8.4空间点直线平面之间的位置关系 学案(教师版)
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1、8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 【知识点梳理】知识点一、平面的基本概念1.平面的概念:“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的知识点诠释:(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据);(2)“平面”无厚薄之分;(3)“平面”无边界,它可以向四周无限延展,这是区别“平面”与“平面图形”的依据2.平面的画法:通常画平行四边形表示平面知识点诠释:(1)表示平面的平行四边形,通常把它的锐角画成,横边长是其邻边的两倍;(2)两个相交平面的画法:当一个平面的一部分
2、被另一个平面遮住时,把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画;3.平面的表示法:(1)用一个希腊字母表示一个平面,如平面、平面、平面等;(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面;(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示,如平面或者平面;4.点、直线、平面的位置关系:(1)点A在直线a上,记作;点A在直线a外,记作;(2)点A在平面上,记作;点A在平面外,记作;(3)直线在平面内,记作;直线不在平面内,记作知识点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理,它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理1:(1)文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上
3、所有的点都在这个平面内;(2)符号语言表述:,;(3)图形语言表述:知识点诠释:公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2.公理2:(1)文字语言表述:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;(2)符号语言表述:、三点不共线有且只有一个平面,使得,;(3)图形语言表述:知识点诠释:公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据它还可用来证明“两个平面重合”特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件“有且只有一个”的含义可以分开来理解“有”是说明“存在”,“只有一个
4、”说明“唯一”,所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义(4)公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;过两条相交直线,有且只有一个平面;过两条平行直线,有且只有一个平面.(5)作用:确定一个平面的依据.3.公理3:(1)文字语言表述:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;(2)符号语言表述:且;(3)图形语言表述:知识点诠释:公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.知识点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题1证明点线共面的主要依据:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内
5、,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1);经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理2及其推论)2证明点线共面的常用方法:(1)证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证明其余各点都在这个平面内;(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证明其余直线均在这个平面内知识点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同条直线上1证明三点共线的依据是公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线也就说一个点若是两个平面的公共点,则这个点在这两个平面
6、的交线上对于这个公理应进一步理解下面三点:如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上2证明三点共线的常用方法方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点根据公理3知,这些点都在交线上方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上知识点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点1证明三线共点的依据是公理32证明三线共点的思路:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线
7、上的问题知识点六、异面直线1定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2画法:3.两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角知识点七、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没
8、有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点知识点八、直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内有无数个公共点直线a与平面相交有且只有一个公共点直线a与平面平行无公共点知识点九、平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点,这些点在一条直线上【经典例题】题型一 平面的概念及其表示例1(2022全国高一)如图所示,用符号语言可表示为( )A,B,C,D,【答案】A【解析】由图可知平面相交于直线,直线在平面内,两直线交于点,所以用符号语言可表示为,故选:A解题技巧(三种语言转换的注意事项)(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,
9、首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.例2(2021全国高一课时练习)用符号表示下列语句:(1)点A在直线l上,l在平面内;(2)平面和平面的交线是直线l,直线m在平面内;(3)点A在平面内,直线l经过点A,且直线l在平面外;(4)直线l经过平面外一点M【解析】(1)点A在直线l上,l在平面内,记为:;(2)平面和平面的交线是直线l,直线m在平面内,记为:平面平面=
