六年级寒假班数学教案讲义：第6讲 一元一次不等式组（教师版）

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1、一元一次不等式（组）内容分析一元一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第2章第3节的内容本讲的重点是理解不等式的概念及其性质，并利用性质去解不等式及不等式组知识结构模块一：不等式及其性质知识精讲1、 不等式的概念用不等号“”、“ b，那么a + m b + m；如果a b，那么a + m 0，如果a b，那么am bm（或）；如果a b，那么am bm（或）4、 不等式的性质3不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即：已知m b，那么am bm（或）；如果a bm（或）例题解析【例1】 用不等式表示：（1）a与5的差小于；（2）3与x的和比x的3倍小；（3）a的与b的的差是

2、正数；（4）m的不大于n与7的差【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】读懂题意，抓住关键词，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等 关系转化为用数字符号表示的不等式【总结】本题考查了根据已知数量关系列不等式的方法【例2】 已知，根据不等式的性质1，用不等号填空：_，_，_，_【难度】【答案】；【解析】不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含字母的式子，不等号的方向 不变如果a b，那么a + m b + m【总结】本题考查了不等式的性质1的运用【例3】 已知，根据不等式的性质2，用不等号填空：_， _，_，_【难度】【答案】；【解析】不等式的两边同时乘以（或

3、除以）同一个正数，不等号的方向不变已知m 0， 如果a b，那么am bm（或）题目中、都是大于零 的数【总结】本题考查了不等式的性质2的运用【例4】 已知，根据不等式的性质3，用不等号填空：_，_【难度】【答案】；【解析】不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：已知m b，那么am bm（或）；题目中、都小于零【总结】本题考查了不等式的性质3的运用【例5】 设a b，用不等号填空，并写出理由（1）5a_5b（不等式的性质_）；（2）_（不等式的性质_）；（3）_（不等式的性质_）；（4）_0（不等式的性质_）【难度】【答案】（1），2；（2），3；（4），1【解析】根

4、据不等式的三个性质，牢记灵活运用【总结】本题考查了不等式性质的运用【例6】 用不等号填空：（1）当a 0，b 0，xy 0，则x_0，y_0；（3）若a 0，b 0，c ；（2），；（3）【解析】（1），同号得正，所以； （2）因为，所以同号，又因为，所以； （3）因为，所以，又，所以【总结】本题考查了不等式性质的运用【例7】 （1）如果a bc成立，那么c_0（2）若0 x 1，则_x，_x【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式的性质3应用； （2），可设，则， ；，则【总结】本题考查了不等式性质的运用及比较大小特殊值的取法【例8】 说明下列不等式是怎么变形的？（1）由，得；（2

5、）由，得；（3）若a 0，得ac + c bc + c【难度】【答案】见解析【解析】（1）不等式两边同时乘上，不等号方向改变，即， 所以； （2）在不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即， 所以；再在不等式两边同时除以，不等式仍成立，即， 所以； （3）在不等式两边同时乘以正数，不等式仍成立，即；再在不等式两边 时加上，所以【总结】本题主要考查了不等式基本性质的应用模块二：一元一次不等式的解法知识精讲1、 不等式的解和解集在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解不等式的解的全体叫做不等式的解集不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如：不等式x 3的解集在数轴上的表示

6、如下：01234不等式的解集在数轴上的表示如下：012342、 解不等式求不等式的解集的过程叫做解不等式3、 一元一次不等式及其解法只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（或等）的形式（其中）；例题解析（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集【例9】 检验下列各数是不是不等式的解：（1）0；（2）5；（3）6【难度】【答案】（1）不是；（2）是；（3）是【解析】（1）检验：当时，此时原不等式不成立， 故不是不等式的解； （2）检验：当时，此时不等式成立，故 是不等式的解； （3）检验：

7、当时，此时不等式成立，故 是不等式的解【总结】本题考查了不等式的解的判定【例10】 把下列不等式的解集在数轴上表示出来（1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】（1）如图：（2） 如图：【总结】本题考查了怎样在数轴上表示不等式解集【例11】 根据数轴上表示的不等式的解集，写出满足条件的不等式012（1）012（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】略【总结】本题考查了不等式解集【例12】 满足不等式的整数解有_个，其中最大的整数解是_，最大的负整数解是_，最小的非负解是_【难度】【答案】无数个；3；-1；0【解析】注意对边界数的取舍，小于4的整数有无数个【总结】本题考查了一元一次不等式的

8、整数解及整数解个数【例13】 求下列不等式的解集，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】见解析【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1等； 解：（1），即，原不等式的解集为，如图： （2），即，故，原不等式的解集为，如图： （3），即，原不等式的解集为，如图：【总结】本题考查了基本不等式的解法及其解题在数轴上的表示【例14】 解不等式，并求其正整数解【难度】【答案】，正整数解为：1、2、3、4【解析】 ； 所以不等式的解集为，正整数解有：1、2、3、4【总结】本题考查了不等式的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值【例15】 解不

