6.2平面向量的运算 学案(教师版)
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1、6.2平面向量的运算【知识点梳理】知识点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,在平面内任取一点A,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作,即如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则2向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量,作,则三点不共线,以为邻边作平行四边形,则对角线这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则求两个向量和的运算,叫做向量的加法对于零向量与任一向量,我们规定知识点诠释:两个向量的和是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量的起点与终点.知识点二:向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边
2、形法则的概念已知个向量,依次把这个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则特别地,当与重合,即一个图形为封闭图形时,有2向量加法的运算律(1)交换律:;(2)结合律:知识点三:向量的三角形不等式由向量的三角形法则,可以得到(1)当不共线时,;(2)当同向且共线时,同向,则;(3) 当反向且共线时,若,则同向,;若,则同向,知识点四:向量的减法1向量的减法(1)如果,则向量叫做与的差,记作,求两个向量差的运算,叫做向量的减法此定义是向量加法的逆运算给出的相反向量:与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量(2)向量加上的
3、相反向量,叫做与的差,即求两个向量差的运算,叫做向量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法知识点诠释:(1)两种方法给出的定义其实质是一样的(2)对于相反向量有;若,互为相反向量,则(3)两个向量的差仍是一个向量2向量减法的作图方法(1)已知向量,作,则=,即向量等于终点向量()减去起点向量()利用此方法作图时,把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为终点的向量(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出作,则,如图由图可知,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量知识点五:数乘向量1.向量数乘的定义
4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作:(1);(2)当时,的方向与的方向相同;当时.的方向与的方向相反;当时,.2向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知,实数与向量的积的几何意义是:可以由同向或反向伸缩得到当时,表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上伸长为原来的倍得到;当时,表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上缩短为原来的倍得到;当时,=;当时,=-,与互为相反向量;当时,=实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法3.向量数乘的运算律设为实数结合律:; 分配律:,知识点六:向量共线的条件 1向量共线的条件(1)当向量时,与任一向量共线(2)当向量时,对于向量如果有一
5、个实数,使,那么由实数与向量的积的定义知与共线反之,已知向量与()共线且向量的长度是向量的长度的倍,即,那么当与同向时,;当与反向时,2向量共线的判定定理 是一个非零向量,若存在一个实数,使,则向量与非零向量共线3向量共线的性质定理若向量与非零向量共线,则存在一个实数,使知识点诠释:(1)两个向量定理中向量均为非零向量,即两定理均不包括与共线的情况;(2)是必要条件,否则,时,虽然与共线但不存在使;(3)有且只有一个实数,使(4)是判定两个向量共线的重要依据,其本质是位置关系与数量关系的相互转化,体现了数形结合的高度统一.知识点七: 平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义:已知两个
6、非零向量与,它们的夹角是,则数量叫与的数量积,记作,即有.并规定与任何向量的数量积为0.2. 如图(1),设是两个非零向量,作如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.如图(2),在平面内任取一点O,作.过点M作直线ON的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.知识点诠释:1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成;今后要学到两个向量的外积,而是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“ ”在向量运
7、算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替.(3)在实数中,若,且,则;但是在数量积中,若,且,不能推出.因为其中有可能为0.2. 投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为;当=180时投影为.3. 投影向量是一个向量,当对于任意的,都有.知识点八:平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积,这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形,其中,它的意义是,向量在向量方向上的投影是向量的数量,即。 事实上,当为锐角时,由于,所以;当为钝角时,由于,所以;当时,由于,所以
8、,此时与重合;当时,由于,所以;当时,由于,所以。知识点九:向量数量积的性质设与为两个非零向量,是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时,;当与反向时,. 特别的或4.5.知识点十:向量数量积的运算律 1.交换律:2.数乘结合律:3.分配律:知识点诠释:1.已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c.但是;2.在实数中,有(ab)c=a(bc),但是显然,这是因为左端是与共线的向量,而右端是与共线的向量,而一般与不共线.【典型例题】类型一:向量的加法运算例1已知、是不平行的向量,若,则下列关系中正确的是( )ABCD【答案】C【解析】2故选:C例2设,是任一非零向量,则在下列结论中:;.
