六年级寒假班数学教案讲义：第3讲 有理数的乘方及混合运算（教师版）

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1、有理数的乘方及混合运算内容分析有理数的乘方、混合运算及科学记数法是初中数学六年级下学期第1章第2节的内容主要学习乘方的概念及运算，混合运算的相关法则及科学记数法表示方法重点在于有理数的混合运算，同学们需要多加练习知识结构模块一：有理数的乘方知识精讲1、 乘方（1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作，即（2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方乘方的运算结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）（3）读法：读作a的n次方，看作运算结果时，读作a的n次幂（4）特别地：，（n为正整数）（5）正数的任何次幂都是正数；负数

2、的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数例题解析【例1】 填空：（1）的底数是_，指数是_；（2）的底数是_，指数是_；（3）的底数是_，指数是_【难度】【答案】（1）3、2； （2）-3、2； （3）3、2【解析】在中，a叫做底数，n叫做指数【总结】考查幂的相关概念【例2】 下列说法正确的是（ ）A表示的积B任何一个有理数的偶次幂都是正数C与互为相反数D一个数的平方是4，这个数就是2【难度】【答案】C【解析】A表示222，错误； B0除外，错误； C，正确； D也可能是-2，错误【总结】本题主要考查幂的有关概念及运算，注意正确理解【例3】 计算：（1）_； （2）_； （3）_；（4）_； （

3、5）_；（6）_【难度】【答案】（1）25；（2）；（3）27；（4）；（5）； （6）【解析】（1）原式=； （2）原式=；（3）原式； （4）原式；（5）原式； （6）原式【例4】 下列代数式中，值一定是正数的是（ ） ABCD【难度】【答案】C【解析】Ax可能为0，错误；Bx=1时值为0，错误；Dx=2时值为-3，错误【总结】本题主要考查平方及绝对值的相关概念【例5】 用“”号连接，得_【难度】【答案】【解析】因为，所以【总结】本题主要考查幂的运算及有理数的大小比较【例6】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）2； （2）1； （3）72【解析】（1）原式=；（2）原式=；

4、 （3）原式=【总结】考查有理数的乘方运算，注意符号的确定【例7】 计算： （1）；（2）【难度】【答案】（1）2； （2）【解析】（1）原式=； （2）原式=【总结】考查有理数的乘方运算，注意符号的确定【例8】 如果，那么a是_【难度】【答案】0【解析】由题已知【总结】考查有理数的乘方运算及绝对值的化简，注意任何有理数的偶次幂都是非负数【例9】 计算：【难度】【答案】8【解析】原式=【总结】本题一方面考查有理数的乘法运算，另一方面考查幂的简便运算，注意进行观察【例10】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题综合性较强，一方面考查对幂的理解，另一方面考查乘法分配律的逆运算【例11】

5、 （1）若a与b互为倒数，那么与是否互为倒数？那么与是否互为倒数？ （2）若a与b互为相反数，那么与是否互为相反数？那么与是否互为相反数？【难度】【答案】（1）均互为倒数； （2）与不是相反数；与是相反数【解析】（1）由题意知，所以，所以均互为倒数； （2）【总结】本题一方面考查倒数和相反数的概念，另一方面考查偶次幂与奇次幂的运算【例12】 已知，求的值【难度】【答案】【解析】由题意知：，解得：， 所以【总结】本题综合性较强，主要考查非负数的和为零的基本模型，另外还考查了幂的运算模块二：有理数的混合运算知识精讲1、 有理数的混合运算（1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果

6、有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号（2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即 ，（3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算例题解析【例13】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用【例14】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）0【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用【例15】 计算：（1）； （2）【难度】【答案】（1）； （

7、2）【解析】（1）原式=； （2）原式=【总结】考查有理数的混合运算，注意绝对值的化简以及分数与小数的运算技巧【例16】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式=； （2）原式= = = =【总结】考查有理数的混合运算，注意先确定符号再计算，能简便运算时要简便运算【例17】 计算： （1）； （2）【难度】【答案】（1）； （2）13【解析】（1）原式=； （2）原式= = =13【总结】考查有理数的混合运算，注意先确定符号再计算，能简便运算时要简便运算【例18】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式= （2）原式=【总结】本题

8、主要考查有理数的混合运算，注意题（2）利用乘法分配律可以将计算简单【例19】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）25； （2）【解析】（1）原式= = = =25； （2）原式= =【总结】本题主要考查有理数的混合运算，计算时注意按照运算顺序进行计算【例20】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算【例21】 计算：【难度】【答案】【解析】原式= = =【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算【例22】 计算：【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题综合性较强，包含的运算较多，注意准

9、确运用相关的运算法则【例23】 【难度】【答案】【解析】原式= = = =【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算模块三：科学记数法知识精讲1、 科学记数法把一个数写成（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法例题解析【例24】 用科学记数法表示下列各数：（1）3507 =_；（2）_；（3）_；（4）_【难度】【答案】（1）；（2）； （3）； （4）【解析】略【总结】本题主要考查科学记数法的概念及表示【例25】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_【难度】【答案】（1）3000；（2）4306000；（3