10、直线l,直线m平面;(3)点A在平面内,直线l经过点A,且直线l在平面内外,记为:点A平面,点A直线l,直线l平面;(4)直线l经过平面外一点M,记为:点M平面,点M直线l.例3(2021全国高一课时练习)将下列符号语言转化为图形语言:(1)A, a.(2)a, P且P.(3)a, aA(4)a, c, b, abcO.【解析】(1)如图(1)所示(2)如图(2)所示(3)如图(3)所示(4)如图(4)所示题型二 平面的确定例4(2021江苏省镇江中学高一阶段练习)下列命题中正确的是( )A过三点确定一个圆B两个相交平面把空间分成四个区域C三条直线两两相交,则确定一个平面D四边形一定是平面图形
11、【答案】B【解析】A,过不共线三点确定一个圆,错误;B,两个相交平面把空间分成四个区域,正确;C,三条直线两两相交,若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面,否则不能确定一个平面,错误;D,四边形可以是平面图形,也可以是空间四边形,错误.故选:B例5(2022全国高一)以下说法中,正确的个数是( )不共面的四点中,其中任意三点不共线;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;首尾依次相接的四条线段必共面A0B1C2D3【答案】B【解析】正确,若四点中有三点共线,则可以推出四点共面,这与四点不共面矛盾;不正确,共面不具有传递性;不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内
12、,故选:B例6(2022全国高一)下列说法中正确的是( )A空间三点可以确定一个平面B梯形一定是平面图形C若A,B,C,D既在平面内,又在平面内,则平面和平面重合D两组对边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A,当三个点在同一直线上时,不能确定一个平面,故A不正确;对于B,梯形是一组对边平行且不相等,因此一定是平面图形,故B正确;对于C,当在一条直线上时,平面和平面也可能相交,故C不正确;对于D,当四边形的对边所在直线是异面直线时,四边形不是平面图形,故D不正确,故选:B例7(2022全国高一)下列命题正确的是()三点确定一个平面;圆上三点确定一个平面;圆心与圆上的两点确定一个平面;
13、两条平行直线确定一个平面ABCD【答案】C【解析】对于,若三点共线,则无法确定一个平面,错误;对于,圆上三点不共线,则圆上任意三点可确定一个平面,正确;对于,若圆上两点构成圆的直径,即与圆心共线,则此三点无法确定一个平面,错误;对于,两条平行直线可确定唯一一个平面,正确.故选:C.例8(2021全国高一课时练习)三个平面可以把空间分成n个部分,在下列选项中,n的值正确的有( )A5个B6个C7个D8个【答案】BCD【解析】三个平面两两平行,分成4个部分,如图1三个平面中有2个平行,另一个与它们相交,分成6个部分,如图2三个平面两两相交于同一直线,分成6个部分,如图3三个平面两两相交,三条交线两
14、两平行,这时把空间分成7个部分,如图4三个平面两两相交,三条交线共点,这时把空间分成8个部分,如图5故选:BCD题型三 点线共面例9(2021全国高一课时练习)如图,正方体中,分别为,的中点求证:,四点共面;【解析】证明:连接,在正方体中,分别为,的中点,是的中位线,又因为,四边形为梯形,即,四点共面解题技巧 (证明点线共面问题的常用方法)(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.例10(2021全国高一课时练习)如图,在正方体中,判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)由点A,O
15、,C可以确定一个平面;(2)由点A,确定的平面为平面.【解析】(1)不正确,由点A,O,C在同一条直线上,则不能确定一个平面,而有无数个平面.(2)正确,由A,不共线,则可确定一个平面.又,则面.由点A,确定的平面为面.例11(2021全国高一课前预习)如图所示,求证:直线,在同一平面内【解析】证明 方法一(纳入平面法),和确定一个平面,又,同理可证,直线,在同一平面内方法二(辅助平面法),和确定一个平面,确定一个平面,同理可证,不共线的三个点,既在平面内,又在平面内,平面和重合,即直线,在同一平面内题型四 三点共线例12(2021山东邹城高一期中)已知正方体,分别是棱,的中点()画出平面与平
16、面的交线,并说明理由;()设为直线与平面的交点,求证:,三点共线【解析】()如图所示,直线即为平面与平面的交线,理由如下:在正方体中,分别是棱,的中点,平面,平面,且与不平行,在平面内分别延长,则与必相交于一点,不妨设为点,平面,平面,平面,平面,即为平面和平面的公共点,又为平面和平面的公共点,连接,直线即为平面与平面的交线()证明:如图所示,在正方体中,且,四边形为平行四边形,为直线与平面的交点,又平面,平面,又平面,平面平面,三点共线例13(2021江苏高一专题练习)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C与截面DBC1交于O点,AC,BD交于M点,求证:C1,O,M三点共线【解
17、析】证明:如图,因为C1平面A1ACC1,且C1平面DBC1C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点,又因为MAC,所以M平面A1ACC1MBD,M平面DBC1,M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线O是A1C与平面DBC1的交点,O平面A1ACC1,O平面DBC1O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点O直线C1M,即C1,O,M三点共线题型五 三线共点问题例14(2022全国高一)如图,在三棱锥中,分别是的中点,点在上,点在上,且有.试判定直线的位置关系.【解析】如图,连接因为分别是的中点,所以为的中位线,所以且,又所以,且.由公理4
18、,,且,所以共面且不平行,因此延长交于.则 且,又因为面面,所以由公理3 故三线共点解题技巧(证明多点共线、多线共点的常用方法)(1)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直
19、线上.例15(2021全国高一课时练习)在三棱锥中,分别是线段的中点,分别是线段上的点,且.求证:(1)四边形是梯形;(2)三条直线相交于同一点.【解析】(1)分别是边的中点,由得:,且,且,四边形是梯形.(2)由(1)知:相交,设,平面,平面,同理可得:平面,又平面平面,和的交点在直线上,三条直线相交于同一点.题型六 截面问题例16(2022全国高一)已知正方体的棱长为2,若,分别是的中点,作出过,三点的截面.【解析】例17(2021全国高一课时练习)如图,在正方体中,M是的中点,试作出平面与平面ABCD的交线【解析】解:延长与的延长线交于点,延长到点,使得,连结,则就是平面与平面的交线,理
20、由如下:在正方体中,为棱的中点,所以为的中点,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,所以、四点共面,平面是平面与平面的截面,就是平面与平面的交线例18.(2021全国高一课时练习)如图,正方体的棱长为分别是的中点,设过三点的平面与交于点(1)画出过三点的平面与平面的交线,以及与平面的交线;(2)求的长【解析】(1)设三点确定的平面为,则与平面的交线为直线,设,则是与平面的交线,连接,则是所要画的平面与平面的交线(2)正方体棱长为,又,所以在中,所以题型七 直线与直线的位置关系例19(2022全国高一)已知,为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法正确的是( )A若,则a与b是
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