九年级数学寒假班讲义：第2讲 方程与不等式组（教师版）

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1、方程与不等式（组）知识结构模块一：整式方程知识精讲一、 等式及其性质1、如果，那么2、如果，那么；如果（），那么二、 方程及相关概念1、未知数：用字母x、y等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数2、方程：含有未知数的等式叫做方程3、元：在方程中，所含的未知数又称为元4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程5、项：在方程中，被“+”、“”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“”号在内）称为一项；如在方程和中，x、2.5、都是方程中的一项6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，的系数为7、次数：在一项中，所

2、含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、的次数都是18、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，9、方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解三、 一元一次方程1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程3、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（）的形式；（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解4、含有字母系数的一元一次方程的解法：（1）含有字母系数的一元一次方程：在方程（）中，x是未知数，a、b是用字母表示的已知数，对x来

3、说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程（2）解法：（a、b）当方程的解是；当，方程的解为任意数；当，时，无解四、 二元一次方程1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集五、 二元一次方程组1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适

4、合的解，叫做二元一次方程组的解3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法六、 三元一次方程组1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组2、解三元一次方程组的思想：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元七、 一元二次方程1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程2、二次方程的一般形式是（）其中叫做二次项，叫做一次项

5、，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数3、二次方程的常用解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法4、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程（）的根的判别式为（1）一元二次方程（）有两个不相等实数根，即（2）一元二次方程（）有两个相等实数根，即（3）一元二次方程（）无实数根八、 二元二次方程（组）1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组例题解析3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加

6、减消元法【例1】 （奉贤区二模第2题）二元一次方程的解的个数是( )A1个B2个C3个D无数个【难度】【答案】D【解析】整式方程中，方程个数小于未知数个数都有无数个解【总结】考察方程的解的定义【例2】 （闸北区二模第4题）方程组的解是( )ABCD【难度】【答案】B【解析】将B答案中的未知数的值代入方程组中方程成立，则为方程组的解【总结】考察方程组的解的定义【例3】 （虹口区二模第10题）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是_（写出一个符合条件的即可）【难度】【答案】【解析】二元二次方程的定义为：含有两个未知数，最高次数为2的整式方程【总结】考察二元二次方程的定义【例4

7、】 （黄浦区二模第12题）如果关于x的方程有一个解是，那么k =_【难度】【答案】3【解析】将代入方程中可得：【总结】考察方程的解的定义【例5】 （普陀区二模第10题）一元二次方程根的判别式的值是_【难度】【答案】-36【解析】，【总结】考察一元二次方程根的判别式的定义【例6】 （金山区二模第3题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m等于( )A4或0BC4D【难度】【答案】C【解析】，方程为一元二次方程，【总结】考察一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0【例7】 （松江区二模第10题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_【难度】【答案】【解析】，【总结】考察一元

8、二次方程根的判别式的应用【例8】 （闸北区二模第3题）下列方程中，没有实数根的方程是( )ABCD【难度】【答案】C【解析】A答案中，有两个不相等的实数根；B答案中，有两个相等的实数根；C答案中，没有实数根；D答案中，有两个不相等的实数根【总结】考察一元二次方程根的判别式的应用【例9】 （闸北区二模第14题）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是_【难度】【答案】【解析】2014年的年利润为，2015年的年利润为【总结】考察一元二次方程的应用增长率问题【例10】

9、 （徐汇区二模第20题）解方程组：【难度】【答案】，【解析】由方程得；与方程组合得方程组；（）或（）解方程组（）、（）得或原方程组的解是，【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组【例11】 （松江区二模第20题）解方程组：【难度】【答案】【解析】由得，则原方程组化为，解得：【总结】考察二元二次方程组的解法，将可以因式分解的方程先进行因式分解，然后重组方程进行求解【例12】 （普陀区二模第20题）解方程组：【难度】【答案】【解析】方程可变形为，得：或，原方程组可化为解得：原方程组的解是【总结】考察二元二次方程组的解法【例13】 （静安区二模第22题）某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树