10、）-5400； （4）-12080【解析】略【总结】本题主要考查对科学记数法的理解及运用【例26】 若，则_【难度】【答案】1【解析】，所以【总结】在科学记数法中，n等于整数位数减1【例27】 用科学记数法表示下列各数：（1）光的速度大约是300000000米/秒；（2）地球半径约为6400000米；（3）赤道长约为40000000米；（4）地球表面积为510000000000000平方米【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】略【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用【例28】 2008年北京奥运会火炬接力境内传递距离约为137000千米，则用科学记数法表示为（ ）米A

11、BCD【难度】【答案】D【解析】【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用【例29】 1997年5月，IBM公司生产的超级国际象棋电脑“深蓝”，战胜了国际象棋冠军卡斯帕罗夫，它的计算速度可达到约每秒钟2亿步；2016年3月，在韩国首尔，旷世瞩目的人机大战中，谷歌开发的围棋程序AlphaGo战胜了韩国围棋九段棋手李世乭，它的计算速度约是“深蓝”的3万倍，请计算AlphaGo的计算速度约为多少？（结果用科学记数法表示）【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用【例30】 地球与太阳的距离约千米，光的速度是米/秒，那么，太阳光射到地球上约需要多少秒？（结果用科学记

12、数法表示）【难度】【答案】秒【解析】，【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用随堂检测【习题1】 对于式子，以下说法正确的是（ ）A是底数，2是幂B5是底数，2是幂C5是底数，2是指数D是底数，2是指数【难度】【答案】D【解析】在中，a叫做底数，n叫做指数【总结】考查幂的相关概念【习题2】 把下列各数写成科学记数法：9000 =_，7031000 =_【难度】【答案】； 【解析】略【总结】考查科学记数法的运用【习题3】 填空：_，_，_【难度】【答案】； ； 【解析】略【总结】考查有理数的乘方运算，分清楚底数和指数【习题4】 判断：（1）若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0；（ ）

13、（2）；（ ）（3）一个数的平方一定大于这个数；（ ）（4）平方是8的数有2个，它们是（ ）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）正确； （2），错误； （3），错误； （4）的平方是4不是8，错误【总结】考查有理数的乘方运算，注意对概念的辨析【习题5】 n为正整数，则_，_【难度】【答案】1； 【解析】； 【总结】考查的偶次幂是1，奇次幂是的运用【习题6】 下列各式中，计算出来的值最大的是（ ）ABCD【难度】【答案】D【解析】A的结果是；B的结果是；C的结果是； D的结果是，故选D【总结】考查科学记数法的表示及计算【习题7】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）

14、；（5）；（6）【难度】【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）； （6）【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式= （4）原式= = = =； （5）原式=； （6）原式=【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用【习题8】 已知，则的值为多少？【难度】【答案】-1【解析】由题意知：a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2，所以【总结】本题主要考查几个非负数的和为零的基本模型【习题9】 根据乘方的意义，得，则， 试计算（m，n是正整数）【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查对新运算的理解及运用【习题10】 观察下列各等式： ； 通过上述观察，你能猜想

15、出反映这种规律的一般结论吗？ 你能运用上述规律求的值？【难度】【答案】； 【解析】， 【总结】考查有理数的乘方运算及对规律的归纳总结课后作业【作业1】 两个有理数互为相反数，那么它们的n次幂的值（ ） A相等B不相等C绝对值相等D没有任何关系【难度】【答案】C【解析】互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，所以绝对值相等【总结】考查对幂的理解及运用【作业2】 地球上陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为_平方千米；地球上海洋面积约为361000000平方千米，用科学记数法表示为_平方千米 【难度】【答案】； 【解析】略【总结】考查科学记数法的运用【作业3】 下列各

16、对数中，数值相等的是（ ）A与B与C与D与【难度】【答案】B【解析】A-9-8，故错误；B-8=-8，正确； C-99，故错误；D36-12，故错误【总结】考查有理数的乘方运算【作业4】 平方等于它本身的数是_，立方等于它本身的数是_【难度】【答案】0、1 ； 0、1【解析】略【总结】考查对平方及立方的理解及计算【作业5】 若，则b_0【难度】【答案】【解析】因为、所以，所以，所以b0【总结】本题主要考查正负数的乘法的正负【作业6】 _【难度】【答案】【解析】原式=【总结】本题主要考查有规律的运算，注意运算中共有2015个【作业7】 一个人每天吸入和呼出大约20000升空气，一年吸入和呼出的空

17、气大约有多少升？（结果用科学记数法表示）【难度】【答案】升【解析】【总结】考查科学计数法在实际问题中的运用【作业8】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）9； （2）； （3）0； （4）； （5）-28； （6）1【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=； （5）原式= ； （6）原式= = = =1【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用【作业9】 已知与互为相反数，求的值？【难度】【答案】【解析】由题意知【总结】本题综合性较强，一方面考查对相反数的概念的理解，另一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用【作业10】 观察下面各等式，找出其中规律：；应用你所发现的规律，请你：（1）写出第2016行式子；（2）写出第n行式子【难度】【答案】（1）； （2）【解析】由已知易观察出 （1）； （2） 【总结】本题主要考查对规律的归纳及总结，注意认真观察