2022届陕西省西安市长安区高考第三次模拟考试数学试卷(理)含答案
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1、高三(高三(3 3 月月)数学)数学试题试题第第 1 1 页页 共共 4 4 页页数数 学学 试试 题题(理)(理)考试时间考试时间:120120 分钟分钟一、单选题(每小题一、单选题(每小题 5 5 分分,满分,满分 6060 分)分)1.已知集合220,sin Ax xxBy yx,则RC AB()A1,0B1,1C0,2D0,12.已知i为虚数单位,复数z满足i123i4z,则z的共轭复数z()A12iB1 2iC2iD2i3某商场 2022 年部分月份销售金额如下表:月份x246810销售金额y(单位:万元)64132a286368若用最小二乘法求得回归直线方程为38.117.6yx$
2、,则a()A.198.2B.205C.211D.213.54函数2sin 21xyx在,的图象大致为()A.B.C.D.5“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸被称为“十天干”,子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,其相配顺序为:甲子,乙丑,癸酉,甲戌,乙亥,壬戌,癸亥,甲子,周而复始,循环记录,此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要(草案)提出,展望 2035 年,中国将基本实现社会主义现
3、代化.已知 1901 年是“干支纪年法”中的辛丑年,那么 2035 年是“干支纪年法”中的()A甲寅年B乙卯年C丙辰年D丁巳年6已知ABC,则“sincosAB”是“tantan1AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长度为()高三(高三(3 3 月月)数学)数学试题试题第第 2 2 页页 共共 4 4 页页A32B13C22D338 2019 年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第 43 届世界遗产大会上,随着木槌落定,良渚古城遗址成功列人世界遗产名录,这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界
4、文明舞台上的“高光时刻”,标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地,得到了世界的广泛认同.2010 年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%,已知死亡生物体内碳 14 的含量y与生物死亡年数x之间符合573012xyk,其中k为死亡生物碳 14 的初始量.据此推断,此水坝大约是距 2010 年之前()年建造的.参考数据lg5522.74,lg20.30A4912B4930C4954D4966951(1)xx展开项中的常数项为()A1B11C-19D5110在ABC中,角,A B C对应的边分别
5、是,a b c,若3 coscos0cAaC,则B的最大值为()A6B3C23D5611已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别是1F,2F,在其渐近线上存在一点P,满足122PFPFb,则该双曲线离心率的取值范围为()A.1,2B.2,2C.2,3D.2,312若不等式eln110 xaax 对1,12x 恒成立(e为自然对数的底数),则实数a的最大值为()A.e1B.eC.2e1D.2e二、填空题(每题二、填空题(每题 5 5 分分,满分,满分 2020 分)分)13已知在ABC中,2,1,ABACD为BC的中点,则AD BC 14 曲线 esinxf xx(e为自然对数的底
6、数)在0 x 处的切线与圆2229xy相交于点M,N,则MN _15已知椭圆C:22143xy的焦点为1F,2F,第一象限点P在C上,且1294PF PF ,高三(高三(3 3 月月)数学)数学试题试题第第 3 3 页页 共共 4 4 页页则12PFF的内切圆半径为16如图,DE是边长为 6 的正三角形ABC的一条中位线,将ADE沿直线DE翻折至1ADE,当三棱锥1ACED的体积最大时,四棱锥1ABCDE外接球O的表面积为_;过EC的中点M作球O的截面,则所得截面圆面积的最小值是_.三、解答题三、解答题17(满分 12 分)已知各项为正的数列 na的首项12a,前n项和为nS,且满足14(2)
7、nnnSSna,数列 nb满足11b,*13nnbbnN(1)求数列 na和 nb的通项公式;(2)若数列 nc满足2nnncS b,求 nc的前n项和nT18(满分 12 分)如图:已如三棱柱111ABCABC,点O为棱AB的中点.(1)求证:1/BC平面1ACO;(2)若ABC是等边三角形,且11,60ABAAA AB,平面11AAB B上平面ABC,求二面角1AACB的余弦值.19(满分 12 分)新冠疫情在西方国家大流行,国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取 n 人,每人一份血样,共*n nN份,为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者,下面给出两种方案:方案甲:
