4D【答案】A【详解】设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,由题意可知,底面圆的周长为,故,则该圆锥的母线长与底面半径的比为.故选:A解题技巧(解决侧面展开图相关问题的解题策略)解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形,并进行合理的空间想象,且记住以下常见几何体的侧面展开图:例7(2021贵州金沙高二阶段练习)21世纪以来,中国钢铁工业进入快速发展阶段,某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器,圆锥的高和母线长分别为和,该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽,则可以挖出的正方体的最大棱长为( )ABCD【答案】D【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和,则圆锥的底面半径为
16、,过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面,如下图所示: 此时正方体的棱长最大,设正方体的棱长为,则作垂直地面于,则因为,所以,即即,所以.故选:D.例8(2021全国高一课时练习)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,它的轴截面的面积等于,母线与轴的夹角是,求该圆台的高与母线长.【答案】,.【详解】解:设圆台的高为h,母线长为l,上底面半径为r,由题意可知下底面半径为.因为轴截面的面积等于,所以.因为母线与轴的夹角是,所以,.解得,.类型三、简单几何体的组合体例9(2020浙江丽水外国语实验学校高二阶段练习)已知半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体的棱
17、长为,则球的半径为( )AB3C2D【答案】B【详解】作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面,它是半圆O及其内接矩形ACC1A1,如图所示,其中,矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面,点O是半球底面圆圆心,正方体的棱长,面对角线,显然点O是AC中点,则该半球的半径,所以球的半径为3.故选:B解题技巧: (判断几何体的注意事项)解决简单几何体的判定问题,需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握,如侧棱与底面的关系,底面、侧面的形状、截面形状等,同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数例10(2021全国高一课时练习)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面
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