10、木共6600棵，其中甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？【难度】【答案】（1）甲种4200棵，乙种2400棵；（2）14人种植甲，12人种植乙【解析】（1）设甲种树木的数量为棵，乙种树木的数量为棵，由题意有：，解得：甲种树木的数量为4200棵，乙种树木的数量为2400棵（2） 设甲种树木的人数为人，乙种树木的人数为人，由题意有：，解得：，经检验，是原方程的解安排种植甲种树木的14人，乙种树木的1

11、2人，才能确保同时完成各自的任务【总结】考察分式方程的应用，注意解完之后要检验【例14】 （松江区二模第21题）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？【难度】【答案】2100元【解析】（1）设一月份每辆电动车的售价是x元根据题意得：解得：答：一月份每辆电动车的售价是2100元【总结】考察一元一次方程的应用模块二：分式方程与无理方程知识精讲一、 分式方程1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程2、分式方程的解法

12、：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解3、增根：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根4、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验有两种方法：将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解6、易错知识辨析：（1）去分母时，不要

13、漏乘没有分母的项；（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根（3）如何由增根求参数的值：将原方程化为整式方程；将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组二、 无理方程1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解3、解无理方程的一般步骤：（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验：直接代入原方程中，

14、看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解例题解析【例15】 （松江区二模第14题）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是_【难度】【答案】【解析】换元后可得：，左右乘以可得：【总结】考察分式方程的换元法，注意最终结果要化成整式方程【例16】 （闵行区二模第3题）下列方程中，有实数根的方程是（）ABCD【难度】【答案】D【解析】A答案中，偶数次方的结果都为非负数，所以方程无解；B答案中二次根式结果均为非负数，所以方程无解；C答案中分式方程化为整式方程解得：，代入分式方程中为增根，所以方程无解D答案

15、中化为整式方程为：，解得：，经检验为原方程的增根，所以原方程的解为【总结】考察高次方程、分式方程、无理方程的解法【例17】 （金山区二模第12题）方程的解是_【难度】【答案】【解析】左右两边同时乘以得：，则经检验，是原方程的解原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，注意要验根【例18】 （1）（徐汇区二模第9题）方程的解是_（2）（金山区二模第9题）方程的根是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项平方得：，解得：，经检验，是原方程的解原方程的解为；（2） 两边平方可得：，解得：，经检验，是原方程的增根原方程的解为【总结】考察无理方程的解法，注意验根【例19】 （徐汇区二模第12题）

16、建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务，如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是_【难度】【答案】【解析】利用每天修多少米乘以天数等于所修道路的长度来表示量和列等式【总结】考察分式方程的应用【例20】 （闵行区二模第16题）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为_【难度】【答案】【解析】利用每位同学分担多少钱乘以学生人数等于总共需要多少钱来表示量和列等式【总

17、结】考察分式方程的应用【例21】 （奉贤区二模第20题）解方程：【难度】【答案】【解析】方程两边同时乘以，得：，整理得：，解得：经检验，是原方程的增根，所以原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，注意验根【例22】 （杨浦区二模第20题）解方程：【难度】【答案】【解析】移项平方可得：，解得：，经检验，为原方程的增根，原方程的解为【总结】考察无理方程的解法，注意要验根【例23】 （虹口区二模第22题）社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个

18、班级共有多少名同学？【难度】【答案】40名【解析】设这个班级共有名同学，由题意有：，解得：经检验：均为原方程的解，但是不符合生活实际答：这个班级共有40名同学【总结】考察分式方程的应用，根据每个同学制作的个数乘以学生人数等于总环保包装盒来表示量和列等式【例24】 （普陀区二模第22题）自2004年5月1日起施行的中华人民共和国道路交通安全法实施条例中规定：超速行驶属违法行为为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路时的对话片断王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用3

