6.2排列与组合 学案(教师版)
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1、6.2排列与组合【知识点梳理】要点一、排列的概念1.排列的定义:一般地,从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列要点诠释:(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按照一定的顺序排列”(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列(3)如何判断一个具体问题是不是排列问题,就要看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序,有顺序就是排列,无顺序就不是排列要点二:排列数1.排列数的定义从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的
2、排列数,用符号表示.要点诠释:“排列”和“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同的元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);2排列数公式,其中n,mN+,且mn要点诠释:公式特征:第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是,共有个因数。要点三:阶乘表示式1阶乘的概念:把正整数1到的连乘积,叫做的阶乘.表示:,即.规定:2.排列数公式的阶乘式:所以要点四:排列的常见类型与处理方法1.相邻元素捆绑法2.相离问题插空法3.元素分析法4.位置分析法要点五:组合1.定义:一般地,从个不同元素中取出()个元
3、素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合要点诠释:(1)从排列与组合的定义可知,一是“取出元素”;二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关,这是它们的根本区别(2)如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题,它主要涉及元素被取到或未被取到.要点六:组合数及其公式1.组合数的定义:从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数记作要点诠释:“组合”与“组合数”是两个不同的概念:一个组合是指“从n个不同
4、的元素中取出m(mn)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数”,它是一个数2组合数公式:(1)(、,且)(2)(、,且)要点诠释:上面第一个公式一般用于计算,但当数值、较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便,在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用第二个公式要点七:组合数的性质性质1:(、,且)性质2:(、,且)要点诠释:规定:.要点八、组合问题常见题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取(2)“至少”
5、或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,但通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理(3)分堆问题平均分堆,其分法数为:分堆但不平均,其分法数为(4)定序问题对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其他元素进行排列(5)相同元素分组问题用“隔板法”:【典型例题】类型一、与排列数有关的运算例1(2022全国高二)若,则()ABCD【答案】B【解析】【分析】将展开得,化简计算即可.【详解】,化简可得,则.故选:B例2(202
6、1全国高二单元测试)可以表示为()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式即可判断【详解】,故选:C例3(2021全国高二课时练习)aN*,且a27,则(27a)(28a)(34a)等于()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据排列数的概念即可得到答案.【详解】从27a到34a共有34a(27a)18个数,(27a)(28a)(34a).故选:D.类型二、组合概念及组合数公式例4(2022安徽宿州高二期末)若,则n的值为()A7B8C9D10【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为,则由组合数的性质有,即,所以n的值为10.故选:D例5(2021
7、全国高二课时练习)等于()AB101CD6【答案】D【解析】【分析】利用排列数、组合数公式及其性质即求.【详解】.故选:D.例6(2021全国高二课时练习)计算的值为()ABC1D1【答案】C【解析】【分析】利用组合数的性质即得.【详解】.故选:C.类型三、排列的定义及其理解例7(2022全国高二)3张卡片的正、反两面分别写有数字1,2;3,4;5,6将这3张卡片排成一排,可构成多少个不同的三位数?【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理可得【详解】第一步:确定百位上的数字有6种可能,第二步:确定十位上的数字有4种可能,第三步:确定个位上的数字有2种可能,根据分步计数原理可得,共:可构成4
8、8个不同的三位数例8(2021全国高二课时练习)用红、黄、蓝3面小旗(3面小旗都要用)竖挂在绳上表示信号,不同的顺序表示不同的信号,试写出所有的信号【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意直接列举即可【详解】根据题意,所有的信号为:红黄蓝,红蓝黄,黄红蓝,黄蓝红,蓝红黄,蓝黄红例9(2022全国高二)从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来【答案】答案见解析【解析】【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号,依次1,2,3,4,画出树形图,然后根据树形图一一列举【详解】解:从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本,分给甲、乙、丙三
9、人,每人一本,相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素,按“甲、乙、丙”的顺序进行排列,每一个排列就对应着一种分法,所以共有(种)不同的分法不妨给“语文、数学、英语、物理”编号,依次1,2,3,4,画出树形图如图由树形图可知,按甲、乙、丙的顺序分的分法为:语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数类型四、组合的定义及其理解例10(2021全国高二课时练习)判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?(2)10个人相互通一次电话,
10、一共通了多少次电话?(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场?(4)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?【答案】(1)90;(2)45;(3)45;(4)120;(5)720.【解析】【分析】具体分析每一小问的题意,确定有无顺序区别,从而知道是排列问题还是组合问题.【详解】(1)排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为. (2)组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,组合数为(3)组合问题,因为每两个队比赛一次,没有顺序的区别,组合数为(4)组合问题,因
11、为去开会的3个人之间没有顺序的区别,组合数为(5)排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为.例11(2021全国高二课时练习)写出从A,B,C,D,E 5个元素中,依次取3个元素的所有组合.【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.【解析】【分析】根据条件按含A,不含A含B,不含A、B三类写出含三个元素的组合即可.【详解】含A的三个元素有:ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE,不含A含B的三个元素有:BCD、BCE、BDE,不含A、B的三个元素有:CDE,所以取3个元素的所有组合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、
