7.2离散型随机变量及其分布列 学案(教师版)
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1、7.2离散型随机变量及其分布列【知识点梳理】1随机变量随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应随机试验的某一个随机事件定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数X()与之对应,我们称X为随机变量2离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量,通常用大写英文字母表示随机变量,用小写英文字母表示随机变量的取值.3.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域,不同之处在于不一定是数集4离散型随机变量的分布列离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的
2、概率之和(1)离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为 x1,x2,xn ,我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi,i1,2,n为X的概率分布列,简称为分布列(2)可以用表格来表示X的分布列,如下表Xx1x2xixnPp1p2pipn还可以用图形表示,如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列,称为X的概率分布图5离散型随机变量的分布列的性质(1)pi0,i1,2,n;(2) p1p2pn1.6两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X如果P(A)p,则P()1p,那么X的分布列如表所示X01P1pp我们称X服从两点分布或0
3、1分布【典型例题】题型一随机变量的概念例1(2021全国高二专题练习)一个袋中有4个白球和3个红球,从中任取2个,则随机变量可能为()A所取球的个数B其中含红球的个数C所取白球与红球的总数D袋中球的总数【答案】B【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断四个选项的正误,即可得正确选项.【详解】对于A:所取球的个数为2个,是定值,故不是随机变量,故选项A不正确;对于B:从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量,故选项B正确;对于C:所取白球与红球的总数为2个,是定值,故不是随机变量,故选项C不正确;对于D:袋中球的总数为7个,是定值,故不是随机变量,故选项D不正确;故选:B.规律方法解答此
4、类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数,但这些数是预先知道所有可能取的值,而不知道在一次试验中哪一个结果发生,随机变量取哪一个值例2(2021河南南阳高二期末(理)从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球,下列可以作为随机变量的是()A至多取到1个黑球B至少取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数【答案】C【解析】【分析】根据随机变量的定义,判断选项.【详解】根据随机变量的定义可知,随机变量的结果都可以数量化,不确定的,由实验结果决定,满足条件的只有C,取到白球的个数,可以是0,1,2.故选:C题型二离散型随机变量的判断例3(2022全国
5、高二课时练习)下列X是离散型随机变量的是()某座大桥一天经过的车辆数X;在一段时间间隔内某种放射性物质放出的粒子数;一天之内的温度X;一射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中得0分,用X表示该射手在一次射击中的得分.ABCD【答案】B【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.【详解】、中的X取值均可一一列出,而中的X是一个范围.不能一一列举出来,故选:B.规律方法判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果(2)将随机试验的结果数量化(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是例4(2022全国高二课时练习)下
6、面给出四个随机变量:一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数是一个随机变量;一个沿直线yx进行随机运动的质点,它在该直线上的位置是一个随机变量;某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数是一个随机变量;1天内的温度是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.【详解】中经过的车辆数和中寻呼次数都能列举出来,而中都不能列举出来,所以中的是一个离散型随机变量.故选:C.例5(2021全国高二课时练习)给出下列各量:某机场候机室中一天的游客数量;某寻呼台一天内收到的寻呼次数;某同学离开自己学校的距离;将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次
7、;体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是()ABCD【答案】A【解析】【分析】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.【详解】由题意,是离散型随机变量,是连续型随机变量,中体积为8的正方体的棱长是一个常量,不是随机变量.故选:A.题型三用随机变量表示事件的结果例6(2022全国高三专题练习)袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为()A25B10C7D6【答案】C【解析】【分析】根据题意列举出X的所有可能取值.【详解】X的可能取值为123,134,14523,15642,25734,358,459.故
8、选:C规律方法解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果例7(2021全国高二课时练习)若实数xR,记随机变量,则不等式1的解集所对应的的值为()A1B0C1D1或0【答案】A【解析】【分析】先解不等式1,再根据随机变量求解.【详解】不等式1,可化为不等式,即,解得0x1.而当x(0,1时,1.故选:A.例8(2021全国高二课时练习)一串钥匙有6枚,只有一枚能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁
