7.1条件概率与全概率公式 学案(教师版)
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1、7.1 条件概率与全概率公式【知识点梳理】1条件概率的概念条件概率揭示了P(A),P(AB),P(B|A)三者之间“知二求一”的关系一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率2概率的乘法公式由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)P(A)P(B|A)我们称上式为概率的乘法公式3条件概率的性质设P(A)0,则(1)P(|A)1;(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A);(3)设和B互为对立事件,则P( )1P(B)4全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰
2、到一些较为复杂的概率计算,这时,我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An,且P(Ai)0,i1,2,n,则对任意的事件B,有P(B)P(Ai)P(B.我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是概率论中最基本的公式之一5贝叶斯公式设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An,且P(Ai)0,i1,2,n,则对任意事件B,P(B)0,有P(Aii1,2,n.6在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率【典型例题】题型一利用定义求条件概率例1(2022全国高二专题练习)20
3、21年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天,王华的妈妈煮了五个粽子,其中两个蜜枣馅,三个豆沙馅,王华随机拿了两个粽子,若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅,则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为()ABCD【答案】A【解析】【分析】设事件为“取出两个粽子为同一种馅”,事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”,计算(A)、的值,从而【详解】由题意,设事件为“取出两个粽子为同一种馅”,事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”,则(A),故选:A规律方法利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A),这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生例2(2
4、022湖南高二课时练习)甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A=“三个人去的景点各不相同”,B=“甲去了第一个景点”,如果甲、乙、丙互不相识,求【答案】【解析】【分析】这是求甲去第一个景点的前提下,三个人去的景点各不相同的条件概率,求出相应基本事件的个数,即可得出结论【详解】甲去了第一个景点,则有1个景点可选,乙丙能在三个景点中选择,可能性为种,所以甲去了第一个景点的可能性为种,因为三个人去的景点不同的可能性为种,所以 .例3(2022湖南高二课时练习)根据历年气象统计资料,某地4月份的任一天吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为求4月7日在吹东风的条件下下雨的
5、概率【答案】【解析】【分析】设事件表示吹东风,事件表示下雨,得到,结合,即可求解.【详解】由题意,设事件表示吹东风,事件表示下雨,则,所以在吹东风的条件下下雨的概率为.题型二条件概率的性质及应用例4(2022山东德州高二期末)已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有,其中甲厂产品的市场占有率为40,乙厂产品的市场占有率为36,丙厂产品的市场占有率为24,甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为,(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检,求这三件产品中恰有两件合格的概率;(2)现从市场中随机购买一台该电器,则买到的是合格品的概率为多少?【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由相互独立事件的概率可得;(2
6、)根据各产品的市场占有率和合格率,由条件概率公式计算可得.(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品,产品合格分别为事件,则三个事件相互独立,恰有两件产品合格为事件D,则故从三家企业的产品中各取一件抽检,则这三件产品中恰有两件合格的概率是(2)记事件B为购买的电器合格,记随机买一件产品,买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件,故在市场中随机购买一台电器,买到的是合格品的概率为规律方法当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)便可求得较复杂事件的概率例5(2021全国高二课时练习)已知
7、随机事件A,B,求,.【答案】【解析】【分析】根据条件概率的计算公式及其变形求解即可【详解】由条件概率公式得:例6(2021全国高二课时练习)某工厂有两个车间生产同型号家用电器,已知第1车间生产产品的合格品率为0.85,第2车间生产产品的合格品率为0.88,两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志,假设第1,2车间生产的产品的数量之比为2:3.今有一客户从仓库中随机提一台产品,求该产品是合格品的概率.【答案】0.868【解析】【分析】利用条件概率公式,即可求解.【详解】设表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品,表示从仓库中随机提出的一台产品是第车间生产的,则.由题意,知,由全概率公式
8、,得.题型三全概率公式例7(2022全国高二课时练习)袋中有10个大小、材质都相同的小球,其中红球3个,白球7个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:()第一次摸到红球的概率;()在第一次摸到红球的条件下,第二次也摸到红球的概率;()第二次摸到红球的概率.【答案】();();().【解析】()求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数,从而可得所求的概率()第一次摸到红球后,还余下个红球和个白球,同()可求概率()根据()()利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率【详解】设事件:第一次摸到红球;事件:第二次摸到红球,则事件:第一次摸到白球.()第一次从10个球中摸一个共10种不同
9、的结果,其中是红球的结果共3种,所以 . ()第一次摸到红球的条件下,剩下的9个球中有2个红球,7个白球,第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果,其中是红球的结果共2种.所以. ().所以第二次摸到红球的概率.【点睛】方法点睛:利用全概率公式计算随机事件的概率时,注意把随机事件分解为两个随机事件和,再利用条件概率公式计算两者的概率即可规律方法全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用例8(2022吉林东北师大附中高二期末)现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋,第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表,第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名
10、表随机选择一个档案袋,然后从中随机抽取2份报名表(1)若选择的是第一个档案袋,求从中抽到两名男生报名表的概率;(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)选择的是第一个档案袋,从中随机抽取2份报名表,基本事件总数,从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为,由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率;(2)设事件表示抽取到第个档案袋,设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生,利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率(1)(1)第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表,选择的是第一个档案袋,从中随机抽取2份报名表,基本事件总数,从中抽到
