山东省威海市2022-2023学年高三上学期12月联考（一模）数学试卷（含答案）

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1、威海市2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数z是纯虚数，是实数，则（ ）A.- B. C.-2 D.23.己知等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）A.-2 B.2 C. D.4.已知向量，满足，且在上的投影的数量为，则（ ）A. B. C. D.5.（ ）A. B. C. D.26.史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现两人进

2、行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场.每场比赛中胜者得1分，否则得0分.若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马，则比赛结束时，齐王得2分的概率为（ ）A. B. C. D.7.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）A. B. C. D.8.已知等差数列中，设函数，记，则数列的前9项和为（ ）A.0 B.10 C.16 D.18二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.甲袋

3、中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用，分别表示甲袋取出的球是白球红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）A.，两两互斥 B.C.与B是相互独立事件 D.10.已知函数，则（ ）A.为周期函数 B.在上单调递增C.的值域为 D.的图像关于直线对称11.已知棱长为2的正方体中，过的平面交棱于点E，交棱于点F，则（ ）A.B.存在E，F，使得平面C.四边形面积的最大值为D.平面分正方体所得两部分的体积相等12.已知函数，则（ ）A.B.C.若函数恰有3个零点，则D.当时，三填空题：本大题共4小题

4、，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为_.14.已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为_.15.已知函数，若，则点的最小值为_.16.在三棱锥中，平面ABC，.以A为球心，表面积为36的球面与侧面PBC的交线长为_.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至D，使，的面积为.（1）求AB的长；（2）求外接圆的面积.18.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）设，求的通项公式；（2）若，求的通项公式.

5、19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E为PC的中点，点F在PD上且.（1）求证：平面AEF；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”

6、活动（每天两局），各局比赛互不影响.（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为.求p为何值时，取得最大值.21.（本小题满分12分）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为.（1）求C的方程；（2）若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N.是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，若，试比较，的大小，并说明理由.高

7、三数学参考答案一单项选择题：（每小题5分，共40分）题号12345678答案DBBDACAD二多项选择题：（每小题5分，共20分）题号9101112答案ABADABDBCD三填空题：（每小题5分，共20分）13.15 14.2 15. 16.四解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）因为，所以，因为，所以，故为正三角形，设长为，则，所以的面积，即，解得或，所以的长为1或6.（2）因为为正三角形，所以或，所以，又因为，由余弦定理可知，设外接圆的半径为，因为，可得，所以外接圆的面积为.18.（本小题满分12分）解：（1）当时，所以，由，可得当时，两式相减得，所以，当时，也成立，所以.（2）由可

8、得，相加得，当时，令，得，-得，所以，所以，当时，也成立.所以.19.（本小题满分12分）证明：（1）在棱上取点，使得，连接交于点，连接.因为为中点，所以，则，因为，所以，故，所以，因为，所以，因为，所以，故，所以，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（也可建系用法向量证明）（2）取的中点，连接，则，因为底面，所以两两互相垂直.以为原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得所以，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，则，因为为平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为.20.（本小题满分12分）解：（1）的取值范围是，.所以的分布列为5678910（2）（法一）由题

9、意知“每天得分不低于3分”的概率为，所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率，当时，在单增，当时，在单减，所以当时，取得最大值.（法二）设“每天得分不低于3分”的概率为，则，所以5天中恰有3天“每天得分不低于3分”的概率，当时，在单增，当时，在单减，所以当，即时取得最大值.21.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知，又焦点到的距离为，所以，所以，解得，所以的方程为.（2）（法一）存在这样的实数.由题意知直线斜率不为0，可设直线的方程为，设，联立方程得，由韦达定理得，直线，直线，当时，可得，若，则，可得，即，因为，所以，可得，所以存在这样的实数满足题意.（法二）存在这样的实数.当直线的斜率

10、不存在时，直线，可得，若，则，即，可得.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，得，由韦达定理得，直线，直线，当时，可得，若，则，可得，即，因为，所以，可得，综上，存在这样的实数满足题意.22.（本小题满分12分）解：（1），设，当时，可得，所以在上单调递增；当或时，设的两个根分别为，且，则，当，可得，所以在上单调递减；当或，可得，所以分别在上单调递增.综上可知，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，而且在上单调递增，所以，令，因为在上单调递增，所以当时，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即，所以，所以.