19、0分钟就行驶完了全程”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊”李师傅超速违法吗？为什么？【难度】【答案】没有超速，具体见解析【解析】设李师傅的平均速度为千米/时，则王师傅的平均速度为千米/时根据题意可得：，解得：经检验，都有方程的解，但是不符合生活实际，所以舍去李师傅的最大时速是：”、“b，那么a + mb + m；如果ab，那么a + m 0，如果ab，那么ambm（或）；如果ab，那么am bm（或）4、不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即：已知mb，那么ambm（或）；如果abm（或）二、 一元一次不等式只含有

20、一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（或等）的形式（其中）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集三、 一元一次不等式组1、 一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组4、解一元一次不等式组的一般步骤：（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的

21、公共部分，就得到这个不等式组的解集例题解析【例25】 （1）（徐汇区二模第1题）不等式组的解集是( )ABCD空集（2）（奉贤区二模第11题）不等式组的解集是_【难度】【答案】（1）B；（2）【解析】（1）由第一个不等式可得，由第二个不等式可得：，则；（2） 由第一个不等式可得，由第二个不等式可得：，则【总结】考察不等式组的解法00【例26】 （虹口区二模第3题）不等式的解集在数轴上表示正确的是( )AB00CD【难度】【答案】C【解析】不等式的解集为，在数轴上表示为C【总结】考察不等式的解法和数轴的表示，注意有等号需要用实心点【例27】 （静安区二模第2题）如果，那么下列不等式中一定成立的是

22、( )ABCD【难度】【答案】D【解析】A答案中如果均为负数，则不等式不成立；B答案中错误，应为C答案中错误，如果均为负数，则不等式不成立【总结】考察不等式的性质【例28】 （崇明县二模第2题）下列说法不一定成立的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【难度】【答案】C【解析】C答案中时，不等式不成立【总结】考察不等式的性质【例29】 （崇明县二模第3题）从下列不等式中选择一个与组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为，那么可以选择的不等式可以是( )ABCD【难度】【答案】A【解析】可以A、B、C、D一一排除得答案【总结】考察不等式的解法【例30】 （杨浦区二模第20题）解不等式组：，并写

23、出它的所有非负整数解【难度】【答案】0和1【解析】由可得：；由可得：，不等式组的解集为它的所有非负整数为0，1【总结】考察不等式组的解法，注意非负整数解的确定随堂检测【习题1】 （杨浦区二模第1题）如果是方程的根，那么a的值是（ ）A0B2CD【难度】【答案】C【解析】将代入方程中可得：【总结】考察方程的根的定义【习题2】 （松江区二模第11题）不等式组的解集为_【难度】【答案】【解析】由第一个不等式可得：，由第二个不等式可得：，则不等式的解集为【总结】考察不等式组的解法，“同大取大，同小取小”【习题3】 （浦东新区二模第2题）已知一元二次方程，下列判断正确的是( )A该方程无实数解B该方程有

24、两个相等的实数解C该方程有两个不相等的实数解D该方程解的情况不确定【难度】【答案】C【解析】方程的判别式为，所以方程有两个不相等的实数根【总结】考察一元二次方程的根的判定【习题4】 （杨浦区二模第9题）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数m的值是_【难度】【答案】4【解析】方程的判别式，【总结】考察一元二次方程根的判定注意一元二次方程二次项系数不为零【习题5】 （杨浦区二模第2题）下列关于的方程一定有实数解的是( )ABCD【难度】【答案】A【解析】除了A之外的方程都会存在无解【总结】考察方程的解法【习题6】 （静安区二模第9题）方程的根是_【难度】【答案】【解析】方程两边平方可得：，解

25、得：，经检验，为原方程的增根，原方程的解为：【总结】考察无理方程的解法，注意验根【习题7】 （浦东新区二模第10题）已知分式方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_【难度】【答案】【解析】方程换元后为，左右乘以可得：【总结】考察分式方程的换元法，注意结果要化成整式方程【习题8】 （徐汇区二模第13题）某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？若原计划每天销售x台则可得方程_【难度】【答案】【解析】根据每天销售台数乘以天数等于空调总量表示量和列等式【总结】考察分式方程的应用【习题9】 （浦东新区二模第2

