六年级寒假班数学教案讲义：第2讲 有理数的四则运算（教师版）

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1、有理数的四则运算内容分析有理数的加减乘除四则运算是初中数学六年级下学期第一章第二节的内容本讲会讲解有理数加减乘除的基本法则，并进行相关的练习，为后续的学习打好基础知识结构模块一：有理数的加法知识精讲1、 有理数加法法则（1）同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加（2）异号两数相加：绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号（3）一个数同零相加：仍得这个数2、 有理数加法的运算律 交换律：； 结合律：例题解析【例1】 计算： （1）；（2）； （3）；（4）【难度】【答案】（1）61；（2）；（3）；（4）【解析

2、】有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加【总结】本题考查了有理数的加法运算【例2】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】有理数的加法法则：异号两数相加，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对 值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号【总结】本题考查了有理数的加法运算【例3】 如果两个数的和是正数，那么（ ）A这两个数都是正数B这两个数一正一负C这两个数中至少有一个是正数D以上说法都不对【难度】【答案】C【解析】由于两个数的和是正数，那么这两个数可以都为正数（或一个为），也可以一正 一负，但正数的

3、绝对值要大【总结】本题考查了有理数的加法运算的应用，需要熟练掌握法则【例4】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）=； （2）=； （3）= =； （4）【总结】本题考查了有理数的运算，注意法则的熟练运用 【例5】 用简便方法计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式【总结】本题考查了有理数的简便运算，注意方法的选择【例6】 已知两个数和，试求下列各种情况的值：（1）求这两个数的相反数的和；（2）求这两个数的和的相反数；（3）求这两个数和的绝对值；（4）求这两个数绝

4、对值的和【难度】【答案】（1）2；（2）2；（3）2；（4）8【解析】（1）的相反数是，的相反数是，； （2），的相反数是； （3），绝对值是； （4），【总结】本题考查了相反数和绝对值的应用【例7】 某出租车从A地出发，在东西路上行驶，如果规定向东行驶为正，向西行驶3为负，一天的行驶记录如下（单位：千米）： ， 求最后收工时出租车距离A地多远？若每千米耗油03升，问从出发到收工共耗油 多少升？【难度】【答案】（1）收工时距A地，且在A地东边；（2）【解析】（1）； 即收工时距A地km，且在A地东边 （2）； 即从出发到收工共耗油【总结】本题考查了正负数的意义及有理数的运算在实际问题中的运用【

5、例8】 计算：【难度】【答案】50【解析】由式子可知：每相邻的两个数字相加为；则：原式【总结】本题考查了观察规律及有理数的运算模块二：有理数的减法知识精讲1、 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数：例题解析【例9】 计算： （1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】略【总结】本题考查了简单的有理数运算【例10】 下列说法正确的是（ ）A两个数之差一定小于被减数B减去一个负数，差一定大于被减数C减去一个正数，差不一定小于被减数D0减去任何数，差都是负数【难度】【答案】B【解析】学会举反例来判断正误【总结】本题考查了有理数减法运算法则【例11

6、】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数的减法运算，注意法则的准确运用【例12】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意加减法则的准确运用【例13】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数混合运算的简便组合运算【例14】 已知，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】见解析【解析】（1）原式；

7、 （2）原式； （3）原式； （4）原式【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意法则的准确运用【例15】 计算：【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题考查了有理数的简便运算，综合性较强，注意观察数据的特征【例16】 分别求出数轴上两点间的距离：（1）表示数的点与表示数的点；（2）表示数的点与表示数的点；（3）表示数9的点与表示数的点【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】数轴上两点的距离等于两数差的绝对值； （1）； （2）； （3）【总结】本题考查了数轴上两点的距离的运算，注意对公式的准确理解 【例17】 黄浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分

8、米，第四天上升了厘米，问第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高多少米？【难度】【答案】米【解析】将上升记为+，下降记为-， 毫米=厘米，0.9分米= 9厘米， 则：（厘米）， 厘米=米 即第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高0.0308米【总结】本题考查了正、负数的实际应用及运算，注意单位的统一模块三：有理数的乘法知识精讲1、 两数相乘的符号法则 正乘正得正，正乘负得负，负乘正得负，负乘负得正（同号得正，异号得负）2、有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与零相乘，都得零3、有理数相乘的符号法则几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，