8、逐份检验,需要检验 n 次;方案乙:混合检验,把受检验者的血样分组,假设某组有*,2k kNk份,分别从 k 份高三(高三(3 3 月月)数学)数学试题试题第第 4 4 页页 共共 4 4 页页血样中取出一部分血液混合在一起检验,若检验结果为阴性,则说明这 k 个人全部为阴性,因而这 k 个人的血样只要检验这一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这 k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒,就要对这 k 个人的血样再逐份检验,因此这 k 个人的总检验次数就为1k 假设在接受检验的人中,每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的,且每个人血样的检验结果是阳性的概率为01pp(1)若5n,0.2p
9、,用甲方案进行检验,求 5 人中恰有 2 人感染过新型冠状病毒的概率;(2)记为用方案乙对 k 个人的血样总共需要检验的次数当5k,0.2p 时,求 E;(参考数据:4560.80.41,0.80.33,0.80.26)从统计学的角度分析,p 在什么范围内取值,用方案乙能减少总检验次数?20(满分 12 分)己知函数()xf xe.(1)若关于x的不等式()(sincos)f xaxx在3,44上恒成立,求实数a的取值范围;(2)当54x 时,证明:()sincosf xxx.21(满分 12 分)设抛物线C:22xpy(0p)的焦点为F,抛物线C上一点A的横坐标为110 xx,过点A作抛物线
10、C的切线1l,与x轴交于点D,与y轴交于点E,与直线l:2py 交于点M.当2FD 时,60AFD.(1)求抛物线C的方程;(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点,过B作抛物线C的切线2l,与直线1l交于点P,与直线l交于点N,求PMN面积的最小值,并求取到最小值时1x的值.选做题(满分 10 分)22在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2224,111txttyt(t为参数)以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cossin40(1)求C普通方程和l的直角坐标方程;(2)若P为曲线C上任意一点,直线l与x轴、y轴的交点分别为,A B,求PAB面积的最大值2
11、3已知,a b c都为正实数,且3abc.证明:(1)2121213 3abc ;(2)111111833327abc.数数 学学 试试 题题(理科理科)一、单选题(每小题一、单选题(每小题 5 5 分分,满分,满分 6060 分)分)1.已知集合220,sin Ax xxBy yx,则RC AB()A1,0B1,1C0,2D0,1【答案】D220202Ax xxx x xx x或0 x,所以R|02C Axx,sin|11By yxyy,所以R|010,1C ABxx,故选:D.2.已知i为虚数单位,复数z满足i123i4z,则z的共轭复数z()A12iB1 2iC2iD2i【答案】B|43
12、i|55(12i)12i12i12i5z 12iz ,故选:B3某商场 2022 年部分月份销售金额如下表:月份x246810销售金额y(单位:万元)64132a286368若用最小二乘法求得回归直线方程为38.117.6yx$,则a()A.198.2B.205C.211D.213.5【答案】B4函数2sin 21xyx在,的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数及3()04f,再结合排除法,即可得答案.【详解】函数2sin 21xyx,定义域为 R R22sin2sin 2()()11xxfxf xxx,()f x是偶函数,故排除 AC;又2233sin 2
13、sin342()04331144f,排除 B.故选:D.5“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸被称为“十天干”,子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,其相配顺序为:甲子,乙丑,癸酉,甲戌,乙亥,壬戌,癸亥,甲子,周而复始,循环记录,此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035 年远景目标纲要(草案)提出,展望 2035 年,中国将基本实现社会主义现代化.已知 1901 年是“干支纪年法”中的辛丑年,那么 2035
14、 年是“干支纪年法”中的()A甲寅年B乙卯年C丙辰年D丁巳年【答案】B由题意得干支纪年法,60 年为一循环,因为20351901134,所以经历了 2 个 60 年循环,又经历了 14 年,则“十天干”中的“辛”过了 14 年后为“乙”,“十二地支”中的“丑”过了 14 年后为“卯”,故选:B6已知ABC,则“sincosAB”是“tantan1AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当tantan1AB 时,A,B均为锐角,sinsin1coscosABAB,即cos0AB,故2AB,则2AB,则sinsincos2ABB,必要性成立
