第六章立体几何初步 章末测评（含答案解析）2022-2023学年北师大版（2019）必修第二册

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1、第六章立体几何初步一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1下列说法中正确的是()A棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B底面是矩形的平行六面体是长方体C棱柱的底面一定是平行四边形D棱锥的底面一定是三角形A平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；三棱柱的底面是三角形，故C错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误故选A.2直线l与平面不平行，则()Al与相交 BlCl与相交或l D以上结论都不对C直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交因为直线l与平面不平行，所以l与相交或l.3.

2、 如图，BCx轴，ACy轴，则直观图所表示的平面图形是()A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形D因为BCx轴，ACy轴，所以平面图中BCx轴，ACy轴，所以三角形是直角三角形故选D.4已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多有一个C有一个或无数多个 D不存在B当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个故选B.5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A.30 B45C.60 D90C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，

3、则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C.6分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交D如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面7如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4C显然OMPD，又PD平面PCD，PD平面PDA.OM平面PCD，OM平面PDA. 正

4、确8在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为()A30 B45 C60 D90A如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.因为ABAD2，所以ACBD，又易知BD平面ACC1A1，所以BDOC1，所以COC1为二面角C1BDC的一个平面角因为在COC1中，OC，CC1，所以tan COC1，所以二面角C1BDC的大小为30.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则()A在内存在直线与直线AB异面B在内存在直线与直线

5、AB相交C在内存在直线与直线AB平行D存在过直线AB的平面与垂直ADA，B是不在内的任意两点，则直线AB与平面相交或平行如果AB与平面相交，则内不过交点的直线与AB异面，但没有直线与AB平行，如果AB与平面平行，则在内存在直线b与AB平行，而在内与b相交的直线与AB异面，但内不存在直线与AB相交，由上知A正确，BC均错，不论AB与平面是平行还是相交，过A作平面的垂线，则这条垂线与直线AB所在平面与垂直(如果垂线与AB重合，则过AB的任意平面都与垂直)，D正确，故选AD.10设直线m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是()A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，

6、n，mn，则D若m，m，n不平行，则n与不垂直CD若m，n，mn；则，的位置关系不确定，故A不正确；若m，则中存在直线c与m平行，mn，n，则c，c，故B不正确；若m，mn，则n，又n，故C正确；因为m，若m与n平行，则n，又m，n不平行，则n与平行或相交或n在内，但不垂直，故D正确故选CD.11三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，PC底面ABC，若PCAC1，AB2，且BAC60，则下列说法正确的是()APAB是钝角三角形B此球的表面积等于5CBC平面PACD三棱锥APBC的体积为BC如图，在底面三角形ABC中，由AC1，AB2，BAC60，利用余弦定理可得：BC，AC2BC2AB2，即A

7、CBC，由于PC底面ABC，PCAC，PCBC，PCACC，BC平面PAC，故C正确；PB2AB，PA，由于PB2AB2PA20，即PBA为锐角，PAB是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；取D为AB中点，则D为BAC的外心，可得ABC外接圆的半径为1，设三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接OP，则OP，即三棱锥PABC的外接球的半径为R，三棱锥外接球的表面积等于45，故B正确；VAPBCVPABC11，故D错误；故选BC.12如图，矩形ABCD中，AB2AD2，E为边AB的中点将ADE沿直线DE翻折成A1DE(点A1不落在底面BCDE内).若M为线段A1C的中点，则在ADE翻转过程中，以下命

8、题正确的是()A四棱锥A1BCDE体积最大值为B线段BM长度是定值CMB平面A1DE一定成立D存在某个位置，使DEA1CABCADE是等腰直角三角形，A到DE的距离是，当平面A1DE平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大为，又SBCDE2111，V最大值.A正确；取CD中点N，连接MN，BN，M是A1C的中点，MNA1D，而MN平面A1DE，A1D平面A1DE，MN平面A1DE，由DN与EB平行且相等得DNBE是平行四边形，BNDE，同理得BN平面A1DE，而BNMNN，平面BMN平面A1DE，BM平面BMN，MB平面A1DE，C正确；在上述过程中得MNBA1DE45，又BNDE，MNA