26、0题）解不等式组：，并写出它的非负整数解【难度】【答案】解：由，得；由，得不等式组的解集是此不等式组的非负整数解是0、1【总结】考察不等式组的解法，注意审题，按要求完成题目【习题10】 （闸北区二模第20题）解方程：【难度】【答案】【解析】方程两边同时乘以，得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，所以原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，注意验根【习题11】 （闵行区二模第20题）解方程：【难度】【答案】【解析】方程两边同时乘以，得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，所以原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，注意验根【习题12】 （黄浦区二模第20题）解方程：【难度】【答

27、案】【解析】方程移项平方可得：，解得：，经检验，与是原方程的根，所以原方程的解为【总结】考察无理方程的解法，注意解完后要检验【习题13】 （徐汇区二模第20题）解方程组：【难度】【答案】，【解析】原方程可变形为：可化为：，解得：，【总结】考察二元二次方程组的解法，先将可以因式分解的方程进行因式分解，然后重组方程，再求解【习题14】 （浦东区二模第22题）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度【难度】【答案】每小时

28、3千米【解析】设小张上山时的速度为每小时千米根据题意，得：，化简，得：解得：，经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去答：小张上山时的速度为每小时3千米【总结】考察分式方程的应用，根据题意列方程，注意分式方程的解需要检验并且要符合生课后作业活实际【作业1】 （闸北区二模第9题）不等式组的解集是_【难度】【答案】【解析】由第一个不等式可得：，由第二个不等式可得：不等式组的解集为【总结】考察不等式组的解法【作业2】 （闸北区二模第3题）下列方程中，有实数根的是( )ABCD【难度】【答案】C【解析】A答案中二次根式应为非负数，B答案中平方数为非负数，D答案中根的判别式小于0，则方程无解【总结】

29、考察方程的解法【作业3】 （静安区二模第11题）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是_【难度】【答案】【解析】，【总结】考察一元二次方程根的判别式【作业4】 （闵行区二模第11题）已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是_【难度】【答案】【解析】，【总结】考察一元二次方程根的判别式【作业5】 （黄浦区二模第10题）方程的根是_【难度】【答案】【解析】方程平方可得：，经检验，是方程的增根方程的解为【总结】考察无理方程的解法，注意要验根【作业6】 （闸北区二模第11题）方程的解是_【难度】【答案】【解析】方程移项平方可得：，解得：，经检验，是方程的增根，所以方程的

30、解为【总结】考察无理方程的解法，注意要验根【作业7】 （松江区二模第17题）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_【难度】【答案】【解析】考察增长率问题的应用【总结】考察一元二次方程的应用【作业8】 （松江区二模第12题）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为_【难度】【答案】【解析】方程换元后可得：，左右乘以可得：【总结】考察分式方程换元的方法，注意最终要化成整式方程【作业9】 （静安区、青浦区二模第20题）求不等式组的整数解【难度】【答案】【解析】由可得：，由可得：，不等式组解集为，次不等式组的整数

31、解为【总结】考察不等式组的解法，注意最终对整数解的确定【作业10】 （浦东新区二模第20题）解方程：【难度】【答案】【解析】方程两边同时乘以，可得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，注意验根【作业11】 （金山区二模第20题）解方程组：【难度】【答案】，【解析】由方程，得：或者所以原方程可以化成两个方程组：和分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，【总结】考察二元二次方程组的解法【作业12】 解方程：【难度】【答案】【解析】方程移项平方可得：，解得：，经检验，为原方程的增根原方程的解为【总结】考察无理方程的解法，注意不要忘记验根【作业13】 （静安区、青浦区二模第22题）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件？【难度】【答案】甲每小时加工6个零件，乙每小时加工5个零件【解析】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为个、个，根据题意可列方程组：，解得：，经检验它是原方程的组解，且符合题意答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个【总结】考察分式方程的应用，分式方程需要检验，且要符合生活实际