第二章平面向量及其应用 单元检测试卷（A）含答案解析（2022-2023学年北师大版（2019）必修第二册）

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1、第二章平面向量及其应用单元检测卷（A）一、单选题1已知向量 ，则的坐标为（）ABCD2已知是非零向量，若，且，则实数的值为（）A3BC12D3在中，角所对的边分别为.若，则等于（）ABCD4化简以下各式:；，结果为零向量的个数是（）A1B2C3D45已知向量，若，则（）ABCD6已知单位向量，满足，则（）A2BCD37十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰

2、三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，根据这些信息可得到（）ABCD8如图，在平行四边形中，已知，则的值是（）ABCD9已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）ABCD10在四边形ABCD中，且，则与的夹角为（）ABCD11已知等边的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（）ABCD12如图，是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（）ABCD大小不能确二、填空题13已知平面向量，满足，则_.14如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直

3、角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_15等边ABC中，AB6，则_.16平面向量，满足，且，则下列说法正确的是_.在方向上的投影的数量是1的最大值是若向量满足，则的最小值是三、解答题17已知向量, .(1)求；(2)当时，求y的值.18如图，在平面四边形中，(1)求的长；(2)求的正弦值19已知坐标平面内，(1)当，三点共线时，求的值；(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值20在中，角，所对的边分别为，.(1)求角的大小；(2)若外接圆的面积为，求的面积.21在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求a的长度；

4、(2)求周长的最大值22已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.(1)若与垂直，求的大小；(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.参考答案1D【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可得结果.【详解】由已知可得.故选：D.2B【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：B3A【解析】【分析】利用正弦定理进行求解.【详解】由正弦定理得：，即，解得：.故选：A4D【解析】【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得.【详解】；.故选：D5B【解析】【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可.【详解】，

5、解得：.故选：B.6C【解析】【分析】根据模的运算先求出，进而解出.【详解】由题意，由，所以.故选：C.7A【解析】【分析】首先在中利用余弦定理求得的值，然后结合诱导公式即可确定的值【详解】在中，由余弦定理可得：，故选：A8B【解析】【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.【详解】故选B9D【解析】【分析】依据向量投影的定义解之即可.【详解】向量与的夹角为，在方向上的投影为故选：D10D【解析】【分析】根据向量的线性关系及向量和差的模相等易得ABCD为矩形，进而求的大小，再应用数形结合判断与的夹角大小.【详解】因为，所以四边形ABCD为平行四边形.因为，所以四边形ABCD的对角线相

6、等，综上，四边形ABCD为矩形.因为，所以，得，故与的夹角为.故选：D11C【解析】【分析】由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.【详解】由已知条件,图形如下图所示： ,解得.故选：.12B【解析】【分析】构建直角坐标系，根据题意设，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.【详解】构建如下图示的直角坐标系，令，所以，可设，且，则，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.13#0.5【解析】【分析】根据向量的数量积公式即可求出.【详解】由题可得，故.故答案为：.1424:25【解析】【分析】

7、设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，所以三角形的面积等于三角形的面积，即，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.故答案为：24:25.1522【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标计算所求向量的数量积.【详解】如图，以BC所在直为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， AB6，, ,.故答案为：

8、2216【解析】【分析】根据给定条件求出，再结合平面向量的模、数量积运算逐一分析每个命题，推理计算作答.【详解】因，则，即，正确；在方向上的投影的数量是，不正确；由得，即，当且仅当与同向共线时取“=”，整理得：，解得，的最大值是，正确；作，如图，即，令，由得，在射线OA上取点E，使，过E作直线，则有点M在直线l上，取OB中点C，过C作于点D，连接，当且仅当点M与点D重合时取“=”，因此，的最小值是，正确，所以正确说法的序号是.故答案为：17(1)5；(2).【解析】【分析】（1）若，则向量模长坐标公式为；（2）利用两向量垂直满足的条件列出方程，求解y的值(1)(2)若，则，解得：18(1)；(

9、2).【解析】【分析】（1）利用余弦定理即求；（2）利用正弦定理即得.(1)在中，由余弦定理可知：,(2)在中，由正弦定理可知：，即：.19(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）利用向量共线坐标表示即求；（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.(1)，当，三点共线时，有，解得(2)，当时，取得最小值，此时，20(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理即可求解；（2）由外接圆面积可得半径，由正弦定理可得c，代入三角形面积公式求解即可.(1)因为，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理，得.因为，所以.(2)设外接圆的半径为，则，所以.由正弦定理

10、，得，所以.因为，所以是等边三角形.所以的面积为.21(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦函数两角和公式与三角函数诱导公式将已知条件化解为，再利用正弦定理将其转化即可求解.（2）通过向量数量积公式与余弦定理可得，再利用均值不等式即可求得的最大值，进而可求周长的最大值.(1)由，得，由正弦定理得，得；(2)由，得，由余弦定理得，得，由，（当且仅当时取等号），所以三角形ABC周长的最大值为22(1)(2)【解析】【分析】（1）易知，得到，再根据与垂直求解；（2）由题意得，即，再利用平面向量的夹角求解.(1)解：由题意得，即，则.因为与垂直，所以，化简为，即，则.(2)由题意得，则，设向量与的夹角为，所以.