9、1D，BM为定值，B正确；假设存在某个位置，使DEA1C，取DE中点O，连接A1O，CO，显然A1ODE，而A1OA1CA1，DE平面A1OC，OC平面A1OC， DEOC，则CECD，但CE，CD2，不可能相等，所以不可能有DEA1C.D错故选ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于点M，则MN与AD的位置关系是_垂直平面BCC1B1平面ABCD，平面BCC1B1平面ABCDBC，MN平面BCC1B1，MN平面ABCD.MNAD.14已知平面，和直线m，给出以下条件：m；m；

10、m；.要想得到m，则所需要的条件是_(填序号)易知m.15一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_如图，在平面VAC内作直线PDAC交VC于D，在平面VBA内作直线PFVB交AB于F，过点D作直线DEVB交BC于E，连接EF.PFDE，P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，则四边形PDEF为边长为a的正方形，故其面积为.16如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_7取AB的中点E，连接PE.PAPB，PEAB.又平面PAB平面ABC，PE平面A

11、BC.连接CE，PECE.又ABC90，AC8，BC6，AB2，PE，CE，PC7.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.解(1)证明：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.四边形ABCD为矩形，BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)如图，连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G.则EG平面ABCD，且

12、EGPA.在PAB中，APAB，PAB90，BP2，APAB，EG.SABCABBC2，VEABCSABCEG.18(本小题满分12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF.解 (1)因为四边形ADEF是正方形，所以FAED，故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，因为CD1，ED2，所以CE3，所以cos CED.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明：如图，过点B作BGC

13、D交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45可得BGAB，从而CDAB.又因为CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.19(本小题满分12分)如图1所示的等边ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点现将ABC沿CD折叠，使平面ADC平面BDC，如图2所示图1图2(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体ADBC的外接球体积与四棱锥DABFE的体积之比解 (1)AB平面DEF，理由如下：E，F分别为AC，BC的中点，ABEF，AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A

14、DBC的外接球即为长方体的外接球设球的半径为R，则a2a23a2(2R)2，R2a，于是球的体积V1R3a3.又VABDCSBDCADa3，VEDFCSDFCADa3，.20(本小题满分12分)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为A

15、D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.21(本小题满分12分)如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCCAAA1.(1)求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；(2)求证：BC1AB1.证明(1)设BC的中点为M，点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，B1M平面ABC.AC平面ABC，B1MAC.又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB，AC平面B1C1CB.又AC平面ACC1A1，平面ACC1A1平面B1

16、C1CB.(2)连接B1C.AC平面B1C1CB，ACBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1.四边形B1C1CB是菱形，B1CBC1.又B1CACC，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，BC1AB1.22(本小题满分12分)如图，在ABC中，O是BC的中点，ABAC，AO2OC2.将BAO沿AO折起，使B点移至图中B点位置(1)求证：AO平面BOC；(2)当三棱锥BAOC的体积取最大时，求二面角ABCO的余弦值；(3)在(2)的条件下，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长解(1)证明：ABAC且O是BC的中点，AOB

17、C，即AOOB，AOOC，又OBOCO，OB平面BOC，OC平面BOC，AO平面BOC.(2)在平面BOC内，作BDOC于点D，则由(1)可知BDOA，又OCOAO，BD平面OAC，即BD是三棱锥BAOC的高，又BDBO，当D与O重合时，三棱锥BAOC的体积最大，过O作OHBC于点H，连接AH，如图由(1)知AO平面BOC，又BC平面BOC，BCAO，AOOHO，BC平面AOH，BCAH，AHO即为二面角ABCO的平面角在RtAOH中，AO2，OH，AH，cos AHO，故二面角ABCO的余弦值为.(3)如图，连接OP，在(2)的条件下，易证OC平面BOA，CP与平面BOA所成的角为CPO，sin CPO，CP.又在ACB中，sin ABC，CPAB，BP，AP.- 10 -