9、等式，并将解集在数轴上表示出来【难度】【答案】见解析【解析】解： ； 所以不等式的解集为；如图： 【总结】本题考查了不等式的解法和利用数轴表示解集 【例16】 解不等式：【难度】【答案】【解析】解： 所以原不等式的解集为【总结】本题考查了含有分母的不等式的解集的求法，注意先去分母【例17】 若m、n为有理数，则不等式的解集是（ ）ABCD【难度】【答案】【解析】因为，所以，故原不等式的解集为【总结】本题考查了不等式的性质3的运用【例18】 已知，化简【难度】【答案】【解析】解：原不等式去括号、合并同类项可化为，解得：； 所以，原式【总结】本题考查了不等式的运算及绝对值的化简【例19】 已知不等

10、式的最小整数解为方程的解，求的值【难度】【答案】10【解析】原不等式的解集为，则其最小整数解为，所以， 解得：，所以【总结】本题考查了解一元一次不等式及一元一次方程，注意对最小整数解的理解【例20】 关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围【难度】【答案】【解析】解：原方程可化为，解得：，由原方程的解是非负数可得 ，解得：【总结】本题考查了根据方程的解是非负数将问题转化为一元一次不等式的问题【例21】 （1）若不等式的解集为，求a的取值范围；（2）若不等式的解集为，求不等式的解集【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）的解集为，； （2）不等式的解集为， ， 则且， 则，故， 所以，即

11、，则，所以不等式的解集为【总结】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键【例22】 解关于x的不等式：（）【难度】【答案】见解析【解析】， 去分母，得：， 去括号，得：， 化简，得： 分类讨论：当时，； 当，【总结】本题主要考查了含字母系数的不等式的解集的确定，注意要分类讨论模块三：一元一次不等式组知识精讲1、 一元一次不等式组有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、 不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集3、 解不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组4、 解一元一次不等式组的一般步骤（1）求出不等式组中各个不

12、等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集例题解析【例23】 利用数轴确定下列不等式组的解集：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】见解析【解析】如图：（1） 所以不等式组的解集为； （2） 所以不等式组的解集为； （3）所以不等式组的解集为； （4）所以原不等式组无解【总结】本题考查了在同一数轴上表示不等式组的解集【例24】 解不等式组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）无解【解析】解：（1） 由得：，由得：，所以不等式组的解集为； （2） 由得：，由得：，所以原不等式组无解【总结】本题考查了不等式组的解法

13、，注意同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小 小是空集【例25】 解不等式组：【难度】【答案】【解析】解：不等式的两边同时乘以，则， 即，所以，原不等式组的解集为【总结】本题考查了不等式组的解法【例26】 求不等式组的整数解【难度】【答案】【解析】解： 由得：，解得：， 由得：，解得：， 所以原不等式组的解集为；其整数解为【总结】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求法【例27】 解不等式组：【难度】【答案】【解析】解： 由得：；由得：； 由得：， 所以不等式组的解集为【总结】本题考查了不等式组的解法，注意不等式组的解集要取公共部分【例28】 若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）

14、ABCD【难度】【答案】【解析】由题意得：不等式组无解，则，解得：【总结】本题考查了不等式组无解的情况：大于大的数，小于小的数则无解【例29】 若方程组的解为正数，求k的取值范围【难度】【答案】【解析】解：解原二元一次方程组可得， 因为二元一次方程组的解为正数，可得， 由得：，由得：，所以不等式组的解集为：【总结】本题考查了二元一次方程组的解法及不等式的解法【例30】 如果不等式组的整数解仅为4、5，求a、b的取值范围【难度】【答案】，【解析】解：，由得：；由得：因为不等式组有解， 所以不等式组的解集为：，又不等式组的整数解仅为， 所以，故，【总结】本题主要考查了不等式组整数解的应用，此题综合

15、性较强，要认真分析随堂检测【习题1】 用不等式表示：（1）x与3的和是非负数；（2）b的一半小于b和a的积；（3）a与b的平方的和大于5；（4）a与b的平方和大于5；（5）a与b的和的平方大于5；【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】读懂题意，抓住关键词，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等 关系转化为用数字符号表示的不等式，注意（3）、（4）的区别【总结】本题考查了根据已知数量关系列不等式的方法【习题2】 下列各数哪些是不等式的解0、5、-9【难度】【答案】【解析】解：，有，解得：，所以由上面数字知， 为此不等式的解【总结】本题考查了不等式解得检验【习题