9、积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0例题解析【例18】 计算：_，_，_，_，_，_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（先定符号）【总结】本题考查了简单的有理数的乘法运算，注意先确定符号，再计算【例19】 如果，那么ab_0；如果，那么ab_0【难度】【答案】【解析】则为正，则为负，故；则为负，则为负，故【总结】本题考查了有理数乘法的运算法则【例20】 五个有理数的积是负数，则正因数的个数为（ ） A2个B4个C1个、3个或5个D0个、2个或4个【难度】【答案】【解析】由五个有理

10、数的积为负数，则负因数为奇数个，即为1、3、5，所以正因数有0、2、4个【总结】本题考查了有理数乘法运算法则【例21】 如果， ，那么关于这两个数的说法正确的是（ ）A符号相反B符号相反且绝对值相等C符号相反且负数的绝对值大D符号相反且正数的绝对值大【难度】【答案】D【解析】由，得异号，又，得中正数的绝对值大，故选【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用【例22】 如果， ，那么关于这两个数的说法正确的是（ ）A都是正数B都是负数C符号相反且负数的绝对值大D符号相反且正数的绝对值大【难度】【答案】B【解析】由，得同号，又，得均为负数，故选【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用【例23】

11、计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数乘法运算法则，注意先确定符号再计算【例24】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式； （2）原式，0乘以任何数都为0； （3）原式【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算【例25】 计算： （1）；（2）； （3）；（4）【难度】【答案】见解析【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算acb0【例26】 在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示，化简式子：【难度】【答案】【解析】由数

12、轴得：，则， 所以，故原式【总结】本题考查了绝对值的化简运算【例27】 已知，则_【难度】【答案】【解析】由题意得：，又，则异号， 当时，； 当时，【总结】本题考查了绝对值的应用及有理数乘法应用模块四：有理数的除法知识精讲1、 有理数除法法则（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（2）零除以任何一个不为零的数，都得零（3）甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即（）例题解析【例28】 计算：_，_，_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除【总结】本题考查了简单的有理数除法运算【例29】 填空：（1）如果，那么_0；（2）

13、如果，那么_0；（3）如果a = 0，那么_0【难度】【答案】（1）；（3）=【解析】（1）则为正，则为负，故； （2）则为负，则为负，故； （3）则为0，故【总结】本题考查了有理数除法运算法则的运用，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除【例30】 下列说法错误的是（ ）A任何有理数都有倒数B互为倒数的两个数积为1C互为倒数的两个数同号D1和互为负倒数【难度】【答案】A【解析】是有理数，但没有倒数；两数相乘积为1，则两数互为倒数【总结】本题考查了倒数的定义【例31】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】见解析【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式

14、； （4）原式； （5）原式； （6）原式【总结】本题考查了有理数的除法运算法则，注意化成乘法后先约分再化简【例32】 若，则与的大小关系为_【难度】【答案】【解析】两数同为正数，倒数大的反而小【总结】本题考查了倒数的应用【例33】 若a、b为倒数，c、d为相反数，=_【难度】【答案】【解析】由题意得：，所以原式；两数互为相反数，则相加和为0； 两数互为倒数，则相乘积为1【总结】本题考查了相反数和倒数的应用【例34】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】见解析【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式【总结】本题考查了有理数乘除法的混合运算，注意法则的准确运用【例35】 已知有理数

15、a、b、c满足，求的值【难度】【答案】【解析】因为，所以中必有两正一负，即之积为负， 所以原式【总结】本题考查了绝对值的应用【例36】 若，则有多少个不同的值？说明理由【难度】【答案】2个【解析】分类讨论：就的正负性进行讨论， 当均为正时，原式； 当有一个负数，两个正数时，原式； 当有两个负数，一个正数时，原式； 当均为负数时，原式，所以共有两个不同的值【总结】本题综合性较强，考查了有理数的运算及绝对值的性质，注意要分类讨论随堂检测【习题1】 对于任意两个有理数a、b，下列各项成立的是（ ）A若，则B若，则，C若，则D若，则【难度】【答案】A【解析】通过有理数加法运算法则或举反例说明即可【总结