9、正确结论的序号是( )ABCD【答案】D【解析】,又是任一非零向量,正确.故选:D.例3已知下列各式:; ; ; .其中结果为的是_.(填序号)【答案】【解析】; ; ; .故答案为:.变式1如图,在平行四边形中,O是和的交点.(1)_;(2)_;(3)_;(4)_.【答案】 【解析】(1)由平行四边形法则,;(2)由向量加法的三角形法则,;(3)由向量加法法则得,;(4)由向量加法法则得,故答案为:;变式2在中,若,(1)若P、Q是线段BC的三等分点,求证:;(2)若P、Q、S是线段BC的四等分点,求证:;(3)如果、是线段BC的等分点,你能得到什么结论?不必证明(已知)【解析】(1)解:当
10、P、Q是线段BC的三等分点时,以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC,连接AD,交BC于O点,连接PD、QD,如图所示,则 ,因为,所以且,所以四边形APDQ是平行四边形,所以.(2)解:当P、Q、S是线段BC的四等分点时,如图所示,则Q是BC的中点,所以.(3)结论:变式3如图,已知D, E, F分别是ABC三边AB, BC, CA的中点,求证:【解析】如图,连接DE, EF, FD,因为D, E, F分别是ABC三边的中点,所以四边形ADEF为平行四边形由向量加法的平行四边形法则,得,同理,将式相加,.类型二:向量的减法运算例4在四边形中,对角线与交于点O,若,则四边形一定是( )A矩形B
11、梯形C平行四边形D菱形【答案】B【解析】 , , , 四边形一定是梯形故选:B.例5如图,已知向量,求作向量【解析】解:(1)如图,将向量的起点平移到向量的起点,以向量的终点为起点,向量的终点为终点的向量即为向量;(2)如图,将向量的起点平移到向量的起点,以向量的终点为起点,向量的终点为终点的向量即为向量;例6在中,设,.设点分别是边的两个三等分点(其中点离点近,点离点近),试用表示和;【解析】解:如图,变式4如图,点O是的两条对角线的交点,求证:【解析】证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以因为,所以,即变式5已知P为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式试根据题意作图,观察四边
12、形ABCD的形状你发现四边形ABCD有什么特殊的性质?并说明你的依据【解析】由题设,可得如下示意图,表示同一向量,四边形ABCD为平行四边形,由已知条件,可得:,即,易知:且.四边形ABCD为平行四边形.类型三:与向量的模有关的问题例7(1)已知、的模分别为1、2、3,求|+|的最大值;(2)如图所示,已知矩形ABCD中,设,试求|+|的大小【解析】(1)|+|+|+|=1+2+3=6,|+|的最大值为6(2)过点D作AC的平行线,交BC的延长线于E,如图所示DEAC,ADBE,四边形ADEC为平行四边形,于是,例8.已知平面上不共线的四点,若,则等于( )ABC3D2【答案】C【解析】解:由
13、,得,即,所以,即,故选:C.变式6.已知非零向量,满足,且|=4,求|+|的值【解析】 如图,则以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则由于故,所以OAB是AOB为90的直角三角形,从而OAOB,所以OACB是矩形根据矩形的对角线相等有,即|+|=4变式7设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,16,则|等于_【答案】2【解析】由,得,而故答案为:2类型四:向量的数乘运算例9 计算下列各式:(1)4(+)3();(2)3(2+)(2+3);(3)【解析】 (1)原式=43+4+3=+7(2)原式=36+32+3=7+6(3)原式 变式8. 已知,求. 【解析】因为,所以,所以.例10.如
14、图所示,的两条对角线相交于点,且用表示【解析】在中 变式9如图,在中,D,E为边的两个三等分点,求【解析】,又D,E为边的两个三等分点,变式10如图,四边形ABCD中,已知.(1)用,表示;(2)若,用,表示.【解析】(1)因为,所以;(2)因为,所以.类型五:共线向量与三点共线问题例11.设两非零向量和不共线,(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数,使和共线.【解析】(1)证明 共线,又有公共点,三点共线.(2)解 和 共线,存在,使,则由于 和不共线,只能有 则.例12.已知向量,其中,不共线,向量,问是否存在这样的实数,使向量与共线?【解析】因为向量,所以要使与共线,则应有实数,使,即
15、,即得.故存在这样的实数,只要,就能使与共线.例13如图所示:,在中,向量,AD与BC交于点M,设,在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设p, q,求证:1.【解析】因为A,M,D三点共线,所以,因为B,M,C三点共线,所以,解得,所以,因为p, q,所以.因为共线,所以,即,所以1.变式11.已知向量是不共线的两个向量,(1)若,当时,求的值(2)若三点共线,求实数t的值;【解析】(1)当时,由于,所以,所以,解得.(2),由于三点共线,所以.变式12如图所示,在中,与相交于点,设,.(1)试用向量,表示;(2)过点作直线,分别交线段,于点,.记,求的值.【解析】(1)
16、由,三点共线,可设,由,三点共线,可设,解得,.(2),三点共线,设,由(1)知,.变式13在的边,上分别取点,使得,设线段与交于点,记,用,表示向量【解析】设,又,所以,因为,三点共线,三点共线,所以,解得,所以类型六:平面向量数量积的运算例141已知平面单位向量,且,则在方向上的投影向量为_;()的最小值是_【答案】【解析】由,两边平方得,而在方向上的投影向量为,(当时取得最小值)所以其最小值为.故答案为:,例15已知,且,则向量在向量上的投影向量的模等于_【答案】4【解析】由于,且,向量在向量上的投影向量的模,故向量在向量上的投影向量的模等于4故答案为:4例16已知,(1)求;(2)求向
17、量在向量方向上的投影【解析】(1),(2),向量a在向量ab方向上的投影为变式14已知平面向量,满足,.(1)求;(2)若向量与的夹角为锐角,求实数的取值范围.【解析】(1)依题意,得,所以;(2)由向量与的夹角为锐角,可得,即有,解得,而当向量与同向时,可知,综上所述的取值范围为.变式15已知,且向量与向量的夹角(1)求;(2)求向量在向量上的投影向量【解析】解:;(2)设与向量方向相同的单位向量为,则向量在向量上的投影为:,所以向量在向量上的投影向量为类型七:平面向量模的问题例17如图所示,已知在ABC中,AB3,AC2,BAC60,BEEC,AF2FC,则|( )ABCD【答案】C【解析
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