10.2事件的相互独立性 学案(教师版)
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1、10.2 事件的相互独立性 【知识点梳理】事件A与B相互独立对任意两个事件A与B,如果P(AB)P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立(mutually independent),简称为独立注意(1)事件A与B是相互独立的,那么A与B, A与B, A与B也是否相互独立.(2)相互独立事件同时发生的概率:P(AB)P(A)P(B).【典型例题】题型一 相互独立事件的判断例1(2022广东佛山高二期末)对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,其中,则()A事件A与B互斥B事件A与B相互独立C事件A与C互斥D事件A与C相互独立【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件求出,可判断A,C;
2、计算概率结合相互独立事件的意义判断B,D作答.【详解】因,由已知得:,即事件A与B互斥,A正确;因,事件A与B不独立,B不正确;因,由已知得:,即事件A与C不互斥,C不正确;因,有,事件A与C相互独立,D正确.故选:AD解题技巧(独立事件的判断)对于事件A,B,在一次试验中,A,B如果不能同时发生,则称A,B互斥,一次试验中,如果A,B两个事件互斥且A,B中必然有一个发生,则称A,B对立,显然AA为一个必然事件A,B互斥则不能同时发生,但有可能同时不发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响例2(2022湖南高二课时练习)一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为
3、红、黄、蓝的3个球试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件(1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.(2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.【答案】(1)A,B为相互独立事件;(2)A,B不是相互独立事件.【解析】【分析】根据古典概型的列举法求P(A)、P(B)、P(),进而判断P()P(A)P(B)是否成立,即可判断A,B是否为相互独立事件.(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1, 2, 3,所以样本空间1(1,1),(1,
4、2), (1,3),(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3),又A(1,1), (1,2), (1,3),B(1,2), (2,2),(3,2),则P(A),P(B).又(1,2),则P(),从而P()P(A)P(B)因此,A,B为相互独立事件(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,所以样本空间2(1,2),(1,3), (2,1), (2,3),(3,1),(3,2),又A(1,2), (1,3),B(1,2),(3,2),则P(A), P(B).又(1,2),则P(),此时P()P(A)P(B),因此,A,B不是相互独立事件题型二 相互独立事件
5、同时发生的概率例3(2022湖南高二课时练习)某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功相互独立(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由互斥事件和独立事件的概率公式计算,记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件,恰有两个项目成功拆成三个互斥事件和:;(2)利用对立事件的概率公式计算:至少有一个项目成功的对立事件是三个项目都不成功(1)记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件,则,恰有两个项目成功为事件,则;(2)记至少有一个项目成功为
6、事件,解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则A与B,A与B,A与B也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解例4(2022贵州遵义高一期末)某产品在出厂前需要经过质检,质检分为2个过程第1个过程,将产品交给3位质检员分别进行检验,若3位质检员检验结果均为合格,则产品不需要进行第2个过程,可以出厂;若3位质检员检验结果均为不合格,则产品视为不合格产品,不可以出厂;若只有1位或2位质检员检验结果为合格,则需要进行第2个过程第2个过程,将产品交给第4位和第5位质检员检验,若这2位质检员检验结果均为合格,则可以出厂,否则视为不合
7、格产品,不可以出厂设每位质检员检验结果为合格的概率均为,且每位质检员的检验结果相互独立(1)求产品需要进行第2个过程的概率;(2)求产品不可以出厂的概率【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分在第1个过程中,1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论,根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得;(2)首先求出在第1个过程中,3位质检员检验结果均为不合格的概率,再求出产品需要进行第2个过程,在第2个过程中,产品不可以出厂的概率,最后根据互斥事件的概率公式计算可得;(1)解:记事件A为“产品需要进行第2个过程”在第1个过程中,1位质检员检验结果为合格的概率,在第1个过程中,2位质检员检验结果为
8、合格的概率,故(2)解:记事件B为“产品不可以出厂”在第1个过程中,3位质检员检验结果均为不合格的概率,产品需要进行第2个过程,在第2个过程中,产品不可以出厂的概率,故例5(2022云南玉溪高二期末)某高校自主招生考试分笔试与面试两部分,每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,两部分考试都“通过”者,则考试“通过”,并给予录取.甲乙两人在笔试中“通过”的概率依次为,在面试中“通过”的概率依次为,笔试和面试是否“通过”是独立的,那么(1)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试,谁获得录取的可能性大?(2)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试,求恰有一人获得录取的概率.【答案】(1)甲获得录取的可能性大
9、;(2).【解析】【分析】(1)利用独立事件的乘法公式求出甲乙两人被录取的概率并比较大小,即得结果.(2)应用对立事件、独立事件的概率求法,结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.(1)记“甲通过笔试”为事件,“甲通过面试”为事件,“甲获得录取”为事件A,“乙通过笔试”为事件,“乙通过面试”为事件,“乙获得录取”为事件B,则,即,所以甲获得录取的可能性大.(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则.【同步练习】一、单选题1(2021湖南宁乡市教育研究中心高一期末)某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员,已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假
10、设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、,且他通过每个考核相互独立,若三个社团考核他都能通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则()ABCD【答案】D【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式,列出方程组,即可求得的值.【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,所以,即,解得.故选: D.2(2022浙江台州市书生中学高二开学考试)已知A,B是相互独立事件,且,则()A0.9B0.12C0.18D0.7【答案】C【解析】【分析】由对立事件概率公式求出,再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】解:因为,
11、所以,又A,B是相互独立事件,且,所以,故选:C.3(2022北京八中高二期末)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,一辆车从甲地到乙地,恰好遇到2个红灯的概率为()ABCD【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立,可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率:故选:B4(2022北京平谷高二期末)甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为()A0.72B0.26C0.7D0.98【答案】D【解析】【分析】利用对立事
12、件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设,飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、,所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选:D5(2022全国高三专题练习)2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功,这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为,每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成
13、功的概率为()ABCD【答案】D【解析】【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和,再求出每个事件的概率,然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.【详解】试验任务成功的事件是甲成功的事件,甲不成功乙成功的事件,甲乙都不成功丙成立的事件的和,事件,互斥,所以试验任务成功的概率.故选:D6(2022浙江高三期末)根据2021年某地统计资料,该地车主购买甲种保险的概率为0.4,购买乙种保险的概率为0.3,由于两种保险作用类似,因而没有人同时购买,设各车主购买保险相互独立,则估计该地100位车主中甲乙两种保险都不购买的车主平均有()人A40B30C20D10【答案】B【解析】【分析】根据题意得该地
14、车主中,甲乙两种保险都不购买的概率为,进而根据概率估计求解即可.【详解】解:根据题意得,该地车主中,甲乙两种保险都不购买的概率为,所以该地100位车主中甲乙两种保险都不购买的车主平均有人.故选:B7(2022北京海淀高一期末)米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒,要四个人共同打造一个信念,一起拼搏,每次交接都是信任的传递.甲乙丙丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛,教练组根据训练情况,安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是,假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方
15、法即可求得答案.【详解】由题意,三次交接棒不失误的概率分别为:,则该组合不失误的概率为:.故选:C.8(2021全国高三专题练习)如图,“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统,其杀伤空域大,抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强,导引系统先进(有两级指挥管制体制),最高速度4.2马赫,最大射程为200公里,射高0.5至30公里,主要攻击高空敌机或导弹,是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中,单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8,则两发齐射(是否成功拦截互不干扰),敌方高速飞行器被拦截的概率为()A0.96B0.88C1.6D0.64【答案】A【解析】【
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