16、】本题考查了有理数加法运算应用【习题2】 若两个有理数的差是正数，则下列说法正确的是（ ）A被减数是正数，减数是负数B被减数和减数都是正数C被减数大于减数D被减数和减数不能同为负数【难度】【答案】C【解析】根据有理数减法法则，举出反例即可；减去一个数等于加上这个数的相反数【总结】本题考查了有理数减法运算法则【习题3】 如果是负数，那么关于m的说法中正确的是（ ）ABCD【难度】【答案】A【解析】由题意得：，则【总结】本题考查了不等式的性质【习题4】 如果一个数的绝对值与这个数的商等于，则这个数是（ ） A正数B负数C非正数D非负数【难度】【答案】B【解析】设这个数为，则有，当时，得，故这个数为

17、负数【总结】本题考查了绝对值的意义及应用【习题5】 如果，那么t和它的相反数的差的绝对值等于（ ）AtB0CD【难度】【答案】D【解析】由题意得：，故【总结】本题考查了绝对值的化简应用【习题6】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数加减法的简便运算【习题7】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用 【习题8】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）22；（2）4【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数的简便运

18、算【习题9】 a、b为两个任意有理数，试比较、与a的大小【难度】【答案】见解析【解析】若a、b均为正数，则； 若a、b均为负数，则； 若，则； 若，则【总结】本题考查了作差法比较有理数的大小【习题10】 若，且， 求的值【难度】【答案】【解析】因为；故中有一个是负数，假设，则； 所以，有， 所以， 所以原式【总结】本题考查了绝对值的化简及代数的求值，综合性较强，注意分析符号课后作业【作业1】 下列说法正确的是（ ）A两数之和不可能小于其中的一个加数B两数相加就是它们的绝对值相加C两个负数相加，和取负号，绝对值相减D不是互为相反数的两个数，相加不可能等于零【难度】【答案】D【解析】选项，当两数异

19、号时，两数之和一定小于其中一个加数； 选项，当两数异号相加时，其和就不是它们的绝对值相加； 选项，两个负数相加，和取负号，绝对值相加【总结】本题考查了有理数加法，根据异号两数相加的特殊性可得【作业2】 下列结论不正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，且，则【难度】【答案】C【解析】中，若，则，由题知，即， 所以本题错误【总结】本题考查了有理数加减法的理解与运用【作业3】 一个有理数与它的相反数的乘积（ ） A大于0B小于0C一定不大于0D以上都有可能【难度】【答案】C【解析】若有理数是0，则0的相反数是0，乘积为0；若有理数不是0，它们的乘积是负数， 异号得负【总结】本题考查了相反数的定

20、义及有理数乘法法则【作业4】 （1）设m为的相反数与的和，n为比大5的数，m + n =_； （2）已知x是5的相反数，y比x的相反数小6，则_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），故； （2），故【总结】本题考查了相反数的运用及有理数的运算，注意认真审题【作业5】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数加减的简便运算【作业6】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用【作业7】 计算：（1）； （2）【难度】【答案】（1）

21、；（2）【解析】（1）原式； （2）原式【总结】本题考查了有理数四则运算，注意运算顺序【作业8】 （1）若，则t与2t哪个大？若呢？若呢？ （2）t与2t哪个大？【难度】【答案】见解析【解析】（1）若，则； 若，则； 若，则； （2）由（1）得：当时，； 当时，；当时，【总结】本题考查了有理数的大小比较【作业9】 “二十四点”的游戏规则：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数都必须用，且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4，可作如下运算：上述运算与视为相同方法的运算现有四个有理数3，4，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24，运算式如下：（1）_；（2）_；（3）_另有四个有理数3，7，可用运算式_使其结果等于24【难度】【答案】见解析【解析】（1）；（2）；（3）； 【总结】本题考查了有理数的混合运算，开放性题目，综合性较强