9、的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为()A6B5C4D2【答案】B【解析】【分析】根据逐次试验可得正确的选项.【详解】由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,那么剩余的钥匙一定能开锁,故选:B.题型四求离散型随机变量的分布列例9(2022湖南高二课时练习)某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现挑选5名队员参加比赛,设X表示其中种子选手人数,求X的分布列【答案】012【解析】【分析】写出随机变量的所有取值,分别求出对应概率,写出分布列即可.【详解】解:可取,故分布列如下:012规律方法求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值;(2)求出每个取值对应的概率;(3)列表对应
10、,即为分布列例10(2022湖南高二课时练习)将个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号.现从中任取个球,以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列;(2)求的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)【解析】【分析】(1)由已知判断随机变量的所有取值,并分别判断其概率,可得分布列;(2)由(1)的分布列可得概率.(1)由已知可得随机变量的可能取值有:,所以,所以分布列为(2)由(1)得.题型五分布列的性质及其应用例11(2022吉林东北师大附中高二期末)已知随机变量X的分布列如表所示,则()X123Pa2a3aABCD【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质计算可得;【详解】解:依题意,解得,
11、所以;故选:C规律方法离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立例12(2022全国高二课时练习)已知随机变量X的概率分布为,则实数_【答案】【解析】【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意,由分布列的性质得,解得,所以实数.故答案为:例13(2022全国高二课时练习)设随机变量的分布列为,则_.【答案】#【解析】【分析】由分布列的性质列式求解,再根据的含义代入概率公式求解.【详解】由题意,所以,得,所以.故答案为:题型六两点分布例14(2021全国高二单元
12、测试)设随机变量X服从两点分布,若,则_【答案】0.6【解析】【分析】根据两点分布的性质即可求出答案.【详解】随机变量X服从两点分布,则,又,联立解得故答案为:0.6.规律方法两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;(2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X0)(或P(X1),便可求出P(X1)(或P(X0);(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它例15(2022湖南高二课时练习)将10个质地、大小一样的球装入袋中,其中6个白球,4个红球现从袋中任取一个球,用
13、X表示“取到白球”,即X=1,当取到白球时,0,当取到红球时.求随机变量X的概率分布【答案】01【解析】【分析】根据题意分别求出对应随机变量的概率,再写出分布列即可.【详解】解:由题意可知, ,故分布列如下:01例16(2020吉林长春模拟预测(理)武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”,要在10天之内,对武汉市民做一次全员检测,彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,有以下两种检验方式:方案:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案:按个人一组进行随机分组,把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性
14、,这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样,该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案中,某组个人中每个人的血化验次数为,求的分布列;(2)设. 试比较方案中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案,化验次数最多可以减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)【答案】(1)分布列见解析;(2),总次数为690次;,总次数为604次;,次数总为594次;减少406次【解析】【分析】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为
15、,可得,再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为,随机变量即可得出分布列.(2)由(1)的分布列可求出数学期望,然后令求出期望即可求解.【详解】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为,依题意可知,所以的分布列为:(2)方案中,结合(1)知每个人的平均化验次数为:所以当时, ,此时1000人需要化验的总次数为690次,此时1000人需要化验的总次数为604次,时, ,此时1000人需要化验的次数总为594次,即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少.而采用方案则需化验1000次,故在这三种分组情况下,
16、相比方案,当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望,考查了考生分析问题、解决问题的能力,属于中档题.【同步练习】一、单选题1(2021全国高二课时练习)下列结论中,正确的是()A随机事件个数与随机变量一一对应B随机变量与区间一一对应C随机变量的取值是实数D随机变量与自然数一一对应【答案】C【解析】【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.【详解】根据随机变量的定义知:随机变量的取值是实数,C正确;随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的,A错误;离散型随机变量与区间不是一一对应的,B错误;连续型随机变量与自然数不是一一对应,D错误.故选
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