15、;若A为锐角,B为钝角,则sincosAB,但tantan0AB,充分性不成立.故“sincosAB”是“tantan1AB”的必要不充分条件.故选:B7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长度为()A32B13C22D33【答案】C【解析】【分析】把三视图还原并衬托在长方体中,利用勾股定理即可求解.【详解】三视图可得原几何体为如图所示的三棱锥 ABCD,长方体的高为 2,底面正方形边长为 3,3,3 2,13,22BDCDBCABACAD该几何体的最长棱为 AD228 2019 年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第 43 届世界遗产大会上,随着木槌落定,良渚古城遗址成功列人世
16、界遗产名录,这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”,标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地,得到了世界的广泛认同.2010 年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测,检查测出碳 14 的残留量约为初始值的 55.2%,已知死亡生物体内碳 14 的含量 y 与生物死亡年数 x 之间符合573012xyk,其中 k 为死亡生物碳 14 的初始量.据此推断,此水坝大约是距 2010 年之前()年建造的.参考数据lg5522.74,lg20.30A4912B4930C4954D4966【答案】D由573012
17、0.552x解方程,求得x,由此求得正确选项.【详解】依题意5730120.552x,两边乘以1000得573035521102x,两边取以10为底的对数得57303110llg5522gx,573031lg10lglg5522x,35730lg10lg2lg552x,3lg2lg5525730 x,3lg552573032.7457304966lg20.3x.故选:D951(1)xx展开项中的常数项为()A1B11C-19D51【答案】B展开式中的项为常数项,有 3 种情况:(1)5 个括号都出 1,即1T;(2)两个括号出x,两个括号出1()x,一个括号出 1,即2222531()130T
18、CxCx ;(3)一个括号出x,一个括号出1()x,三个括号出 1,即11541()120TCx Cx ;所以展开项中的常数项为1 302011T ,故选 B.10在ABC中,角,A B C对应的边分别是,a b c,若3 coscos0cAaC,则B的最大值为()A6B3C23D56【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理进行边角互化,可得sin2sincos0BCA,再进行边角互化,可得2 cos0bcA,再由余弦定理可求2222bac,由222cos2acbBac,利用基本不等式,即可求解最值问题.【详解】由正弦定理,可得3sincossincos0CAAC,即sin()2sincos0A
19、CCA,即sin2sincos0BCA,进一步由正弦定理,可得2 cos0bcA,再由余弦定理,可得222202bcabcbc,即2222bac,所以222cos2acbBac222222acacac2232 33442acacacac,当且仅当24 33c,24 33b,24 3a 时取等号,又因为0B,所以0,6B,所以B的最大值为6.故选 A.11已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别是1F,2F,在其渐近线上存在一点P,满足122PFPFb,则该双曲线离心率的取值范围为()A.1,2B.2,2C.2,3D.2,3【答案】A12若不等式eln110 xaax 对1,12x
20、 恒成立(e为自然对数的底数),则实数a的最大值为()A.e1B.eC.2e1D.2e【答案】A【解析】【分析】由题设易得2a,并将原不等式化为ln11elnln()xaaxxxaa,构造()exf xx结 合 导 数 研 究 单 调 性,可 得1(ln)(ln()fafxax,进 而 有1lnln()axxa在1,12上恒成立,再构造1()ln()g xxxa,应用导数求其最小值,即可确定 a 的范围,即知最大值.【详解】由题设,10ax 在1,12上恒成立,0102aa,即2a,原不等式可化为lne1111ln()elnln()0 xxaa xaxaaaaa,ln11elnln()xaax
21、aa,即ln11elnln()xaaxxxaa,令()exf xx,则()e10 xfx,即()f x在1,12x上递增,由上知:1(ln)(ln()fafxax,则1lnln()axax,即1lnln()axxa在1,12上恒成立,令1()ln()g xxxa,则11()1xag xxa,又1,12x,2a,110 xa,10 xa,即()0g x,故()g x在1,12上递减,min1ln()1 ln(1)ag xa,故1lnln(1)ln(1)1aaa,可得1ae,综上,2e 1a,故 a 的最大值为e1.故选:A.二、填空题(每题二、填空题(每题 5 5 分分,满分,满分 2020 分
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