九年级数学寒假班讲义：第6讲 四边形（教师版）
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1、四边形知识结构模块一：平行四边形知识精讲一、 多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形由n条线段组成的多边形就称为n边形（）组成多边形的每一条线段叫做多边形的边相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角对于多边
2、形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和多边形的外角和等于360二、 平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分简述为：平行四边形的对角线互相平分平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两
3、条对角线的交点3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形三、 特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫
4、做矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四
5、边形是菱形例题解析【例1】 （闵行区二模第13题）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称_【难度】【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形【解析】考查常见的四边形的性质【例2】 （崇明县二模第6题）下列判断错误的是( )A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B对角线互相垂直平分的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查【例3】 （宝山区、嘉定区二模第5题）下列命题中，真命题是( )A菱形的对角线互相平分且相等
6、B矩形的对角线互相垂直平分C对角线相等且垂直的四边形是正方形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】DABCDO【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质【例4】 （金山区二模第14题）如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，请添加一个条件_，可得ABCD是矩形【难度】【答案】或【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形【总结】考查矩形的判定【例5】 （浦东新区二模第6题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( )A当AB = BC时，四边形ABCD是矩形B当ACBD时，四边形ABCD是矩形C当
7、OA = OB时，四边形ABCD是矩形D当时，四边形ABCD是矩形【难度】【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形【例6】 （崇明县二模第6题）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )AAC = BD，AB / CD，AB = CDBAD / BC，CAO = BO = CO = DO，DAO = CO，BO = DO，AB = BC【难度】【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形【例7】 （宝山区、嘉定区二模第5题）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱
8、形，那么下列选项正确的是( )ABCD【难度】【答案】D【解析】连接AC、BD，点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，所以得四边形KLMN为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正好是四边形ABCD的对角线的中位线，所以AC=BD【总结】考查三角形中位线定理的运用【例8】 （静安区、青浦区二模第12题）从AB / CD，AD / BC，AB = CD，AD = BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是_【难度】【答案】【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相
9、等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用【例9】 （黄浦区二模第17题）在平行四边形ABCD中，BC = 24，AB = 18，和的平分线交AD于点E、F，则EF =_【难度】【答案】12【解析】由平行线和角平分线可知ABE和CDF都是等腰三角形，所以，所以【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用【例10】 （长宁区二模第6题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO = CO，E是DC边的中点下列结论中，错误的是( )ABCDEOABCD【难度】【答案】D【解析】由得到，又AO = CO，得A
10、O=AD=OC，因为O、E都是中点，所以OE是中位线，即，又且O为中点，则AO=OC=OB，所以A、B、C正确，D错误【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用【例11】 （杨浦区二模第6题）设边长为3的正方形的对角线长为a下列关于a的四种说法：a是无理数；a可以用数轴上的一个点来表示；a是18的一个平方根其中，所有正确说法的序号是( )ABCD【难度】【答案】C【解析】勾股定理可得：，所以是对的，是错的，是对的，数轴和实数是一一对应，所以是对的，故选C【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识ABCDE【例12】 （普陀区二模第15题）如图，在中，点D、E分别在AB、AC上
11、，如果AE = 2，的面积是4，四边形BCDE的面积是5，那么AB的长是_【难度】【答案】3【解析】因为，所以因为，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：，得：，因为AE = 2，所以AB=3【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用【例13】 （奉贤区二模第23题）已知：如图，在四边形ABCD中，AB / CD，点E是对角线AC上一点，且（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若，ABCDEF求证：四边形EFCD是菱形【难度】【答案】略【解析】证明：（1）AB / CD，又，AB=CD，又因为AB / CD，所以四边形ABCD为
12、平行四边形；（2） ，四边形ABFE是平行四边形，且，又ABCD为平行四边形，且且，四边形EFCD为平行四边形，EF=CF，四边形EFCD为菱形【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用【例14】 （金山区二模第23题）如图，在中，AB = AC，点D在边AC上，AD = BD=DE，联结BE，ABCDEOF（1）联结CE，求证：CE = BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形【难度】【答案】见解析【解析】证明：（1）设DE与BC的交点为O，AB = AC，AD = BD=DE，DE=BC，CD=DO=BO，OC=OE，BE=CE（2），四边形DBFE为平行
13、四边形，又BD=DE，四边形DBFE为菱形【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用【例15】 （金山区二模第23题）已知：如图，在中，AC = BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE = CD，延长BE交AD于F，过点C作CG / BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使GFEDBACH（1）求证：；（2）求证：四边形FHCG是正方形【难度】【答案】略【解析】证明：（1），CE=CD，AC=BC，；（2），又，CE=CD，CH=CG，且，四边形FHCG为矩形，又CH=CG，四边形FHCG为正方形【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用【例16】 （虹口区二模第23题
14、）如图，在四边形ABCD中，AB / DC，E、F为对角线BD上两点，且BE = DF，AF / EC（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：ABCDEFGH【难度】【答案】略【解析】证明：（1）BE=DF，BF=DF，AF / EC，AB=CD，且AB / DC，四边形ABCD为平行四边形；（2）四边形ABCD为平行四边形，又CD=AB，【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用【例17】 （闵行区二模第23题）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的ABCDEFGOH中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点
15、E、F，交边DC于点G，交边AB于点H联结AF、CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF = 2GO，求证：【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD为矩形，AO=OC，OE=OF，又，且AO=OC，四边形AFCE为菱形；（2） 四边形AFCE为菱形，OF = 2GO=OE，OG=EG，【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用【例18】 （杨浦区二模第23题）已知：如图，和中，ABCDEMGHNP，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB = MD；（2）当AB = BC，DC = DE时，求证：四边形MGC
16、H为矩形【难度】【答案】略【解析】（1）过点M作于N，且BC与CD共线，又M为AE中点，N也为BD中点，为等腰三角形，BM=MD；（2）延长BM交DE延长线于点P，M为AE中点，AB=PE，AB=BC，DC=DE，和都是等腰直角三角形，四边形MGCH为平行四边形，又，四边形MGCH为矩形【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用【例19】 黄浦区二模第23题）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE = DGABCDEFGO（1）求证：AE = CG；（2）求证：BE / DF【难度】【答案】略【解析】（1）取
17、AC中点O，连接DOAD=CD，又DE=DG，EO=OG，AE=CG；（2）正方形ABCD，AE=CG，AB=CD，又，BE / DF【总结】本题主要考查正方形性质的运用【例20】 （闸北区二模第23题）已知：如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE = AF，（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若AD = AF，延长AE、DC交于点G，求证：ACBDEFGACBDEF图1图2H（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE = 4，EG = 12，求AH的长【难度】【答案】略【解析】（1），又四边形ABCD为平行四边形，又AE = AF，A
18、B=AD，四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD为菱形，又，又AD=AF，；（3），又HE=4，EG=12，AH=8【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用模块二：梯形知识精讲一、 梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形二、 等腰梯形的性质及判定1、等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形两条对角线相等2、等腰梯形判
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