16、3】 下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【难度】【答案】【解析】由，再由不等式的性质1得：【总结】本题考查了不等式性质的运用【习题4】 x取何值时，与的差不大于1？【难度】【答案】【解析】解：由题意得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 解得： 故当时，代数式的差不大于1【总结】本题考查了列不等式解不等式【习题5】 求下列不等式的解集（1）； （2）；（3）； （4）【难度】【答案】见解析【解析】解：（1）去括号，得：， 化简，得：， 解得：， 所以不等式的解集为； （2）去分母，得：，去括号，得：，解得：， 所以不等式的解集为； （3）原不等式可化为：， 去分母，得：， 去括号，得：，

17、解得：， 所以不等式的解集为； （4）去括号，得： ， 去括号，得：， 去分母，得：， 解得：， 所以不等式的解集为【总结】本题考查了一元一次不等式的解法【习题6】 已知，求关于x的不等式的解集【难度】【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，则， 即，因为，所以【总结】本题考查了不等式的性质及解法，注意判定不等式两边所除的式子的符号【习题7】 解不等式组：（1）； （2）【难度】【答案】【解析】解：（1）， ， 所以不等式组的解集为； （2）， 由得：；由得：；由得：；由得：， 所以不等式组的解集为【总结】本题考查不等式组的解法及解得确定，注意同大取大，同小取小【习题8】 求不等式组的非负整数

18、解【难度】【答案】【解析】解：， 由得：；由得：，所以不等式组的解集为， 则非负整数解为【总结】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，注意对非负整数解的准确理解【习题9】 k取何值时，方程组的解为正数？【难度】【答案】【解析】解：由题意得方程组的解为， 因为方程组的解为正数，所以 由得：，由得：， 所以，当时，方程组的解为正数【总结】本题一方面考查解二元一次方程组，另一方面将解为正数转化为解不等式的问题【习题10】 解关于x的不等式：【难度】【答案】见解析【解析】解：不等式整理得， 当时，解得：；当时，解得：； 当时，原不等式为， 此时，若时，则解为全体实数；若时，则不等式无解【总结】本题考

19、查了不等式的解法及分类讨论情况，综合性较强课后作业【作业1】 用不等式表示：（1）y的2倍与1的和是非正数；（2）比m的30%少15的数是负数；（3）a与b的3倍的和不大于x的倒数；（4）p与q的绝对值的差小于它们的和的绝对值【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】读懂题意，抓住关键词，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等 关系转化为用数字符号表示的不等式【总结】本题考查了根据已知数量关系列不等式的方法【作业2】 若a b 0，用不等号填空（1）a + 3_b + 3；（2）_0；（3）2a_3a；（4）ab_；（5）ab_；（6）_【难度】【答案】；【解析】利用不

20、等式性质（1）、（2）、（3）完成【总结】本题考查了不等式的性质的应用【作业3】 判断：（1）若x 0，y 0，则；（ ）（2）如果，那么；（ ）（3）若a b b，那么（ ）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）利用不等式性质3可得；（2）的值不确定；（3）；（4）【总结】本题考查了不等式的性质的应用【作业4】 若不等式组的解集是，则_【难度】【答案】1【解析】解：， 由得：，由得：， 因为不等式组有解，所以原不等式组的解集为， 又，所以，即，所以原式【总结】本题考查了不等式组的解法【作业5】 不等式的非负整数解为_【难度】【答案】【解析】解：由题意得：整理，解得：，所

21、以其非负整数解为【总结】本题考查了不等式的解法及非负整数解的确认【作业6】 求下列不等式的解集（1）； （2）；（3）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）【解析】解：（1）去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 所以原不等式的解集为； （2）去分母，得：， 去括号，得：， 解得：， 所以原不等式的解集为； （3）原不等式可化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 化简，得：， 解得：， 所以原不等式的解集为【总结】本题考查了不等式的解法，解题时注意细心一些，利用不等式的性质进行恒等变形【作业7】 解不等式组：（1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】解：（1） 由得：，解得：， 由得：

22、，所以原不等式组的解集为； （2）， 由得：，由得：； 由得：， 所以原不等式组的解集为：【总结】本题考查了解不等式组的方法，注意同大取大，同小取小【作业8】 当a_时，是不等式的解集【难度】【答案】【解析】原不等式整理得：，因为其解集为，所以，即【总结】本题考查了不等式的性质及解法【作业9】 不等式的正整数解是方程的解，求的值【难度】【答案】【解析】解：由题意得：不等式的解集为，其正整数解为， 把带入方程中，则：，解得：， 所以原式【总结】本题考查了不等式的解法及方程的解，注意综合分析【作业10】 如果不等式组的整数解仅为1、2、3，适合这个不等式组的整数m与n共有多少对？【难度】【答案】72【解析】由不等式组可得：， 满足此不等式的整数解仅为1、2、3， ， 解得：， 所以的整数解有9个，的整数解有8个， 所以共有对【总结】本题考查了一元一次不等式组的整数解，注意认真分析