7.4二项分布与超几何分布 学案(教师版)
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1、7.4二项分布与超几何分布【知识点梳理】1n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验2n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立3二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为:如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p)4一般地,可以证明:如果XB(n,p),那么E(X)np,D(X)np(1p)1超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样一般地,
2、假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为,km,m1,m2,r.其中n,N,MN* ,MN,nN,mmax0,nNM,rminn,M如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布2超几何分布的期望E(X)np(p为N件产品的次品率)【典型例题】题型一n重伯努利试验的判断例1(2021全国高二专题练习)下列事件:运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;甲乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;甲乙两运动员各射击一次,“甲乙都射中目标”与“甲乙都没射中目标”;在相同的条件下
3、,甲射击10次,5次击中目标.其中是伯努利试验的是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件,以及独立重复试验的定义可以判断:,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果,是互斥事件;是相互独立事件;是互斥事件;是独立重复试验.【详解】和符合互斥事件的概念,是互斥事件;是相互独立事件;是独立重复试验;所以只有符合题意,故选:D.【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关独立重复试验的概念,关键点是需要明确独立重复试验的条件:在相同条件下重复n次;每次试验是相互独立的;每次试验只有两种结果.故只有符合.规律方法n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的
4、条件下可以重复进行(2)每次试验的结果相互独立,互不影响(多选题)例2(2021全国高二课时练习)(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是()A运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标【答案】ABC【解析】【分析】由独立重复试验的定义,依次判断即可【详解】AC符合互斥事件的概念,是互斥事件,不是独立重复试验;B是相互独立事件,但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同,因此不是独立重复试验;D中在相同的条件
5、下,甲射击10次,是独立重复试验故选:ABC例3(2021全国高二课时练习)判断下列试验是不是重伯努利试验.(1)依次投掷四枚质地不同的硬币,次正面向上;(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了次,其中次击中;(3)口袋中装有个白球,个红球,个黑球,依次从中抽取个球,恰好抽出个白球【答案】(1)不是;(2)是;(3)不是.【解析】【分析】(1)根据伯努利试验的定义判断可得出结论;(2)根据伯努利试验的定义判断可得出结论;(3)根据伯努利试验的定义判断可得出结论.【详解】(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是重伯努利试验;(2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是重伯努利试验
6、;(3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是重伯努利试验题型二n重伯努利试验概率的求法例4(2021全国高二课时练习)在4重伯努利试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A(0,0.6B0.6,1)C0.4,1)D(0,0.4【答案】D【解析】【分析】随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,根据独立重复试验概率公式列出不等式,可解出范围.【详解】事件A在一次试验中发生的概率为p,因为随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,所以p(1-p)3p2(1-p
7、)2,解得p0.4,即p的取值范围是(0,0.4.故选:D.规律方法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率例5(2022全国模拟预测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,若两枚硬币都正面向上,就说这次试验成功,则3次试验中至少有2次成功的概率是()ABCD【答案】B【解析】【分析】先
8、求出一次试验中两枚硬币都正面向上的概率,进而根据独立重复试验求概率的方法求得答案.【详解】在一次试验中,两枚硬币都正面向上的概率为,设X为3次试验中成功的次数,则,故所求概率.故选:B.例6(2022安徽高三开学考试(理)根据历史数据,某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p,且在该季节的连续4天中,都不出现雾凇的概率为据此估计,该地在该季节接下来的连续三天中,恰有一天出现雾凇的概率为()ABCD【答案】A【解析】【分析】由题可得,再利用独立重复概率公式即得.【详解】由题意得,解得,故在该地该季节的连续三天中,恰有一天出现雾凇的概率为故选:A题型三二项分布的均值与方差例7(2022河南模拟预
9、测(理)无土栽培由于具有许多优点,在果蔬种植行业得到大力推广,无土栽培的类型主要有水培岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式,种植了400株这种草苺进行试验,其中水培岩棉培基质培的株数分别为200,100,100.草苺成熟后,按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本,统计其单株产量,数据如下:方式株数单株产量()水培岩棉培基质培x4353z4221y0(1)求x,y,z的值;(2)若从这40株草苺中随机抽取2株,求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率;(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率,若从这400株草莓中随
10、机抽取3株,用X表示单株产量在内的株数,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)x,y,z的值分别为10,1,5;(2);(3)分布列答案见解析,数学期望:.【解析】【分析】(1)根据分层抽样的性质进行求解即可;(2)根据古典概型公式进行求解即可;(3)根据二项分布的性质进行求解即可.(1)根据分层抽样可知,水培岩棉培基质培分别抽取的株数为20,10,10,由,解得,由,解得,由,解得,故x,y,z的值分别为10,1,5;(2)记“这2株中恰有1株的单株产量不小于150g”为事件A,由表可知,单株产量不小于150g的共有株,所以.(3)依题意可知,单株产量在内的概率为,X的所有可能取值为0,1,
11、2,3,则,则,其分布列如下:X0123P所以.规律方法解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布,第二步代入相应的公式求解若X服从两点分布,则E(X)p,D(X)p(1p);若X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)np,D(X)np(1p)例8(2022安徽蒙城县第六中学高三开学考试(理)一个袋子中有50个大小相同的球,其中有白球20个,黑球30个,从中有放回的依次摸出5个球作为样本,用X表示样本中白球的个数.(1)求X的分布列和期望;(2)用样本中的白球比例估计总体中白球的比例,求误差不超过0.2的概率.【答案】(1)分布列答案见解析,数学期望为(2)0.8352【解析】【分析】