12、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.例12(2021全国高二课时练习)给出下列问题:(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种?(6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种?在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?【答案】(2)(4)(6)是
13、排列;(1(3)(5)是组合.【解析】【分析】根据排列和组合的定义进行判断即可.【详解】(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.(2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.(4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺序,是组合问题.(6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题.类型五、位置分析法例13(2022吉林东北师大附中高二期末)甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则不同的排法有()A24种B6种C4种D12种【答
14、案】B【解析】【分析】由已知可得只需对剩下3人全排即可【详解】解:甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则只需对剩下3人全排即可,则不同的排法共有,故选:B例14(2022河南濮阳高三开学考试(理)某班开展“学党史,感党恩”演讲活动,安排四个演讲小组在班会上按次序演讲,则A组不是第一个演讲的方法数为()A13B14C15D18【答案】D【解析】【分析】利用排除法,先计算A组是第一个演讲的方法数即得解【详解】由题意,安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况其中A组是第一个演讲的方法数为故A组不是第一个演讲的方法数为故选:D例15(2021全国绵阳中学模拟预测(理)某校为庆祝建党一百周
15、年,要安排一场共11个节目的文艺晚会,除第1个节目和最后一个节目已经确定外,3个音乐节目要求排在2,6,9的位置,3个舞蹈节目必须相邻,3个曲艺节目没有要求,共有不同的演出顺序()种A144B192C216D324【答案】C【解析】【分析】先排音乐节目,则舞蹈节目位置只能排在3、4、5,再排曲艺节目,然后由分步乘法计数原理可得.【详解】先排3个音乐节目有种排法,共6种排法;再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置,共种排法;再排3个曲艺节目,共种排法;由分步乘法记数原理有种排法故选:C类型六、相邻问题捆绑法例16(2022重庆巴蜀中学高三阶段练习)3个学生和3个老师共6个人站成一排照相,有且仅有两
16、个老师相邻,则不同站法的种数是_(结果用数字表示)【答案】【解析】【分析】根据题意,分3步进行分析:将3个老师分成2组,并考虑2人的一组的2人之间的顺序;将剩余的3个学生全排列,形成有4个空位;在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组,分别求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意,分3步进行分析:将3个老师分成2组,有种分组方法,将2人的一组看成一个元素,考虑2人之间的顺序,有种情况;将剩余的3个学生全排列,有种排法,排好后,有4个空位;在4个空位中任选2个,安排3个老师分成的两个组,有种方法,则6人站成一排照相,3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有种.故答案为:
17、.例17(2021全国高二课时练习)春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节目进行排序,若A,B两个节目必须相邻,且都不能排在3号位置,则不同的排序方式有_种【答案】144【解析】【分析】将A,B捆绑,先确定A,B的位置,再将剩余节目排序,即可得出答案.【详解】解:将A,B捆绑,先确定A,B的位置,有种可能,再将剩余节目排序,有种可能,所以不同的排序方式有(种)故答案为:144.例18(2021全国高二课时练习)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的排法有_种.【答案】12【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可.【详解】解:因为两位女同学相邻,故先排两位女同学,有种
18、排法,再将其看作一个元素,和其他两位男生一起排列,有种排法,所以共有种排法.故答案为:类型七、不相邻问题插空法例19(2022辽宁丹东高二期末)用1,2,3,4排成的无重复数字的四位数中,其中1和2不能相邻的四位数的个数为_(用数字作答).【答案】【解析】【分析】利用插空法计算出正确答案.【详解】先排,形成个空位,然后将排入,所以符合题意的四位数的个数为.故答案为:例20(2022全国高二)新年音乐会安排了2个唱歌3个乐器和2个舞蹈共7个节目,则2个唱歌节目不相邻的节目单共有_种.(用数字表示)【答案】3600【解析】【分析】利用插空法即得.【详解】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法,其
19、中有6个空插入2个唱歌节目,有种排法,故共有.故答案为:3600.例21(2021全国高二课时练习)电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告,2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式共有_种(用排列数回答)【答案】【解析】【分析】不相连排列利用插空法即可求解【详解】先把4个商业广告排好顺序,共有种方法,再把2个公益广告插入5个空(包括两头)中,根据分步乘法计数原理,共有种方法故答案为:类型八、定序问题例22(2021天津市红桥区教师发展中心高二期末)共五人站成一排,如果必须站在的右边,那么不同的排法有_种.【答案】【解析】【分析】首先将C、D、E排序,
20、再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空,即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列,有种,2、把作为整体插入4个空中,有种,或分别插入4个空中的2个空中,有种,所以共有种.故答案为:60.例23(2022全国高三专题练习)7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有_不同的排法.【答案】840【解析】【分析】根据题意分2步分析:先在7个位置上任取4个,安排除甲、乙、丙之外的3人,再在剩余的3个位置中安排3人,由于甲、乙、丙3人顺序一定,只有1种情况,故由分步计数原理可得答案.【详解】根据题意,假设有7个位置,对应7个人,先在7个位置中任取4个,安排除甲、乙、丙之外的4人
21、,有种情况,由于甲、乙、丙3人顺序一定,在剩余3个位置安排3人即可,有1种情况,则共有种不同的排法;故答案为:840.例24(2021福建省宁德市教师进修学院高二期末)6位同学站成一排,要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间,则不同排法有_种(用数字作答)【答案】48【解析】【分析】利用分步原理计算即可【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法,把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列,有种排法,所以,总共有种排法故答案为:48类型九、分组分配问题例25(2022山东淄博一模)甲、乙、丙家公司承包了项工程,每家公司承包项,则不同的承包方案有_种【答案】【解析】【分析】利用组合计数原理
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