九年级数学寒假班讲义：第3讲和第4讲 函数与分析（教师版）

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1、函数与分析知识结构模块一：平面直角坐标系知识精讲一、 平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限二、 点的坐标1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标3、不同位置的点的坐标的特征：各象限内点的坐标的特征：点P（x，y）在第一象限x 0，y 0；点P（x，y）在第二

2、象限x 0；点P（x，y）在第三象限x 0，y 0，y 0k 0k”、“ 0，b 0k 0，b 0k 0k 0，b 0，b 0Bk 0，b 0Ck 0Dk 0，b 0）和点Q关于x轴对称（1）求证：直线OP / 直线AQ；（2）过点P作PB / x轴，与直线AQ交于点B，如果APBO，求点P的坐标O1234512345xy【难度】【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标是【解析】（1）设直线OP和直线AQ的解析式分别为和根据题意，得：点Q的坐标为（1，-m），解得：，直线OP直线AQ；（2）OPAQ，PBOA，APBO，四边形POAQ是菱形，PO=AO，点P的坐标是【总结】考察一次函数待定系数

3、法求解析式，以及结合四边形的综合应用【例45】 （宝山区、嘉定区二模第22题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）.（1）求直线AB的表达式和线段AB的长；1212ABCD（2）将绕点O逆时针旋转后，点A落到点C处，点B落到点D处，求线段AB上横坐标为a的点E在线段CD上的对应点F的坐标（用含的代数式表示）.【难度】【答案】（1）直线的解析式为，；（2）点【解析】（1）将点（1，0），点（0，2）代入直线，可求得：，直线的解析式为，线段=；（2）E为线段上横坐标a的点，第一象限的E，根据题意F为E绕点O逆时针旋转后的对应点，第二象限的F的坐标为点【总

4、结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合几何图形的综合应用模块五：二次函数知识精讲一、 二次函数一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数二次函数的定义域为一切实数而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定二、 二次函数的图像1、的图像：在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x-2-101241014（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示12341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（3）连线：用光滑的曲

5、线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线二次函数的图像就称为抛物线2、二次函数的图像：抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点3、二次函数的图像：一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；

6、当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点4、二次函数的图像：一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点5、二次函数的图像：二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常

7、数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点6、二次函数的图像：二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式对配方得：由此可知：抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线开口向下，顶点

8、是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的三、 二次函数的解析式的确定1、一般式（）（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式2、顶点式（）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式3、交点式（）（1）交点式：（），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；（2

9、）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式四、 二次函数的图像的平移1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（

10、）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位并向上（）或向下（）平移个单位2、二次函数的平移（1）将二次函数左右平移：向左平移m个单位，函数解析式变为；向右平移m个单位，函数解析式变为（2）将二次函数上下平移：向上平移n个单位，函数解析式变为；向下平移n个单位，函数解析式变为（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式五、 二次函数的图像的对称1、关于x轴对称：关于x轴对称后，得到的解析式是；关于x轴对称后，得到的解析式是2、关于y轴对称：关于y轴对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是3、关于

11、原点对称：关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是4、关于顶点对称：关于顶点对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是5、关于点（p，q）对称：关于点（p，q）对称后，得到的解析式是例题解析【例46】 （黄浦区二模第11题）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是_【难度】【答案】【解析】开口向上，【总结】考察二次函数图像的开口方向与a的关系【例47】 （黄浦区二模第14题）如果抛物线的顶点是坐标轴的原点，那么_【难度】【答案】【解析】顶点是坐标轴的原点，则，【总结】考察二次函数特殊形式的顶点【例48】 （宝山区、嘉定区二模第12题）抛物线与y轴的交点为（0，

12、），那么m =_【难度】【答案】【解析】由题意，得：【总结】考察二次函数与轴交点的坐标【例49】 （闸北区二模第11题）二次函数的对称轴是直线x =_【难度】【答案】直线【解析】对称轴公式【总结】考察对称轴公式的运用【例50】 （长宁区、金山区二模第12题）如果抛物线的对称轴是直线，那么实数a =_【难度】【答案】【解析】对称轴公式【总结】考察对称轴公式的运用【例51】 （杨浦区二模第11题）如果函数的图像向左平移2个单位后经过原点，那么m =_【难度】【答案】【解析】向左平移个单位后解析式为，图像经过原点，【总结】考察二次函数平移特征及解析式各项系数与图像的关系【例52】 （徐汇区二模第10

13、题）如果将抛物线向左平移1个单位后经过点A（1，m），那么m的值是_【难度】【答案】【解析】向左平移个单位后解析式为把点A（1，m）代入得：【总结】考察二次函数平移特征及求函数上点的坐标【例53】 （宝山区、嘉定区二模第11题）如果函数的图像沿轴的正方向平移1个单位后与抛物线重合，那么函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】由题意可知，沿着轴负方向平移一个单位，得【总结】考察二次函数图像平移特征【例54】 （松江区二模第12题）将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为_【难度】【答案】【解析】根据平移特点，左加右减、上加下减，则【总结】考察二次函数图像平移特征【例55】 （1）（奉贤区二模第9题）二次函数图象的顶点坐标是_（2）（杨浦区二模第11题）抛物线的顶点坐标是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据顶点式可知：二次函数图象的顶点坐标是；（2），该函数的顶点坐标是【总结】考察二次函数的顶点坐标的求法【例56】 （静安区二模第11题）如果抛物线经过A（0，4），B（