12、(1)根据二项分布相关知识求解即可;(2)根据条件得到随机变量的取值,再计算概率即可.(1)对于有放回的摸球,每次摸到白球的概率是0.4,且各次之间的结果是相互独立的,因此,则X的分布列为,X012345P期望.(2)样本中的白球比例是个随机变量,且,所以,用样本中的白球比例估计总体中白球的比例,则误差不超过0.2的概率为0.8352.例9(2022河北石家庄二中高二期末)近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:()若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为
13、A级;()若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级;若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;()若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)求81件手工艺品中,质量为C级的手工艺品件数的方差;(3)求10件手工艺品中,质量为D级的手工艺品最有可能是多少件?【答案】(1)(2)(3)2件【解析】【分
14、析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算可得;(2)首先求出一件手工艺品质量为C级的概率,设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件,则,再根据二项分布的方差公式计算可得;(3)首先求出一件手工艺品质量为D级的概率,设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是件,则,根据二项分布的概率公式求出的最大值,即可得解;(1)解:一件手工艺品质量为B级的概率为(2)解:一件手工艺品质量为C级的概率为,设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件,则,所以(3)解:一件手工艺品质量为D级的概率为,设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是件,则,则,由解得,所以当时,即,由解得,所以当时,所以当时,最大,即
15、10件手工艺品中质量为D级的最有可能是2件题型四利用超几何分布的公式求概率例10(2022湖南高二课时练习)50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为_【答案】15【解析】【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式,进而解出n.【详解】用X表示中奖票数,P(X1),所以,解得n15.故答案为:15.规律方法超几何分布是一种常见的随机变量的分布,所求概率分布问题由明显的两部分组成,或可转化为明显的两部分.例11(2021全国高二课时练习)在含有5件次品的10件产品中,任取4件,则取到的次品数X的分布列为P(Xr)_.【答案】,r0,1,2
16、,3,4【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式即可得出答案.【详解】解:由题意可知,X服从超几何分布,则P(Xr),r0,1,2,3,4.故答案为:,r0,1,2,3,4例12(2021全国高二课时练习)某导游团有外语导游10人,其中6人会说日语,现要选出4人去完成一项任务,则有2人会说日语的概率为_【答案】【解析】【分析】根据超几何分布概率公式即可求得答案.【详解】有2人会说日语的概率为.故答案为:.题型五超几何分布的分布列例13(2022四川省南充高级中学高三阶段练习(理)近年来,某市为促进生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾桶为调查居
17、民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾,总计400吨,数据统计如下表(单位:吨)厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元,处理1吨非厨余垃圾需要8元,请估计处理这400吨垃圾所需要的费用;(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名女性志愿者,3名男性志愿者,现从这10名志愿者中随机选取3名,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同)设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数,求随机变量的分布列及数学期望【答案】(1)(2)2
18、900元(3)分布列见解析,【解析】【分析】(1)由题表可得厨余垃圾共有吨,其中投入厨余垃圾桶的有吨,根据古典概型即可求出结果;(2)由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾,吨非厨余垃圾,根据题意,即可求出结果;(3)由题意可知随机变量服从超几何分步,根据超几何分步即可求出分布列和期望.(1)解:由题表可得厨余垃圾共有吨,其中投入厨余垃圾桶的有吨,所以厨余垃圾投放正确的概率;(2)解:由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾,吨非厨余垃圾,则处理费用为(元)所以估计处理这吨垃圾需要元;(3)解:随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,所以的分布列为0123所以所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.规
19、律方法解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆(2)超几何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk),从而求出X的分布列例14(2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末)共享电动车(sharedev)是一种新的交通工具,通过扫码开锁,实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访,在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车,这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色,已知从这些共享电动车中任取1辆,取到的是橙色的概率为,若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车
20、中恰好有一辆是橙色的概率;(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.【答案】(1);(2)分布列见解析,数学期望为.【解析】【分析】(1)先求出两种颜色的电动车各有多少辆,然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案;(2)先确定X的所有可能取值,进而求出概率并列出分布列,然后根据期望公式求出答案.(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆,取到橙色的概率为0.4,所以橙色的电动车有4辆,荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”,则.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以,.所以分布列为0123数学期望.例15(2022北京八中
21、高二期末)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语;2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望【答案】(1)(2)分布列见解析;【解析】【分析】(1)利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数,根据古典概型概率公式求得结果;(2)确定所有可能的取值,根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率,进而得到分布列和数学期望.(1)名同学中,会法语的人数为人,从人中选派人,共有种选法;其中恰有人会法语共有种选法;选派的人中恰有人会法语的概率.(2)
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