11、两名男生报名表包含的基本事件个数为,从中抽到两名男生报名表的概率(2)设事件表示抽取到第个档案袋,设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生,则,抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为:例9(2021山东德州市第一中学高二阶段练习)今年中国共产党迎来了建党100周年,为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀,某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题,已知甲校回答正确这道题的概率为,甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是,乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都
12、需要回答这个问题,求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率;(2)若规定三所学校需要抢答这道题,已知甲校抢到答题机会的概率为,乙校抢到的概率为,丙校抢到的概率为,求这个问题回答正确的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为,利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程,求解,再利用对立事件的概率公式,即得解;(2)利用全概率公式结合题干条件,即得解(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件,分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此,是相互独立事件由题意可知,解得,.所以,乙答对这道题的概
13、率为,丙答对这道题的概率为.甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件,则概率为,其反面是三所学校都回答错误,即则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为;(2)若规定三所学校需要抢答这道题,则这个问题回答正确设为事件,得到抢答机会分别是事件,则,则这个问题回答正确的概率为.题型四贝叶斯公式例10(2021辽宁高二阶段练习)2022年北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为:甲高校学生志愿者7名,教职工志愿者2名;乙高校学生志愿者6名,教职工志愿者3名;丙高校学生志愿者5名,教职工志愿者4名.(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名,求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率;(
14、2)先从三所高校中任选一所,再从这所高校的志愿者中任取一名,求这名志愿者是教职工志愿者的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率,再由对立事件的概率关系可得答案(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者,事件为选甲高校,事件为选乙高校,事件为选丙高校,由全概率公式可得答案.(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名,这三名志愿者全是学生,则;设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名,这三名志愿者全是教职工,则;设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名,这三名志愿者中既有学生又有教职工,则.(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者,事件为选甲
15、高校,事件为选乙高校,事件为选丙高校.,.所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为:规律方法此类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生的可能性大小例11(2021全国高二课时练习)设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1:2,货车中途停车修车的概率为0.02,客车中途停车修车的概率为0.01今有一辆汽车中途停车修理,求该车是货车的概率【答案】【解析】【分析】由全概率公式计算出停车修理的概率,再由贝叶斯公式计算出结论【详解】记事件为经过的车是货车,事件是经过车是客车,事件是停车修理,所以.例12(2021全国高二课时练习)计算机中心有三台打字机,某打字员使用各
16、台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度,求该打字员使用,打字的概率分别为多少.【答案】0.24;0.6;0.16【解析】【分析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件,“该打字员用打字”为事件,“该打字员用打字”为事件,“该打字员用打字”为事件,则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可【详解】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件,“该打字员用打字”为事件,“该打字员用打字”为事件,“该打字员用打字”为事件,则根据全概率公式有,根据贝叶斯公式,可得该打字员使用,
17、打字的概率分别为:,.题型五全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例13(2021全国高二课时练习)在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0现假设发送信号为0和1的概率均为;又已知发送信号为0时,接收为0和1的概率分别为0.7和0.3,发送信号为1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1求已知收到信号0时,发出的信号是0(即没有错误接收)的概率【答案】0.875【解析】【分析】设事件“发送信号为0”,事件“发送信号为1”,事件“收到信号为0”,事件“收到信号为1”,根据题意可得与构成一完备事件组,分别求出,再根据求得,再利用贝叶斯公式即
18、可求出答案.【详解】解:设事件“发送信号为0”,事件“发送信号为1”,事件“收到信号为0”,事件“收到信号为1”因为收到信号为0时,除来自发送信号为0外,还有发送信号为1时,由于干扰接收的信号0,因此导致事件发生的原因有事件与,且它们互不相容,故与构成一完备事件组由题意有,故由贝叶斯公式得收到信号0时,发出的信号是0的概率为规律方法P(Ai)(i1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识,当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化例14(2021全国高二课时练习)设甲
19、、乙、丙三个地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为,现从这三个地区任抽取一个人,假设每个人来自三个地区的可能性相同(1)求此人感染此病的概率;(2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)应用全概率公式,求所抽取的人感染此病的概率即可;(2)利用贝叶斯概率公式可得,即可求概率.【详解】(1)由题意,所抽取的人感染此病的概率.(2)若分别表示来自甲、乙、丙的事件,表示感染此病的事件,此人感染此病且来自乙地区的概率.例15(2021全国高二课时练习)设某工厂有甲、乙、丙三个车间,它们生产同一种工件,每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25
20、%,35%,40%,它们的次品率依次为5%,4%,2%现从这批工件中任取一件(1)求取到次品的概率;(2)已知取到的是次品,求它是甲车间生产的概率(精确到0.01)【答案】(1)0.0345;(2)0.36.【解析】【分析】(1)根据题意,结合全概率公式,即可求解;(2)根据题意,结合条件概率计算公式,即可求解.(1)设事件,分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的,A表示“取到的是次品.易知,两两互斥,根据全概率公式,可得故取到次品的概率为0.0345(2)故已知取到的是次品,它是甲车间生产的概率为0.36例16(2021江苏高二课时练习)在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列由于随机因
21、素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05假设发送信号0和1是等可能的(1)分别求接收的信号为0和1的概率;(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率【答案】(1)0.475,0.525(2)【解析】【分析】(1)由全概率公式和对立事件概率公式计算(2)由条件概率公式计算(1)设“发送的信号为0”,“接收到的信号为0”,则“发送的信号为1”,“接收到的信号为1”由题意得,;(2)例17(2022全国高二课时练习)假设某种细胞分裂(每次分裂都是一个分裂成两个)和死亡的
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